তরঙ্গ/প্রতিফলন ও প্রতিসরণ

প্রতিফলন এবং প্রতিসরণ

জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞান সম্পর্কে আমাদের যা কিছু জানা প্রয়োজন, তার বেশিরভাগই দুটি নিয়মে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে; প্রতিফলন এবং প্রতিসরণের সূত্র। একটি সমতল তরঙ্গ অংশ যখন কোনো সমতল পৃষ্ঠে আপতিত হয়, তখন কী ঘটে তা বিবেচনা করে এই উভয় সূত্রই অনুমান করা যেতে পারে। পৃষ্ঠটি যদি পালিশ করা ধাতু হয়, তবে তরঙ্গটি প্রতিফলিত হয়, পক্ষান্তরে পৃষ্ঠটি যদি ভিন্ন প্রতিসরাঙ্ক বিশিষ্ট দুটি স্বচ্ছ মাধ্যমের বিভেদতল হয়, তবে তরঙ্গটি আংশিকভাবে প্রতিফলিত এবং আংশিকভাবে প্রতিসৃত হয়। প্রতিফলন বলতে বোঝায় তরঙ্গটি যে অর্ধ-স্থানে ফিরে আসে যেখান থেকে এটি এসেছিল, আর প্রতিসরণ বলতে বোঝায় এটি বিভেদতল অতিক্রম করে বিভেদতলে পৌঁছানোর আগের গতির দিক থেকে একটি ভিন্ন গতির দিক লাভ করে।

চিত্র ৩.১: একটি সমতল দর্পণ থেকে তরঙ্গের প্রতিফলন দেখানো স্কেচ। প্রতিফলনের সূত্রানুযায়ী ${\theta }_I={\theta }_R$।

চিত্র ৩.১-এ একটি সমতল দর্পণ থেকে প্রতিফলিত তরঙ্গের তরঙ্গ ভেক্টর এবং তরঙ্গমুখ দেখানো হয়েছে। আপতন কোণ, ${\theta }_I$, এবং প্রতিফলন কোণ, ${\theta }_R$, যথাক্রমে আপতিত ও প্রতিফলিত তরঙ্গ ভেক্টর এবং দর্পণের অভিলম্ব রেখার মধ্যবর্তী কোণ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্রতিফলনের সূত্রানুযায়ী ${\theta }_R={\theta }_I$। দর্পণ পৃষ্ঠজুড়ে আপতিত এবং প্রতিফলিত তরঙ্গমুখগুলোর পরস্পরের সমদশায় থাকার প্রয়োজনীয়তার ফলেই এটি ঘটে থাকে। এর সাথে আপতিত ও প্রতিফলিত তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সমতা উপরের ফলাফলটি নিশ্চিত করার জন্য যথেষ্ট।

চিত্র ৩.২: $n_2>n_1$ বিশিষ্ট দুটি ডাইইলেকট্রিক মাধ্যমের বিভেদতলে তরঙ্গের প্রতিসরণ দেখানো স্কেচ।

চিত্র ৩.২-এ যেমন দেখানো হয়েছে, প্রতিসরণ প্রক্রিয়াটি কিছুটা জটিল। যেহেতু $n_R>n_I$, তাই ডানদিকের মাধ্যমে আলোর গতিবেগ বামদিকের মাধ্যমের চেয়ে কম। (স্মরণ করা যেতে পারে যে, $n$ প্রতিসরাঙ্ক বিশিষ্ট কোনো মাধ্যমে আলোর গতিবেগ হলো $c_{medium}=c_{vac}/n$।) তরঙ্গ প্যাকেটটি বিভেদতল অতিক্রম করার সময় এর কম্পাঙ্ক পরিবর্তিত হয় না, তাই ডানদিকের আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য বামদিকের তরঙ্গদৈর্ঘ্যের চেয়ে কম হয়।

আসুন আমরা চিত্র ৩.২-এর ABC ত্রিভুজটি পরীক্ষা করি। AC বাহুটি BC বাহু এবং $\sin ({\theta }_I)$-এর গুণফলের সমান। তবে, AC আবার $2{\lambda }_I$-এর সমান, অর্থাৎ বিভেদতলের বামদিকের তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। একই যুক্তি দেখায় যে, বিভেদতলের ডানদিকের তরঙ্গদৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ, অর্থাৎ $2{\lambda }_R$, BC এবং $\sin ({\theta }_R)$-এর গুণফলের সমান। যেহেতু BC অংশটি উভয় ত্রিভুজের জন্যই সাধারণ, তাই আমরা সহজেই দেখতে পাই যে,

$\frac{{\lambda }_I}{{\lambda }_R}=\frac{\sin ({\theta }_I)}{\sin ({\theta }_R)}.$ (৪.১)

যেহেতু ${\lambda }_I=c_{I}T=c_{vac}T/n_I$ এবং ${\lambda }_R=c_{R}T=c_{vac}T/n_R$, যেখানে $c_I$ এবং $c_R$ হলো বিভেদতলের বাম ও ডানদিকের তরঙ্গের গতিবেগ, $c_{vac}$ হলো শূন্যস্থানে আলোর গতিবেগ এবং $T$ হলো (সাধারণ) পর্যায়কাল, তাই আমরা সহজেই উপরের সমীকরণটিকে এই রূপে প্রকাশ করতে পারি:

$n_I\sin ({\theta }_I)=n_R\sin ({\theta }_R).$ (৪.২)

এটিকে স্নেলের সূত্র বলা হয় এবং আলোর রশ্মি যখন প্রতিসরাঙ্কের কোনো অসাতত্যের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় কীভাবে বেঁকে যায় তা এটি নির্ধারণ করে। ${\theta }_I$ কোণটিকে আপতন কোণ এবং ${\theta }_R$ কোণটিকে প্রতিসরণ কোণ বলা হয়। লক্ষ্য করুন যে, এই কোণগুলো পৃষ্ঠের স্পর্শক থেকে নয়, বরং অভিলম্ব থেকে পরিমাপ করা হয়।

প্রতিফলনের সূত্রের প্রতিপাদন

ফার্মার নীতি ব্যবহার করে প্রতিফলনের সূত্রের প্রতিপাদন অত্যন্ত সহজ সরল। প্রাথমিক কলনবিদ্যা এবং ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে প্রতিফলনের সূত্রটি প্রতিপাদন করা যেতে পারে। প্রতিফলনের সূত্রের সাধারণীকৃত রূপ হলো স্নেলের সূত্র, যা একই নীতি ব্যবহার করে নিচে প্রতিপাদন করা হয়েছে।

আলো যে মাধ্যমের মধ্য দিয়ে ভ্রমণ করে তা পরিবর্তিত হয় না। দুটি বিন্দুর মধ্যে আলোর ভ্রমণের সময় সর্বনিম্ন করার জন্য, আমাদের অতিক্রান্ত পথকে সর্বনিম্ন করতে হবে।

θ_i = θ_r।
আপতন কোণ প্রতিফলন কোণের সমান

১. আলোর মোট পথের দৈর্ঘ্য নিচে দেওয়া হলো:

$L=d_1+d_2$

২. ইউক্লিডীয় জ্যামিতির পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাই যে:

$d_1=\sqrt{x^2+a^2}$ এবং $d_2=\sqrt{(l-x{)}^2+b^2}$

৩. উপরের সমীকরণে d₁ এবং d₂ এর উভয় মান প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই:

$L=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(l-x{)}^2+b^2}$

৪. আলো দ্বারা অতিক্রান্ত পথ সর্বনিম্ন করার জন্য, আমরা x এর সাপেক্ষে L এর প্রথম অন্তরক গ্রহণ করি।

$\frac{dL}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}+\frac{-(l-x)}{\sqrt{(l-x{)}^2+b^2}}=0$

৫. উভয় পক্ষকে একে অপরের সমান করে সাজাই।

$\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{(l-x)}{\sqrt{(l-x{)}^2+b^2}}$

৬. আমরা এখন বলতে পারি যে বাম পক্ষটি আসলে $\sin {\theta }_i$ এবং ডান পক্ষটি $\sin {\theta }_r$, যার অর্থ:

$\sin {\theta }_i=\sin {\theta }_r$

৭. উভয় পক্ষের বিপরীত সাইন (ইনভার্স সাইন) নিলে আমরা দেখতে পাই যে আপতন কোণ প্রতিফলন কোণের সমান:

${\theta }_i={\theta }_r$

স্নেলের সূত্রের প্রতিপাদন

ফার্মার নীতি ব্যবহার করে স্নেলের সূত্রের প্রতিপাদন অত্যন্ত সহজ সরল। প্রাথমিক কলনবিদ্যা এবং ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে স্নেলের সূত্রটি প্রতিপাদন করা যেতে পারে। স্নেলের সূত্র হলো উপরের সূত্রটির সাধারণীকৃত রূপ, যেখানে মাধ্যমটি সব জায়গায় একই হওয়ার প্রয়োজন নেই।

বিভিন্ন মাধ্যমে আলোর গতিবেগ চিহ্নিত করার জন্য n₁ এবং n₂ নামক প্রতিসরাঙ্ক ব্যবহার করা হয়।

$v_1=\frac{c}{n_1}$

$v_2=\frac{c}{n_2}$

স্নেলের সূত্র n₁, θ₁ এবং n₂, θ₂ এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।

এখানে $c$ হলো শূন্যস্থানে আলোর গতিবেগ এবং $n_1,n_2\ge 1$, কারণ সমস্ত পদার্থই আলোর গতি কমিয়ে দেয় যখন আলো সেগুলোর মধ্য দিয়ে ভ্রমণ করে।

১. ভ্রমণের সময় অতিক্রান্ত দূরত্বকে গতিবেগ দ্বারা ভাগ করার সমান।

$t=\frac{d_1}{v_1}+\frac{d_2}{v_2}$

২. ইউক্লিডীয় জ্যামিতির পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাই যে:

$\frac{d_1}{v_1}=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}$ এবং $\frac{d_2}{v_2}=\frac{\sqrt{b^2+(l-x{)}^2}}{v_2}$

৩. এই ফলাফলটি সমীকরণ (১) এ প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই:

$t=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{b^2+(l-x{)}^2}}{v_2}$

৪. ব্যবকলন করে এবং অন্তরককে শূন্যের সমান ধরে আমরা পাই:

$\frac{dt}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+a^2}}+\frac{-(l-x)}{v_2\sqrt{(l-x{)}^2+b^2}}=0$

৫. উপরের সমীকরণটি মনোযোগ সহকারে পরীক্ষা করার পর আমরা দেখতে পাই যে এটি অন্য কিছু নয় বরং:

$\frac{dt}{dx}=\frac{\sin {\theta }_1}{v_1}-\frac{\sin {\theta }_2}{v_2}=0$

৬. অতএব:

$\frac{v_1}{\sin {\theta }_1}=\frac{v_2}{\sin {\theta }_2}$

৭. উভয় পক্ষকে $\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2$ দ্বারা গুণ করে আমরা পাই:

$v_1\sin {\theta }_2=v_2\sin {\theta }_1$

৮. v₁ এর পরিবর্তে $\frac{c}{n_1}$ এবং $v_2$ এর পরিবর্তে $\frac{c}{n_2}$ প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই:

$\frac{c}{n_1}\sin {\theta }_2=\frac{c}{n_2}\sin {\theta }_1$

৯. উভয় পক্ষকে সরলীকরণ করে আমরা আমাদের চূড়ান্ত ফলাফল পাই:

$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$