তরঙ্গ/ফুরিয়ে রূপান্তর

ফুরিয়ে রূপান্তর

এতক্ষণ পর্যন্ত আপনি সসীম সংখ্যক সাইনসয়ডাল তরঙ্গের উপরিপাতন কীভাবে করতে হয় তা শিখেছেন। তবে, সাধারণভাবে কোনো তরঙ্গকে সসীম সংখ্যক সাইন এবং কোসাইন তরঙ্গের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায় না। সৌভাগ্যবশত, আমাদের ফুরিয়ে উপপাদ্য নামক একটি উপপাদ্য রয়েছে যা মূলত বলে যে, কিছু নির্দিষ্ট প্রায়োগিক অনুমানের অধীনে যেকোনো ফাংশন f(x) সাইন এবং কোসাইনের ওপর একটি সমাকলনের সমান। অন্যভাবে বলা যায়,

$f(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(c_1(k)\cos (kx)+c_2(k)\sin (kx))dk$।

এখন, যদি আমাদের t=0 সময়ে তরঙ্গ ফাংশন φ(x,0) এবং প্রতিটি সাইন তরঙ্গের বেগকে এর তরঙ্গসংখ্যার ফাংশন v(k) হিসেবে দেওয়া থাকে, তবে আমরা φ(x,0)-এর বিপরীত ফুরিয়ে রূপান্তর নির্ণয় করে, একটি দশা পরিবর্তন ঘটিয়ে এবং এরপর তার ফুরিয়ে রূপান্তর নেওয়ার মাধ্যমে যেকোনো t-এর জন্য φ(x,t) গণনা করতে পারি।

সৌভাগ্যবশত, বিপরীত ফুরিয়ে রূপান্তরটি মূলত ফুরিয়ে রূপান্তরের মতোই।

$c_1(k)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\cos (kx)dx{c}_2(k)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\sin (kx)dx$

এটি আমাদের বলে যে, যেহেতু সাইন তরঙ্গের মতো অত্যন্ত বিস্তৃত তরঙ্গগুলোর তরঙ্গসংখ্যার পরিসর সংকীর্ণ হয়, তাই যেসব তরঙ্গ ফাংশনের তরঙ্গসংখ্যা অত্যন্ত বিস্তৃত, সেগুলো কেবল অবস্থানের একটি সংকীর্ণ পরিসরেই তাৎপর্যপূর্ণ হবে।

ফুরিয়ে রূপান্তরের ধর্মাবলি

	সংকেত	ফুরিয়ে রূপান্তর একক, কৌণিক কম্পাঙ্ক	ফুরিয়ে রূপান্তর একক, সাধারণ কম্পাঙ্ক	মন্তব্য
	$g(t)\equiv$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}G(\omega )e^{i\omega t}d\omega$	$G(\omega )\equiv$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(t)e^{-i\omega t}dt$	$G(f)\equiv$ ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(t)e^{-i2\pi ft}dt$
১	$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)$	$a\cdot G(\omega )+b\cdot H(\omega )$	$a\cdot G(f)+b\cdot H(f)$	রৈখিকতা
২	$g(t-a)$	$e^{-ia\omega }G(\omega )$	$e^{-i2\pi af}G(f)$	সময় ডোমেনে সরণ
৩	$e^{iat}g(t)$	$G(\omega -a)$	$G(f-\frac{a}{2\pi })$	কম্পাঙ্ক ডোমেনে সরণ, ২-এর দ্বৈত
৪	$g(at)$	$\frac{1}{|a|}G\left(\frac{\omega }{a}\right)$	$\frac{1}{|a|}G\left(\frac{f}{a}\right)$	যদি $|a|$ বড় হয়, তবে $g(at)$ ০-এর কাছাকাছি ঘনীভূত হয় এবং $\frac{1}{|a|}G\left(\frac{\omega }{a}\right)$ ছড়িয়ে পড়ে ও সমতল হয়
৫	$G(t)$	$g(-\omega )$	$g(-f)$	ফুরিয়ে রূপান্তরের দ্বৈততা ধর্ম। এটি $t$ এবং $\omega$-এর "ডামি" চলকগুলো অদলবদল করার ফলে পাওয়া যায়।
৬	$\frac{d^{n}g(t)}{d{t}^n}$	$(i\omega {)}^{n}G(\omega )$	$(i2\pi f{)}^{n}G(f)$	ফুরিয়ে রূপান্তরের সাধারণীকৃত অন্তরজ ধর্ম
৭	$t^{n}g(t)$	$i^n\frac{d^{n}G(\omega )}{d{\omega }^n}$	${\left(\frac{i}{2\pi }\right)}^n\frac{d^{n}G(f)}{d{f}^n}$	এটি ৬-এর দ্বৈত
৮	$(g\ast h)(t)$	$\sqrt{2\pi }G(\omega )H(\omega )$	$G(f)H(f)$	$g\ast h$ দ্বারা $g$ এবং $h$-এর কনভল্যুশন নির্দেশ করা হয় — এই নিয়মটি হলো কনভল্যুশন উপপাদ্য
৯	$g(t)h(t)$	$\frac{(G\ast H)(\omega )}{\sqrt{2\pi }}$	$(G\ast H)(f)$	এটি ৮-এর দ্বৈত
১০	একটি বিশুদ্ধ বাস্তব জোড় ফাংশন $g(t)$-এর জন্য	$G(\omega )$ হলো একটি বিশুদ্ধ বাস্তব জোড় ফাংশন	$G(f)$ হলো একটি বিশুদ্ধ বাস্তব জোড় ফাংশন
১১	একটি বিশুদ্ধ বাস্তব বিজোড় ফাংশন $g(t)$-এর জন্য	$G(\omega )$ হলো একটি বিশুদ্ধ কাল্পনিক বিজোড় ফাংশন	$G(f)$ হলো একটি বিশুদ্ধ কাল্পনিক বিজোড় ফাংশন

ফুরিয়ে রূপান্তরের জোড়সমূহ

	সময় ডোমেন	কম্পাঙ্ক ডোমেন
	$x(t)={ℱ}^{-1}\{X(\omega )\}$	$X(\omega )=ℱ\{x(t)\}$
১	$X(j\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)e^{-j\omega t}dt$	$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\omega )e^{j\omega t}d\omega$
২	$1$	$2\pi \delta (\omega )$
৩	$-0.5+u(t)$	$\frac{1}{j\omega }$
৪	$\delta (t)$	$1$
৫	$\delta (t-c)$	$e^{-j\omega c}$
৬	$u(t)$	$\pi \delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }$
৭	$e^{-bt}u(t)(b>0)$	$\frac{1}{j\omega +b}$
৮	$\cos {\omega }_{0}t$	$\pi [\delta (\omega +{\omega }_0)+\delta (\omega -{\omega }_0)]$
৯	$\cos ({\omega }_{0}t+\theta )$	$\pi [e^{-j\theta }\delta (\omega +{\omega }_0)+e^{j\theta }\delta (\omega -{\omega }_0)]$
১০	$\sin {\omega }_{0}t$	$j\pi [\delta (\omega +{\omega }_0)-\delta (\omega -{\omega }_0)]$
১১	$\sin ({\omega }_{0}t+\theta )$	$j\pi [e^{-j\theta }\delta (\omega +{\omega }_0)-e^{j\theta }\delta (\omega -{\omega }_0)]$
১২	$\text{rect}\left(\frac{t}{\tau }\right)$	$\tau \text{sinc}\left(\frac{\tau \omega }{2\pi }\right)$
১৩	$\tau \text{sinc}\left(\frac{\tau t}{2\pi }\right)$	$2\pi \text{rect}\left(\frac{\omega }{\tau }\right)$
১৪	$(1-\frac{2|t|}{\tau })\text{rect}\left(\frac{t}{\tau }\right)$	$\frac{\tau }{2}{\text{sinc}}^2\left(\frac{\tau \omega }{4\pi }\right)$
১৫	$\frac{\tau }{2}{\text{sinc}}^2\left(\frac{\tau t}{4\pi }\right)$	$2\pi (1-\frac{2|\omega |}{\tau })\text{rect}\left(\frac{\omega }{\tau }\right)$
১৬	$e^{-a|t|},\mathrm{\Re }\{a\}>0$	$\frac{2a}{a^2+{\omega }^2}$
টীকা:	$\text{sinc}(x)=\sin (\pi x)/(\pi x)$ $\text{rect}\left(\frac{t}{\tau }\right)$ হলো $\tau$ প্রস্থের আয়তাকার পালস ফাংশন $u(t)$ হলো হেভিসাইড ধাপ ফাংশন $\delta (t)$ হলো ডিরাক ডেল্টা ফাংশন
টেমপ্লেট:Navbar

আরও পড়ুন

• প্রকৌশল বিশ্লেষণ/বহুমাত্রিক ফুরিয়ে ধারা
• দি ফাইনম্যান লেকচার্স অধ্যায় ৫০ হারমোনিক্স।

---