তরঙ্গ/সমতল উপরিপাতন

সমতল তরঙ্গের উপরিপাতন

আমরা এখন দ্বিমাত্রিক তরঙ্গ প্যাকেট নিয়ে আলোচনা করব। দুটি সমতল সাইন তরঙ্গের উপরিপাতন বা সুপারপজিশন কেমন হয়, তা বিশ্লেষণের মাধ্যমে এই আলোচনা এগিয়ে যাবে। যদি দুটি তরঙ্গের তরঙ্গসংখ্যা আলাদা হয়, কিন্তু তাদের তরঙ্গ ভেক্টর একই দিকে নির্দেশ করে, তবে এর ফলাফল পূর্ববর্তী অধ্যায়ের মতোই হবে। এক্ষেত্রে কেবল তরঙ্গ ভেক্টরের লম্ব বরাবর তরঙ্গ প্যাকেটগুলো কোনো রূপগত পরিবর্তন ছাড়াই অনির্দিষ্টকালের জন্য প্রসারিত হতে থাকে। উৎপন্ন এই তরঙ্গ প্যাকেটগুলো তরঙ্গ ভেক্টরের দিকে অগ্রসর হয়। তাই একজন স্থির পর্যবেক্ষকের কাছে এগুলোকে প্রশস্ত পার্শ্বীয় বিস্তৃতিযুক্ত একগুচ্ছ চলমান স্পন্দন বা পালস বলে মনে হয়।

একই কম্পাঙ্কের দুটি সমতল তরঙ্গকে উপরিপাতিত করলে একটি স্থির তরঙ্গ প্যাকেট তৈরি হয়। এরপর এর মধ্য দিয়ে প্রতিটি তরঙ্গমুখ পার হয়ে যায়। এই তরঙ্গ প্যাকেটটিও একটি নির্দিষ্ট দিকে অনির্দিষ্টকালের জন্য প্রসারিত হতে পারে। তবে প্রসারণের এই দিকটি মূলত তরঙ্গগুলোর বিচ্ছুরণ সম্পর্কের ওপর নির্ভর করে। কেউ চাইলে এ ধরনের তরঙ্গ প্যাকেটগুলোকে স্থিতিশীল রশ্মি বা রে হিসেবে বিবেচনা করতে পারেন। এই রশ্মি প্রতিটি দশা তরঙ্গকে একটি নির্দিষ্ট দিকে পরিচালিত করে। তবে দশা তরঙ্গগুলো সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হয় না। একই কম্পাঙ্কের একাধিক সমতল তরঙ্গ উপরিপাতিত করে একটি একক ও স্থির রশ্মি তৈরি করা সম্ভব। ঠিক একইভাবে, একই দিকে নির্দেশকারী তরঙ্গ ভেক্টরযুক্ত একাধিক তরঙ্গ উপরিপাতিত করে একটি বিচ্ছিন্ন স্পন্দন তৈরি করা যায়।

অভিন্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্যের দুটি তরঙ্গ

কোনো তরঙ্গের কম্পাঙ্ক যদি এর তরঙ্গ ভেক্টরের মানের ওপর নির্ভর করে কিন্তু দিকের ওপর নির্ভর না করে, তবে সেই তরঙ্গের বিচ্ছুরণ সম্পর্কটিকে 'আইসোট্রপিক' বা সমসারক বলা হয়। সমসারক ক্ষেত্রে দুটি তরঙ্গের কম্পাঙ্ক কেবল তখনই একই হবে, যখন তাদের তরঙ্গ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য সমান হয়। চিত্র ২.৬-এর প্রথম দুটি উদাহরণ এই শর্ত পূরণ করে। এই অনুচ্ছেদে আমরা উপরিপাতিত সমসারক তরঙ্গ দ্বারা সৃষ্ট রশ্মিগুলো নিয়ে আলোচনা করব।

ধরা যাক, আমরা ${\text{k}}_1=(-\mathrm{\Delta }{k}_x,k_y)$ এবং ${\text{k}}_2=(\mathrm{\Delta }{k}_x,k_y)$ তরঙ্গ ভেক্টর বিশিষ্ট দুটি সমতল তরঙ্গ উপরিপাতিত করছি। উভয় ক্ষেত্রেই তরঙ্গ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য হলো $k_1=k_2=(\mathrm{\Delta }{k}_x^2+k_y^2{)}^{1/2}$:

$A=\sin (-\mathrm{\Delta }{k}_{x}x+k_{y}y-\omega t)+\sin (\mathrm{\Delta }{k}_{x}x+k_{y}y-\omega t).$ (৩.১৫)

যদি $\mathrm{\Delta }{k}_x<<k_y$ হয়, তবে ধরে নেওয়া যায় যে উভয় তরঙ্গই $y$ অক্ষের দিকে অগ্রসর হচ্ছে। সামান্য ভিন্ন দিকে অগ্রসর হওয়া একই কম্পাঙ্কের দুটি আলোক তরঙ্গ এ ধরনের তরঙ্গের একটি চমৎকার উদাহরণ হতে পারে।

চিত্র ২.৭: একই তরঙ্গদৈর্ঘ্য কিন্তু ভিন্ন দিকে বিন্যস্ত দুটি সমতল তরঙ্গের তরঙ্গমুখ এবং তরঙ্গ ভেক্টর। উল্লম্ব ব্যান্ডগুলো গঠনমূলক ব্যতিচারের অঞ্চলগুলো নির্দেশ করে, যেখানে তরঙ্গমুখগুলো পরস্পর মিলে যায়। বারগুলোর মধ্যবর্তী উল্লম্ব অঞ্চলগুলোতে ধ্বংসাত্মক ব্যতিচার থাকে। তাই এগুলো উপরিপাতনের ফলে উৎপন্ন রশ্মিগুলোর পার্শ্বীয় সীমানা নির্ধারণ করে। এখানে একটি তরঙ্গ ভেক্টরের উপাংশ $\mathrm{\Delta }{k}_x$ এবং $k_y$ দেখানো হয়েছে।

দুটি কোণের যোগফলের সাইন-এর ত্রিকোণমিতিক অভেদ প্রয়োগ করে (যেমনটি আমরা আগে করেছি) সমীকরণ (৩.১৫)-কে আরও সরল করা যায়:

$A=2\sin (k_{y}y-\omega t)\cos (\mathrm{\Delta }{k}_{x}x).$ (৩.১৬)

এটি $y$ অক্ষের দিকে $c_{phase}=\omega /k_y$ দশা বেগ এবং $k_y$ তরঙ্গসংখ্যা নিয়ে চলমান একটি সাইন তরঙ্গের আকার নির্দেশ করে। এটি মূলত $x$ অক্ষের দিকে একটি কোসাইন ফাংশন দ্বারা মড্যুলেট করা থাকে। $x$ অক্ষ বরাবর ধ্বংসাত্মক ব্যতিচারের অঞ্চলগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব $w$ থেকে আমরা উৎপন্ন রশ্মিগুলোর প্রস্থ সম্পর্কে ধারণা পাই। এটি $\mathrm{\Delta }{k}_{x}w=\pi$ সমীকরণ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। সুতরাং,

$w=\pi /\mathrm{\Delta }{k}_x.$ (৩.১৭)

অর্থাৎ, $\mathrm{\Delta }{k}_x$-এর মান যত ছোট হবে, রশ্মির ব্যাস তত বড় হবে। এই আচরণটি চিত্র ২.৭-এ দেখানো হয়েছে।

চিত্র ২.৮: একই তরঙ্গদৈর্ঘ্য নিয়ে ভিন্ন দিকে চলমান দুটি সমতল তরঙ্গ দ্বারা উৎপন্ন রশ্মির উদাহরণ। তরঙ্গ দুটির তরঙ্গ ভেক্টর হলো $\text{k}=(\pm 0.1,1.0)$। ধনাত্মক সরণের অঞ্চলগুলোকে উল্লম্ব হ্যাচিং এবং ঋণাত্মক সরণের অঞ্চলগুলোকে আনুভূমিক হ্যাচিং দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে।

চিত্র ২.৭-এর মতো করে বিন্যস্ত সমান তরঙ্গদৈর্ঘ্যের দুটি সমতল তরঙ্গের উপরিপাতন থেকে উৎপন্ন রশ্মির একটি উদাহরণ চিত্র ২.৮-এ দেখানো হয়েছে। এটি সহজেই প্রমাণ করা যায় যে, উৎপন্ন তরঙ্গ প্যাকেটের অনুপ্রস্থ প্রস্থ সমীকরণ (২.১৭) মেনে চলে।

ভিন্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্যের দুটি তরঙ্গ

চিত্র ২.৬-এর তৃতীয় উদাহরণে তরঙ্গের কম্পাঙ্ক কেবল তরঙ্গ ভেক্টরের দিকের ওপর নির্ভর করে, এর মানের ওপর নয়। এটি সমসারক বিচ্ছুরণ সম্পর্কের সম্পূর্ণ বিপরীত একটি অবস্থা। এক্ষেত্রে একই কম্পাঙ্কযুক্ত ভিন্ন ভিন্ন সমতল তরঙ্গের তরঙ্গ ভেক্টর একই দিকে নির্দেশ করলেও, এদের দৈর্ঘ্য আলাদা হয়।

আরও ব্যাপকভাবে চিন্তা করলে, এমন কিছু তরঙ্গ থাকতে পারে যাদের কম্পাঙ্ক তরঙ্গ ভেক্টরের দিক এবং মান—উভয়েরই ওপর নির্ভর করে। এ ধরনের ক্ষেত্রে একই কম্পাঙ্কের দুটি ভিন্ন সমতল তরঙ্গের তরঙ্গ ভেক্টর সাধারণত দিক এবং মান—উভয় দিক থেকেই আলাদা হয়।

চিত্র ২.৯: ভিন্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্য ও ভিন্ন দিকে বিন্যস্ত দুটি সমতল তরঙ্গের তরঙ্গমুখ এবং তরঙ্গ ভেক্টর। তীর্যক ব্যান্ডগুলো গঠনমূলক ব্যতিচারের অঞ্চল নির্দেশ করে, যেখানে তরঙ্গমুখগুলো মিলে যায়। বারগুলোর মধ্যবর্তী তীর্যক অঞ্চলগুলোতে ধ্বংসাত্মক ব্যতিচার ঘটে। আগের মতোই, এগুলো উপরিপাতনের ফলে উৎপন্ন রশ্মিগুলোর পার্শ্বীয় সীমানা নির্ধারণ করে।

গাণিতিকভাবে, এই দুটি তরঙ্গের উপরিপাতনকে আমরা সমীকরণ (২.১৫)-এর একটি সাধারণ রূপ হিসেবে উপস্থাপন করতে পারি:

$A=\sin [-\mathrm{\Delta }{k}_{x}x+(k_y+\mathrm{\Delta }{k}_y)y-\omega t]+\sin [\mathrm{\Delta }{k}_{x}x+(k_y-\mathrm{\Delta }{k}_y)y-\omega t].$ (৩.১৮)

এই সমীকরণে প্রথম তরঙ্গ ভেক্টরের $y$ উপাংশ হিসেবে $k_y+\mathrm{\Delta }{k}_y$ ব্যবহার করা হয়েছে। অন্যদিকে, দ্বিতীয় তরঙ্গ ভেক্টরের উপাংশ হলো $k_y-\mathrm{\Delta }{k}_y$। ফলে, প্রথম তরঙ্গের সামগ্রিক তরঙ্গসংখ্যা দাঁড়ায় $k_1=[\mathrm{\Delta }{k}_x^2+(k_y+\mathrm{\Delta }{k}_y{)}^2{]}^{1/2}$। আর দ্বিতীয় তরঙ্গের ক্ষেত্রে এটি হয় $k_2=[\mathrm{\Delta }{k}_x^2+(k_y-\mathrm{\Delta }{k}_y{)}^2{]}^{1/2}$। এর ফলস্বরূপ $k_1\ne k_2$ শর্তটি পূরণ হয়। সাধারণ ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যবহার করে আমরা সমীকরণ (২.১৮)-কে নিচের মতো করে লিখতে পারি:

$A=2\sin (k_{y}y-\omega t)\cos (-\mathrm{\Delta }{k}_{x}x+\mathrm{\Delta }{k}_{y}y).$ (৩.১৯)

সমীকরণটি ঠিক কী নির্দেশ করছে, তা বুঝতে একটি বিষয়ে লক্ষ করুন। দুটি তরঙ্গের মধ্যে কেবল তখনই গঠনমূলক ব্যতিচার ঘটে, যখন $-\mathrm{\Delta }{k}_{x}x+\mathrm{\Delta }{k}_{y}y=m\pi$ হয়। এখানে $m$ হলো একটি পূর্ণসংখ্যা। $y$-এর মান বের করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করলে পাওয়া যায়: $y=(\mathrm{\Delta }{k}_x/\mathrm{\Delta }{k}_y)x+m\pi /\mathrm{\Delta }{k}_y$। এটি মূলত $\mathrm{\Delta }{k}_x/\mathrm{\Delta }{k}_y$ ঢালযুক্ত রেখাগুলোকে নির্দেশ করে। প্রমাণিত হয়েছে যে, এই রেখাগুলো দুটি তরঙ্গ ভেক্টরের ভেক্টর পার্থক্যের ওপর লম্বভাবে অবস্থান করে। এখানে পার্থক্যটি হলো: ${\text{k}}_2-{\text{k}}_1=(2\mathrm{\Delta }{k}_x,-2\mathrm{\Delta }{k}_y)$। এটি বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো ভেক্টর পার্থক্যের ঢালের দিকে লক্ষ করা। এই পার্থক্য ভেক্টরটি এমনভাবে বিন্যস্ত থাকে, যার ঢাল হয় $-\mathrm{\Delta }{k}_y/\mathrm{\Delta }{k}_x$। গঠনমূলক ব্যতিচার রেখার ঢাল $\mathrm{\Delta }{k}_x/\mathrm{\Delta }{k}_y$-এর সাথে তুলনা করলে বিষয়টি যে সঠিক, তা সহজেই বোঝা যায়।

চিত্র ২.১০: দিক ও মান—উভয় ক্ষেত্রেই ভিন্ন তরঙ্গ ভেক্টরযুক্ত দুটি সমতল তরঙ্গ দ্বারা উৎপন্ন রশ্মির উদাহরণ। তরঙ্গ দুটির তরঙ্গ ভেক্টর হলো ${\text{k}}_1=(-0.1,1.0)$ এবং ${\text{k}}_2=(0.1,0.9)$। ধনাত্মক সরণের অঞ্চলগুলোকে উল্লম্ব হ্যাচিং এবং ঋণাত্মক সরণের অঞ্চলগুলোকে আনুভূমিক হ্যাচিং দিয়ে চিত্রায়িত করা হয়েছে।

ভিন্ন দিক এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য বিশিষ্ট দুটি তরঙ্গের উপরিপাতন থেকে কীভাবে রশ্মি তৈরি হয়, তার একটি উদাহরণ চিত্র ২.১০-এ দেখানো হয়েছে। এখানে লক্ষ করুন যে, চিত্র ২.৮-এর মতোই তরঙ্গমুখগুলো এখনও আনুভূমিক রয়েছে। তবে রশ্মিগুলো উল্লম্ব না হয়ে কিছুটা ডান দিকে হেলে আছে।

চিত্র ২.১১: একই কম্পাঙ্কের দুটি সমতল তরঙ্গ যোগ করার সময় এর সাথে জড়িত প্রভাবকগুলোর চিত্রায়ন। তরঙ্গমুখগুলো মূলত দুটি তরঙ্গ ভেক্টরের ভেক্টর গড়ের ওপর লম্বভাবে থাকে, অর্থাৎ ${\text{k}}_0=({\text{k}}_1+{\text{k}}_2)/2$। অন্যদিকে, রশ্মির দিকবিন্যাস নির্ধারণকারী গঠনমূলক ব্যতিচার রেখাগুলো এই দুটি ভেক্টরের পার্থক্যের ( ${\text{k}}_2-{\text{k}}_1$ ) ওপর লম্বভাবে বিন্যস্ত থাকে।

একই কম্পাঙ্কের সমতল তরঙ্গ যোগ করার বিষয়ে আমরা এতক্ষণ যা শিখেছি, চিত্র ২.১১ মূলত তারই একটি সারসংক্ষেপ তুলে ধরে। সাধারণ অবস্থায় রশ্মির দিকবিন্যাস এবং গঠনমূলক ব্যতিচার রেখাগুলো তরঙ্গমুখের ওপর লম্ব হয় না। এটি কেবল তখনই সম্ভব, যখন তরঙ্গের কম্পাঙ্ক তরঙ্গ ভেক্টরের দিকের ওপর নির্ভরশীল থাকে না।

একই তরঙ্গদৈর্ঘ্যের অনেক তরঙ্গ

একমাত্রিক তরঙ্গ প্যাকেটের মতোই, একটি বিচ্ছিন্ন তরঙ্গ প্যাকেট তৈরি করতে চাইলে আমরা দুটির বেশি তরঙ্গ একসাথে যোগ করতে পারি। তবে আমরা এখানে আমাদের আলোচনা এমন একটি সমসারক বিচ্ছুরণ সম্পর্কের ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ রাখব, যেখানে একটি নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কের জন্য সমস্ত তরঙ্গ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য একদম একই থাকে।

চিত্র ২.১২: একসাথে যোগ করা যেতে পারে এমন সমতল তরঙ্গগুলোর তরঙ্গ ভেক্টরের চিত্রায়ন।

চিত্র ২.১২-তে এর একটি চমৎকার উদাহরণ দেখানো হয়েছে। এখানে একই তরঙ্গদৈর্ঘ্য কিন্তু ভিন্ন দিকের তরঙ্গ ভেক্টরগুলোকে একসাথে যোগ করা হয়েছে। চিত্র ২.১২-এর চিত্রায়ণে উল্লম্ব রেখা থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে $i$-তম তরঙ্গ ভেক্টরের কোণকে ${\alpha }_i$ হিসেবে ধরা হয়েছে। এর ওপর ভিত্তি করে $t=0$ সময়ে এই তরঙ্গগুলোর উপরিপাতনকে আমরা নিচের সমীকরণের মতো করে লিখতে পারি: $A=\sum _i{A}_i\sin (k_{xi}x+k_{yi}y)$

$=\sum _i{A}_i\sin [kx\sin ({\alpha }_i)+ky\cos ({\alpha }_i)]$ (৩.২০)

এখানে আমরা ধরে নিয়েছি যে, $k_{xi}=k\sin ({\alpha }_i)$ এবং $k_{yi}=k\cos ({\alpha }_i)$। সমীকরণের $k=|\text{k}|$ প্যারামিটারটি মূলত তরঙ্গ ভেক্টরের মান নির্দেশ করে। এটি সমস্ত তরঙ্গের জন্যই অপরিবর্তিত বা একই থাকে। এই উদাহরণে আমরা আরও একটি বিষয় ধরে নিই। ধরা যাক, $|{\alpha }_i|$ বৃদ্ধির সাথে সাথে প্রতিটি তরঙ্গ উপাংশের বিস্তার ক্রমশ হ্রাস পায়:

$A_i=\exp [-({\alpha }_i/{\alpha }_{max}{)}^2].$ (৩.২১)

এক্সপোনেনশিয়াল বা সূচকীয় ফাংশনের আর্গুমেন্টটি নেতিবাচক বা ঋণাত্মক হওয়ার সাথে সাথে এটি খুব দ্রুত হ্রাস পেতে থাকে। ব্যবহারিক দিক থেকে চিন্তা করলে, কেবল $|{\alpha }_i|\le {\alpha }_{max}$ যুক্ত তরঙ্গ ভেক্টরগুলোই এই যোগফলে উল্লেখযোগ্য ভূমিকা পালন করে। আমরা ${\alpha }_{max}$-কে সাধারণত ছড়িয়ে পড়ার কোণ বলে থাকি।

চিত্র ২.১৩: ${\alpha }_{max}=0.8$ এবং $k=1$-এর জন্য সমীকরণ (২.২০) থেকে পাওয়া সরণ ক্ষেত্র $A(x,y)$-এর প্লট।

${\alpha }_{max}=0.8\text{ radians}$ এবং $k=1$ হলে $A(x,y)$ দেখতে কেমন হবে, তা চিত্র ২.১৩-এ দেখানো হয়েছে। এখানে লক্ষ করুন যে, $y=0$-এর জন্য তরঙ্গের বিস্তার কেবল $-4<x<4$ সীমার ভেতরের একটি ছোট অঞ্চলের জন্যই বড় হয়। তবে $y>0$-এর জন্য তরঙ্গটি একটি বেশ প্রশস্ত অর্ধবৃত্তাকার নকশায় চারদিকে ছড়িয়ে পড়ে।

চিত্র ২.১৪: ${\alpha }_{max}=0.2$ এবং $k=1$-এর জন্য সমীকরণ (২.২০) থেকে পাওয়া সরণ ক্ষেত্র $A(x,y)$-এর প্লট।

ছড়িয়ে পড়ার কোণ ${\alpha }_{max}=0.2\text{ radians}$ হলে $A(x,y)$-এর নকশাটি কেমন হবে, তা চিত্র ২.১৪-তে দেখানো হয়েছে। এক্ষেত্রে $y=0$ অবস্থানে $x$-এর একটি অনেক বড় ও বিস্তৃত পরিসরের জন্য তরঙ্গের বিস্তার বেশি হয়। এটি প্রায় $-12<x<12$ পর্যন্ত হয়ে থাকে। অন্যদিকে, তরঙ্গের পরবর্তী ছড়িয়ে পড়ার মাত্রা চিত্র ২.১৩-এর তুলনায় অনেকটাই কম।

এখান থেকে আমরা একটি সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি। $y$ অক্ষের দিকে নির্দেশকারী একটি কেন্দ্রীয় তরঙ্গ ভেক্টরের চারপাশে সংকীর্ণভাবে ছড়িয়ে থাকা তরঙ্গ ভেক্টরগুলোর উপরিপাতন (চিত্র ২.১৪-এর মতো) এমন একটি রশ্মি তৈরি করে, যা প্রাথমিকভাবে $x$ অক্ষের দিকে প্রশস্ত থাকে। তবে $y$-এর মান বৃদ্ধির সাথে সাথে এর প্রস্থ খুব সামান্যই বৃদ্ধি পায়। অপরদিকে, তুলনামূলক বিস্তৃতভাবে ছড়িয়ে থাকা তরঙ্গ ভেক্টরগুলোর সমতল তরঙ্গের উপরিপাতন (চিত্র ২.১৩-এর মতো) এমন একটি রশ্মি তৈরি করে, যা প্রাথমিকভাবে $x$ অক্ষের দিকে বেশ সরু থাকে। তবে এক্ষেত্রে $y$-এর মান বৃদ্ধির সাথে সাথে এর প্রস্থ দ্রুত বাড়তে থাকে।

এই অনুচ্ছেদের শুরুতে আলোচিত দ্বি-তরঙ্গ উপরিপাতনের ফলাফলের সাথে তুলনা করলে ছড়িয়ে পড়ার কোণ ${\alpha }_{max}$ এবং রশ্মির প্রাথমিক প্রস্থের মধ্যকার সম্পর্কটি আরও সহজে বোঝা যায়। সমীকরণ (২.১৭) অনুযায়ী, $k_x$ এবং ফলস্বরূপ $\alpha$-এর বড় মানগুলো $x$ অক্ষের দিকে ছোট তরঙ্গ প্যাকেটের মাত্রার সাথে সম্পর্কিত। এর বিপরীত কথাও একইভাবে সত্য। অনেকগুলো তরঙ্গ উপরিপাতিত হওয়ার সময় রশ্মির যে পরবর্তী ছড়িয়ে পড়া তৈরি হয়, দুটি তরঙ্গের উপরিপাতন তা পুরোপুরি ব্যাখ্যা করতে পারে না। তবে এটি ${\alpha }_{max}$ (যা দ্বি-তরঙ্গ ক্ষেত্রে কেবল ${\tan }^{-1}(k_x/k_y)$) এবং রশ্মির প্রাথমিক প্রস্থের মধ্যে একটি মোটামুটি পরিমাণগত সম্পর্ক তৈরি করে।

যদি আমরা $\alpha ={\alpha }_{max}$-এর জন্য ছোট কোণের আসন্নীকরণ প্রয়োগ করি, তবে ${\alpha }_{max}={\tan }^{-1}(k_x/k_y)\approx k_x/k_y\approx k_x/k$ হয়। এর ফলে $k_x\approx k{\alpha }_{max}$ হয় এবং সমীকরণ (২.১৭)-কে $w=\pi /k_x\approx \pi /(k{\alpha }_{max})=\lambda /(2{\alpha }_{max})$ হিসেবে লেখা যায়। সুতরাং, তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda$ এবং রশ্মির প্রাথমিক প্রস্থ $w$ থেকে আমরা আনুমানিক ছড়িয়ে পড়ার কোণটি নির্ণয় করতে পারি:

${\alpha }_{max}\approx \lambda /(2d)\text{(single slit spreading angle)}.$ (৩.২২)