তরঙ্গ/ফার্মার নীতি

ফার্মার নীতি

ফার্মার নীতি থেকে জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞানের একটি বিকল্প পদ্ধতি তৈরি করা যেতে পারে। এই নীতিটিতে বলা হয়েছে যে, একটি নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কের আলোক তরঙ্গ দুটি বিন্দুর মধ্যে সেই পথটিই অতিক্রম করে যাতে সবচেয়ে কম সময় লাগে। এর সবচেয়ে স্পষ্ট উদাহরণ হলো এমন একটি সমসত্ব মাধ্যমের মধ্য দিয়ে আলোর গমন যেখানে অবস্থানের সাথে আলোর বেগ পরিবর্তিত হয় না। এক্ষেত্রে সবচেয়ে কম সময় বলতে বিন্দু দুটির মধ্যকার ক্ষুদ্রতম দূরত্বকে বোঝায়, যা আমরা সবাই জানি একটি সরলরেখা। সুতরাং, ফার্মার নীতি সমসত্ব মাধ্যমে আলোর সরলরেখায় চলার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

চিত্র ৩.১০: ফার্মার নীতি থেকে প্রতিফলনের সূত্র প্রতিপাদনের জন্য সংজ্ঞামূলক স্কেচ। চিত্র ৩.১-এর মতো ${\theta }_I$ হলো আপতন কোণ এবং ${\theta }_R$ হলো প্রতিফলন কোণ।

চিত্র ৩.১১: ফার্মার নীতি থেকে স্নেলের প্রতিসরণের সূত্র প্রতিপাদনের জন্য সংজ্ঞামূলক স্কেচ। ছায়াযুক্ত অংশের প্রতিসরাঙ্ক $n>1$

ফার্মার নীতি ব্যবহার করে প্রতিফলন ও প্রতিসরণের সূত্রও প্রতিপাদন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, চিত্র ৩.১০-এ প্রতিফলনের জন্য এমন একটি সম্ভাব্য রশ্মি দেখানো হয়েছে যেখানে আপতন ও প্রতিফলন কোণ সমান নয়। আলো A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে যেতে প্রয়োজনীয় সময় হলো

$t=[\{h_1^2+y^2{\}}^{1/2}+\{h_2^2+(w-y{)}^2{\}}^{1/2}]/c$ (৪.১২)

যেখানে $c$ হলো আলোর বেগ। আমরা $y$ এর সাপেক্ষে $t$ কে ব্যবকলন করে এবং ফলাফল শূন্য ধরে ন্যূনতম সময় নির্ণয় করি, যার ফলে পাওয়া যায়

$\frac{y}{\{h_1^2+y^2{\}}^{1/2}}=\frac{w-y}{\{h_2^2+(w-y{)}^2{\}}^{1/2}}.$ (৪.১৩)

তবে, আমরা লক্ষ করি যে এই সমীকরণের বাম দিকটি হলো কেবল $\sin {\theta }_I$, যেখানে ডান দিকটি হলো $\sin {\theta }_R$, ফলে ন্যূনতম সময়ের শর্তটি $\sin {\theta }_I=\sin {\theta }_R$ বা ${\theta }_I={\theta }_R$-এ রূপান্তরিত হয়, যা প্রতিফলনের সূত্র।

চিত্র ৩.১২: উপবৃত্তাকার দর্পণ যেখানে উপবৃত্তের কেন্দ্র থেকে দর্পণের পৃষ্ঠে এবং পুনরায় ফিরে আসা ন্যূনতম ও সর্বোচ্চ সময়ের রশ্মিগুলো দেখানো হয়েছে। দেখা যায় যে, ফার্মার নীতি দ্বারা অনুমোদিত গতিপথগুলোকে কঠোরভাবে ন্যূনতম সময়ের গতিপথ হতেই হবে এমন কোনো কথা নেই। চিত্র ৩.১২-তে যেমনটি দেখানো হয়েছে, এগুলো সর্বোচ্চ সময়ের গতিপথও হতে পারে। এক্ষেত্রে O বিন্দু থেকে নির্গত আলো দর্পণের চারটি বিন্দু A, B, C এবং D থেকে প্রতিফলিত হয়ে পুনরায় O বিন্দুতে ফিরে আসতে পারে। O-A-O এবং O-C-O গতিপথগুলো হলো ন্যূনতম সময়ের গতিপথ, যেখানে O-B-O এবং O-D-O হলো সর্বোচ্চ সময়ের গতিপথ।

স্নেলের প্রতিসরণের সূত্র প্রতিপাদন করতেও অনুরূপ বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। $n$ প্রতিসরাঙ্ক বিশিষ্ট একটি মাধ্যমে আলোর বেগ হলো $c/n$, যেখানে $c$ হলো শূন্যস্থানে আলোর বেগ। সুতরাং, এ ধরনের মাধ্যমে কিছু দূরত্ব অতিক্রম করতে আলোর যে সময় লাগে, তা একই দূরত্ব শূন্যস্থানে অতিক্রম করতে লাগা সময়ের $n$ গুণ। চিত্র ৩.১১-এর সাপেক্ষে, আলো A থেকে B-তে যেতে প্রয়োজনীয় সময় হয়

$t=[\{h_1^2+y^2{\}}^{1/2}+n\{h_2^2+(w-y{)}^2{\}}^{1/2}]/c.$ (৪.১৪)

এর ফলে নিচের শর্তটি পাওয়া যায়

$\sin {\theta }_I=n\sin {\theta }_R$ (৪.১৫)

যেখানে ${\theta }_R$ হলো এখন প্রতিসরণ কোণ। আমরা এই ফলাফলটিকে স্নেলের সূত্র হিসেবে চিনতে পারি।

চিত্র ৩.১৩: একটি লেন্স দ্বারা O বিন্দুর রশ্মির গতিপথগুলোকে অন্য একটি বিন্দু I-তে ফোকাস করা হচ্ছে।

লক্ষ করুন যে প্রতিফলনের ক্ষেত্রটি ফার্মার নীতির একটি বিষয় তুলে ধরে: ন্যূনতম সময়টি আসলে সার্বিক ন্যূনতমের পরিবর্তে একটি স্থানীয় ন্যূনতম হতে পারে -- সর্বোপরি, চিত্র ৩.১০-এ, A থেকে B-এর সার্বিক ন্যূনতম দূরত্বটি এখনও দুটি বিন্দুর মধ্যে একটি সরলরেখাই! প্রকৃতপক্ষে, A বিন্দু থেকে শুরু হওয়া আলো দুটি পথেই B বিন্দুতে পৌঁছাবে -- সরাসরি পথে এবং প্রতিফলিত পথে।

চিত্র ৩.১৩ বেশ একটি অদ্ভুত পরিস্থিতি তুলে ধরে। লক্ষ করুন যে O বিন্দু থেকে আসা সমস্ত রশ্মি যা লেন্সে বাধা পায়, তা শেষ পর্যন্ত I বিন্দুতে পৌঁছায়। এটি ফার্মার নীতির পরিপন্থী বলে মনে হতে পারে, যেখানে কেবল ন্যূনতম (বা সর্বোচ্চ) সময়ের গতিপথগুলো ঘটা উচিত বলে মনে হতে পারে। তবে, একটি হিসাব থেকে দেখা যায় যে এই নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে চিত্রায়িত সমস্ত গতিপথে একই সময় লাগে। সুতরাং, আলো ফার্মার নীতি ব্যবহার করে একটি গতিপথের চেয়ে অন্য গতিপথকে বেছে নিতে পারে না এবং সমস্ত গতিপথই সমানভাবে অনুকূল হয়। লক্ষ করুন যে এই সিদ্ধান্তটি কেবল যে কোনো গতিপথের সেটের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য নয়, বরং কেবল একটি ফোকাস বিন্দু থেকে অন্য ফোকাস বিন্দুতে যাওয়ার ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য।

---