তরঙ্গ/ভেক্টর

গণিত টিউটোরিয়াল -- ভেক্টর

চিত্র:VectorIntro1.png
চিত্র ১: একটি সমতলে সরণ ভেক্টর।
ভেক্টর $A$ মেরি থেকে জর্জের সরণ নির্দেশ করে, অন্যদিকে ভেক্টর $B$ জর্জ থেকে পলের সরণ নির্দেশ করে। ভেক্টর $C$ মেরি থেকে পলের সরণ নির্দেশ করে এবং $C = A + B$ । $A_{x}$ , $A_{y}$ ইত্যাদি রাশিগুলো ভেক্টরগুলোর কার্তেসীয় উপাংশ নির্দেশ করে।

সামনে অগ্রসর হওয়ার আগে আমাদের ভেক্টর-এর ধারণাটি অন্বেষণ করা প্রয়োজন। ভেক্টর হলো এমন একটি রাশি যা মান এবং দিক উভয়ই প্রকাশ করে। জ্যামিতিকভাবে আমরা একটি ভেক্টরকে একটি তির চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করি। টাইপ করা লেখায় একটি ভেক্টরকে বোল্ডফেস বা মোটা অক্ষরের ক্যারেক্টার দ্বারা প্রকাশ করা হয়, অন্যদিকে হাতে লেখার সময় ভেক্টর নির্দেশকারী ক্যারেক্টারটির ওপর একটি তির চিহ্ন আঁকা হয়।

চিত্র ১-এ সরণ ভেক্টর-এর কিছু উদাহরণ দেখানো হয়েছে, অর্থাৎ এমন কিছু ভেক্টর যা একটি বস্তু থেকে অন্য বস্তুর সরণ নির্দেশ করে এবং ভেক্টরের যোগের ধারণাটির সাথে পরিচয় করিয়ে দেয়। ভেক্টর $B$ -এর পাদবিন্দু (টেইল) ভেক্টর $A$ -এর শীর্ষবিন্দুতে (হেড) অবস্থিত, এবং যে ভেক্টরটি $A$ -এর পাদবিন্দু থেকে $B$ -এর শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত বিস্তৃত সেটিই হলো $A$ এবং $B$ -এর সমষ্টি, যাকে চিত্র ১-এ $C$ বলা হয়েছে।

চিত্র:VectorIntro2.png
চিত্র ২: একটি দ্বি-মাত্রিক ভেক্টরের দিক নির্দেশকারী কোণ $θ$ -এর সংজ্ঞামূলক স্কেচ।

চিত্র ২-এর রাশিগুলো ( $A_{x}$ , $A_{y}$ ইত্যাদি) ভেক্টরগুলোর কার্তেসীয় উপাংশ নির্দেশ করে। একটি ভেক্টরকে হয় তার কার্তেসীয় উপাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে, যা মূলত কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক অক্ষের ওপর ভেক্টরটির অভিক্ষেপ (প্রোজেকশন), অথবা এর দিক এবং মান দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে। দ্বি-মাত্রিক স্থানে একটি ভেক্টরের দিক সাধারণত $x$ অক্ষের সাপেক্ষে ভেক্টরটির ঘড়ির কাটার বিপরীত দিকের কোণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেমনটি চিত্র ২-এ দেখানো হয়েছে। এক রূপ থেকে অন্য রূপে রূপান্তরের সমীকরণগুলো হলো:

A = (A_{x}^{2} + A_{y}^{2})^{1 / 2} θ = \tan^{- 1} (A_{y} / A_{x}),

A_{x} = A \cos (θ) A_{y} = A \sin (θ),

যেখানে $A$ হলো ভেক্টরটির মান। একটি ভেক্টরের মানকে কখনো কখনো পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়: $A \equiv | A |$ ।

লক্ষ্য করুন যে, বিপরীত ট্যাঞ্জেন্ট (ইনভার্স ট্যাঞ্জেন্ট) এমন একটি ফলাফল দেয় যা $π$ -এর পূর্ণসংখ্যার গুণিতক যোগ বা বিয়োগ করার সাপেক্ষে অস্পষ্ট বা দ্ব্যর্থতাবোধক হতে পারে। তাই কোণটি কোন চতুর্ভাগে (কোয়াড্রেন্ট) অবস্থিত তা $A_{x}$ এবং $A_{y}$ -এর চিহ্ন স্বাধীনভাবে পরীক্ষা করে এবং $θ$ -এর উপযুক্ত মান বেছে নিয়ে সমাধান করতে হবে।

দুটি ভেক্টর, $A$ এবং $B$ যোগ করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো সেগুলোকে কার্তেসীয় উপাংশে রূপান্তর করা। তাহলে সমষ্টি $C = A + B$ -এর উপাংশগুলো হবে কেবল উপাংশগুলোর সমষ্টি:

C_{x} = A_{x} + B_{x} C_{y} = A_{y} + B_{y} .

ভেক্টরের বিয়োগও একইভাবে করা হয়, যেমন: যদি $A = C - B$ হয়, তবে

A_{x} = C_{x} - B_{x} A_{y} = C_{y} - B_{y} .

একক ভেক্টর হলো একক দৈর্ঘ্যের একটি ভেক্টর। যেকোনো সাধারণ ভেক্টরকে তার দৈর্ঘ্য বা মান দ্বারা ভাগ করে একটি একক ভেক্টর গঠন করা যেতে পারে: $n = A / | A |$ । এই ভাগ প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন করা হয় ভেক্টরের প্রতিটি উপাংশকে হরের সংখ্যাটি দ্বারা ভাগ করার মাধ্যমে। বিকল্পভাবে, ভেক্টরটি যদি দৈর্ঘ্য এবং দিকের মাধ্যমে প্রকাশ করা থাকে, তবে ভেক্টরের মানটিকে হর দ্বারা ভাগ করা হয় এবং দিক অপরিবর্তিত থাকে।

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা সংজ্ঞায়িত করতে একক ভেক্টর ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রথাগতভাবে, $i$ , $j$ , এবং $k$ এমন একটি ব্যবস্থার যথাক্রমে $x$ , $y$ , এবং $z$ অক্ষ নির্দেশ করে। মনে রাখবেন যে, $i$ , $j$ , এবং $k$ পরস্পর লম্ব। যেকোনো ভেক্টরকে একক ভেক্টর এবং এর কার্তেসীয় উপাংশের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে: $A = A_{x} i + A_{y} j + A_{z} k$ । একটি ভেক্টরকে প্রকাশ করার বিকল্প উপায় হলো উপাংশগুলোর একটি তালিকা হিসেবে: $A = (A_{x}, A_{y}, A_{z})$ । আমরা সাধারণত শেষের প্রকাশভঙ্গিটি ব্যবহার করি কারণ এটি কিছুটা সংক্ষিপ্ত ও সাশ্রয়ী লিখনপদ্ধতি।

দুটি ভেক্টরকে গুণ করার দুটি উপায় রয়েছে, যার ফলে যথাক্রমে ডট গুণন (স্কেলার গুণন) এবং ক্রস গুণন (ভেক্টর গুণন) নামে পরিচিত ফলাফল পাওয়া যায়। ক্রস গুণনের ফলে আরেকটি ভেক্টর পাওয়া যায় এবং ডট গুণনের ফলে একটি সংখ্যা পাওয়া যায়। এখানে আমরা কেবল ডট গুণন নিয়ে আলোচনা করব।

চিত্র:VectorIntro3.png চিত্র ৩: ডট গুণনের সংজ্ঞামূলক স্কেচ।

দুটি ভেক্টর $A$ এবং $B$ দেওয়া থাকলে, তাদের ডট গুণনকে সংজ্ঞায়িত করা হয় এভাবে:

A \cdot B \equiv | A | | B | \cos θ,

যেখানে $θ$ হলো ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ। ভেক্টরগুলোর কার্তেসীয় উপাংশের মাধ্যমে ডট গুণনের একটি বিকল্প প্রকাশ রয়েছে:

$A \cdot B = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} .$

যখন চিত্র ৩-এর মতো $x$ অক্ষটি যেকোনো একটি ভেক্টর বরাবর অবস্থিত থাকে, তখন এটি যে ডট গুণনের কোসাইন রূপের সমতুল্য তা দেখানো সহজ। বিশেষ করে লক্ষ্য করুন যে, $A_{x} = | A | \cos θ$ , অন্যদিকে $B_{x} = | B |$ এবং $B_{y} = 0$ । অতএব, এই ক্ষেত্রে $A \cdot B = | A | \cos θ | B |$ , যা উপরে দেওয়া রূপটির সাথে হ টেমপ্লেট:বইয়ের বিষয়শ্রেণী

তরঙ্গ/ভেক্টর

গণিত টিউটোরিয়াল -- ভেক্টর

পরিভ্রমণ বাছাইতালিকা

অনুসন্ধান