তরঙ্গ/সাইন তরঙ্গ

সাইন তরঙ্গ

একটি বিশেষ সরল ধরনের তরঙ্গ হলো সাইন তরঙ্গ, যা চিত্র ১.২-এ দেখানো হয়েছে। এর গাণিতিক রূপটি হলো:

$h(x)=h_0\sin (2\pi x/\lambda ),$ (২.১)

যেখানে

h হলো সরণ (যা অনুদৈর্ঘ্য বা অনুপ্রস্থ উভয়ই হতে পারে),

$h_0$ হলো সর্বোচ্চ সরণ, যাকে অনেক সময় তরঙ্গের বিস্তার বলা হয়,

λ হলো তরঙ্গদৈর্ঘ্য

চিত্র ১.২: সাইন তরঙ্গের ব্যাখ্যামূলক চিত্র, যেখানে বিভিন্ন বিন্দুতে তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ, বিস্তার $h_0$ এবং দশা φ দেখানো হয়েছে।

এতক্ষণ পর্যন্ত আমরা কেবল কোনো নির্দিষ্ট সময়ে একটি সাইন তরঙ্গ কেমন দেখায় তা বিবেচনা করেছি। সকল চিত্তাকর্ষক তরঙ্গই সময়ের সাথে অগ্রসর হয়। একটি সাইন তরঙ্গের ডানদিকে $d$ দূরত্ব অতিক্রম করার বিষয়টি উপরের সূত্রে $x$-এর পরিবর্তে $x-d$ বসিয়ে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। যদি এই সঞ্চালন $t$ সময়ে ঘটে, তবে তরঙ্গটি $c=d/t$ বেগে অগ্রসর হয়। এখান থেকে $d$-এর মান বের করে প্রতিস্থাপন করলে দূরত্ব $x$ এবং সময় $t$ উভয়ের ফাংশন হিসেবে সাইন তরঙ্গের সরণের একটি সূত্র পাওয়া যায়:

$h(x)=h_0\sin [2\pi (x-ct)/\lambda ].$ (২.২)

একটি তরঙ্গের এক তরঙ্গদৈর্ঘ্য দূরত্ব অতিক্রম করতে যে সময় লাগে তাকে তরঙ্গের পর্যায়কাল বলে: $T=\lambda /c$। সুতরাং, আমরা এভাবেও লিখতে পারি:

$h(x)=h_0\sin [2\pi (x/\lambda -t/T)].$(২.৩)

পদার্থবিদগণ মূলত সাইন তরঙ্গের সমীকরণটিকে আরও কিছুটা সরলরূপে লিখতে পছন্দ করেন। তরঙ্গসংখ্যাকে $k=2\pi /\lambda$ এবং কৌণিক কম্পাঙ্ককে $\omega =2\pi /T$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করে আমরা লিখতে পারি:

$h(x)=h_0\sin (kx-\omega t).$(২.৪)

আমরা সাধারণত স্পন্দন গতির কম্পাঙ্ক বলতে প্রতি সেকেন্ডে সম্পন্ন পূর্ণ চক্রের সংখ্যাকে বুঝি, যাকে $f=1/T$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এটি কৌণিক কম্পাঙ্ক ওমেগার সাথে $\omega =2\pi f$ সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত। কৌণিক কম্পাঙ্ক ব্যবহার করা হয় কারণ এটি সরাসরি তরঙ্গসংখ্যার সমতুল্য (উপরে দেখুন)। এই দুটির মধ্যে রূপান্তর করা কঠিন কিছু নয়। কম্পাঙ্ক হার্জ (hertz) এককে পরিমাপ করা হয়, যার সংক্ষিপ্ত রূপ হলো Hz; $1\text{Hz}=1{\text{ s}}^{-1}$ এবং কৌণিক কম্পাঙ্ক $\omega$-এর একক হলো রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ড। (অনেক হিসাবের ক্ষেত্রে কম্পাঙ্ক এবং কৌণিক কম্পাঙ্কের মধ্যে রূপান্তর না করা একটি সাধারণ ভুল)

সাইন ফাংশনের আর্গুমেন্ট সংজ্ঞানুসারে একটি কোণ। আমরা এই কোণটিকে তরঙ্গের দশা, $\varphi =kx-\omega t$ হিসেবে উল্লেখ করি। একটি নির্দিষ্ট সময়ে এক তরঙ্গদৈর্ঘ্য দূরত্বের ব্যবধানে কোনো তরঙ্গের দশার পার্থক্য হলো $2\pi$; একইভাবে একটি নির্দিষ্ট অবস্থানে এক পর্যায়কাল সময়ের ব্যবধানে দশার পার্থক্যও $2\pi$।

পূর্বে উল্লিখিত হিসাবে, তরঙ্গের সর্বোচ্চ সরণ $h_0$-কে আমরা বিস্তার বলি। প্রায়শই আমরা কোনো তরঙ্গের তীব্রতা সম্পর্কে জানতে আগ্রহী হই, যা বিস্তারের বর্গ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, অর্থাৎ $I=h_0^2$।

উপরে আমরা যে তরঙ্গ বেগ, $c=\lambda /T$ সংজ্ঞায়িত করেছি, তাকে মূলত দশা বেগ বলা হয়। যেহেতু $\lambda =2\pi /k$ এবং $T=2\pi /\omega$, তাই আমরা দশা বেগকে কৌণিক কম্পাঙ্ক ও তরঙ্গসংখ্যার মাধ্যমে লিখতে পারি:

$c=\frac{\omega }{k}\text{(phase speed)}.$ (২.৫)

---