তরঙ্গ/গুচ্ছবেগ

গুচ্ছবেগ

আমরা এখন এই প্রশ্নটি করতে পারি: তরঙ্গগুচ্ছ কত দ্রুত অগ্রসর হয়? আশ্চর্যজনকভাবে, আমরা প্রায়শই দেখতে পাই যে তরঙ্গগুচ্ছ এমন একটি বেগে অগ্রসর হয়, যা তরঙ্গগুচ্ছ গঠনকারী তরঙ্গের দশা বেগ $c=\omega /k$ থেকে সম্পূর্ণ ভিন্ন।

আমরা দেখব যে তরঙ্গগুচ্ছের অগ্রসর হওয়ার বেগ, যা গুচ্ছবেগ হিসেবে পরিচিত, তা নিচে দেওয়া হলো

$u=0.1{\text{m}}^{-1}$। গভীর সমুদ্রের তরঙ্গের দশা বেগ হলো $c=(g/k{)}^{1/2}$। তবে, যেহেতু $c\equiv \omega /k$, তাই আমরা গভীর সমুদ্রের তরঙ্গের কম্পাঙ্ক পাই $\omega =(gk{)}^{1/2}$। অতএব, গুচ্ছবেগ হলো $u\equiv d\omega /dk=(g/k{)}^{1/2}/2=c/2$। নির্দিষ্ট কেন্দ্রীয় তরঙ্গসংখ্যার জন্য আমরা পাই $u\approx (9.8\text{ m}{\text{ s}}^{-2}/0.1{\text{ m}}^{-1}{)}^{1/2}/2\approx 5\text{ m}{\text{ s}}^{-1}$। এর বিপরীতে, এই তরঙ্গদৈর্ঘ্য বিশিষ্ট গভীর সমুদ্রের তরঙ্গের দশা বেগ হলো $c\approx 10\text{ m}{\text{ s}}^{-1}$।

বিচ্ছুরণশীল তরঙ্গ হলো সেই ধরনের তরঙ্গ, যাদের দশা বেগ তরঙ্গসংখ্যার সাথে পরিবর্তিত হয়। এটি খুব সহজেই দেখানো যায় যে, বিচ্ছুরণশীল তরঙ্গের দশা বেগ ও গুচ্ছবেগ অসমান হয়, অন্যদিকে বিচ্ছুরণহীন তরঙ্গের ক্ষেত্রে এই বেগগুলো সমান থাকে।

গুচ্ছবেগের সূত্রের প্রতিপাদন

আমরা এখন সমীকরণ (১.৩৬) প্রতিপাদন করব। এটি সবচেয়ে সরল তরঙ্গগুচ্ছের জন্য, অর্থাৎ কেবল দুটি সাইন তরঙ্গের উপরিপাতন দ্বারা গঠিত তরঙ্গগুচ্ছের জন্য করা সবচেয়ে সহজ। আমরা সম্পূর্ণ স্থান ও সময়ের ওপর নির্ভরশীল দুটি তরঙ্গ যোগ করে অগ্রসর হব:

$A=\sin (k_{1}x-{\omega }_{1}t)+\sin (k_{2}x-{\omega }_{2}t)$ (২.৩৭)

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদগুলোর পরিচিত বীজগাণিতিক এবং ত্রিকোণমিতিক হিসাব-নিকাশের পর আমরা পাই

$A=2\sin (k_{0}x-{\omega }_{0}t)\cos (\mathrm{\Delta }kx-\mathrm{\Delta }\omega t),$ (২.৩৮)

যেখানে আগের মতোই আমাদের রয়েছে $k_0=(k_1+k_2)/2$, ${\omega }_0=({\omega }_1+{\omega }_2)/2$, $\mathrm{\Delta }k=(k_2-k_1)/2$ এবং $\mathrm{\Delta }\omega =({\omega }_2-{\omega }_1)/2$। আগের মতোই এটিকে ${\omega }_0$ কম্পাঙ্ক এবং $k_0$ তরঙ্গসংখ্যা বিশিষ্ট এমন একটি সাইন তরঙ্গ হিসেবে বিবেচনা করুন যা একটি কোসাইন ফাংশন দ্বারা মড্যুলেট করা হয়েছে। এই ক্ষেত্রে মড্যুলেশনের সজ্জাটি এমন একটি বেগে অগ্রসর হয় যাতে কোসাইন ফাংশনের আর্গুমেন্টটি ধ্রুব থাকে:

$\mathrm{\Delta }kx-\mathrm{\Delta }\omega t=const.$ (২.৩৯)

$\mathrm{\Delta }k$ এবং $\mathrm{\Delta }\omega$-কে ধ্রুব ধরে $t$-এর সাপেক্ষে এটিকে অন্তরীকরণ করে পাওয়া যায়

$u\equiv \frac{dx}{dt}=\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{\mathrm{\Delta }k}.$ (২.৪০)

যখন ডেল্টাগুলোর মান অত্যন্ত ক্ষুদ্র হয়ে চরম সীমায় পৌঁছায়, তখন এটি অন্তরজে রূপান্তরিত হয়

$u=\frac{d\omega }{dk},$ (২.৪১)

যা হলো আমাদের কাঙ্ক্ষিত ফলাফল।

---