তরঙ্গ/সমতল তরঙ্গ

সমতল তরঙ্গ

দুই বা তিন মাত্রায় সমতল তরঙ্গ একমাত্রিক সাইন তরঙ্গের মতো হলেও একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য রয়েছে। একমাত্রিক তরঙ্গে শীর্ষ ও খাদ বিন্দু আকারে দেখা যায়, কিন্তু সমতল তরঙ্গে এগুলো বিন্দু নয়; বরং দুই মাত্রায় রেখা এবং তিন মাত্রায় সমতল গঠন করে। এই রেখা বা সমতলগুলো তরঙ্গের চলার দিকের লম্বভাবে অবস্থান করে। চিত্র ২.৫-এ দুই মাত্রায় একটি সমতল সাইন তরঙ্গ দেখানো হয়েছে।

চিত্রের বড় তীরচিহ্নটি একটি ভেক্টর, যাকে তরঙ্গ ভেক্টর বলা হয়। এটি দুটি বিষয় নির্দেশ করে—

1. তরঙ্গ কোন দিকে অগ্রসর হচ্ছে, যা তরঙ্গ সম্মুখভাগের লম্ব দিক দ্বারা নির্ধারিত হয়;
2. তরঙ্গসংখ্যা, যা ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে প্রকাশ পায়।

তরঙ্গ সম্মুখভাগকে তরঙ্গের শীর্ষ বরাবর অঙ্কিত একটি রেখা হিসেবে কল্পনা করা যায়। নির্দিষ্ট একটি সময়ে তিন মাত্রায় সমতল সাইন তরঙ্গের সরণের সমীকরণ হলো—

$A(x,y,z)=\sin (\text{k}\cdot \text{r})=\sin (k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z).$ (3.9)

চিত্র ২.৫: দুই মাত্রায় একটি সমতল সাইন তরঙ্গের ব্যাখ্যামূলক চিত্র। তরঙ্গ সম্মুখভাগগুলো সমপর্যায়বিশিষ্ট পৃষ্ঠ, যেগুলো একটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য দূরত্বে পরস্পর থেকে পৃথক। তরঙ্গ ভেক্টর এসব সম্মুখভাগের লম্ব এবং এর দৈর্ঘ্য তরঙ্গসংখ্যা নির্দেশ করে।

যেহেতু তরঙ্গ সম্মুখভাগ হলো সমপর্যায়বিশিষ্ট রেখা বা পৃষ্ঠ, তাই এগুলোর সমীকরণ লেখা যায়—

$\text{k}\cdot \text{r}=const$

দুই মাত্রার ক্ষেত্রে $k_z=0$ ধরা হয়। ফলে, সমপর্যায়বিশিষ্ট একটি রেখার সমীকরণ দাঁড়ায়—

$\text{k}\cdot \text{r}=k_{x}x+k_{y}y=\varphi \text{(two dimensions)}.$ (3.10)

এই সমীকরণ থেকে সহজেই $y$-এর মান নির্ণয় করে রেখাটির ঢাল ও ছেদক নির্ধারণ করা যায়।

একমাত্রিক তরঙ্গের মতো এখানেও সময়ের সঙ্গে তরঙ্গের পরিবর্তন বোঝাতে পর্যায়ের সঙ্গে $-\omega t$ পদ যোগ করা হয়। ফলে তিন মাত্রায় স্থান ও সময়ের উপর নির্ভরশীল তরঙ্গের সরণ হয়—

$A(x,y,z,t)=\sin (k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z-\omega t).$ (3.11)

সাধারণভাবে, কম্পাঙ্ক তরঙ্গ ভেক্টরের তিনটি উপাংশের উপর নির্ভর করে। অর্থাৎ,

$\omega =\omega (k_x,k_y,k_z)$

এই সম্পর্ককে বিচ্ছুরণ সম্পর্ক বলা হয়। এটি তরঙ্গের ভৌত আচরণ সম্পর্কে গুরুত্বপূর্ণ তথ্য দেয়।

দুই মাত্রায় বিভিন্ন ধরনের তরঙ্গের জন্য বিচ্ছুরণ সম্পর্কের কয়েকটি উদাহরণ নিচে দেওয়া হলো—

• শূন্যস্থানে আলোক তরঙ্গের জন্য—

$\omega =c(k_x^2+k_y^2{)}^{1/2}\text{(light)},$ (3.12)

এখানে $c$ হলো শূন্যস্থানে আলোর বেগ।

• গভীর সমুদ্রের তরঙ্গের জন্য—

$\omega =g^{1/2}(k_x^2+k_y^2{)}^{1/4}\text{(ocean waves)},$ (3.13)

এখানে $g$ পৃথিবীর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের তীব্রতা নির্দেশ করে।

• বায়ুমণ্ডলের কিছু বিশেষ তরঙ্গ, যা উল্লম্ব $x-z$ তলে সীমাবদ্ধ থাকে এবং মহাকর্ষীয় তরঙ্গ নামে পরিচিত, তাদের জন্য—

$\omega =\frac{N{k}_x}{k_z}\text{(gravity waves)},$ (3.14)

এখানে $N$ একটি ধ্রুবক, যার একক সময়ের বিপরীত এবং একে ব্রান্ট–ভাইসালা কম্পাঙ্ক বলা হয়।

চিত্র ২.৬: দুই মাত্রায় তিন ধরনের তরঙ্গের বিচ্ছুরণ সম্পর্কের সমমান রেখাচিত্র। উপরের অংশে এমন রেখাগুলো দেখানো হয়েছে, যেগুলোর প্রতিটি বিন্দুতে কম্পাঙ্ক একই থাকে। আলোক ও সমুদ্র তরঙ্গের ক্ষেত্রে কম্পাঙ্ক কেবল তরঙ্গ ভেক্টরের মানের উপর নির্ভরশীল, কিন্তু মহাকর্ষীয় তরঙ্গের ক্ষেত্রে এটি কেবল ভেক্টরের দিকের উপর নির্ভর করে, যা $\theta$ কোণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। নিচের অংশে প্রতিটি তরঙ্গের এই নির্ভরতার রূপ দেখানো হয়েছে।

চিত্র ২.৬-এর উপরের অংশে এসব বিচ্ছুরণ সম্পর্কের সমমান রেখাচিত্র দেখানো হয়েছে। এগুলো অনেকটা ভূপৃষ্ঠের উচ্চতা নির্দেশকারী মানচিত্রের মতো, যেখানে প্রতিটি রেখা সমান উচ্চতা নির্দেশ করে। তবে এখানে উচ্চতার পরিবর্তে সমান কম্পাঙ্ক নির্দেশ করা হয়েছে। সহজভাবে উপস্থাপনের জন্য রেখাগুলোর পাশে কম্পাঙ্কের প্রকৃত মান লেখা হয়নি; বরং নিচের চিত্রে তা দেখানো হয়েছে। প্রথম দুই ক্ষেত্রে কম্পাঙ্ক কেবল তরঙ্গ ভেক্টরের মান $(k_x^2+k_y^2{)}^{1/2}$-এর উপর নির্ভর করে, আর তৃতীয় ক্ষেত্রে তা কেবল তরঙ্গ ভেক্টরের দিক $\theta$-এর উপর নির্ভরশীল।