তরঙ্গ/২-৩ মাত্রার অনুশীলনী

সমস্যাসমূহ

1. A বিন্দুটি মূলবিন্দুতে অবস্থিত। B বিন্দুটি A থেকে $3\text{ m}$ দূরত্বে $x$ অক্ষ হতে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $30^{\circ }$ কোণে অবস্থিত। C বিন্দুটি A বিন্দু থেকে $2\text{ m}$ দূরত্বে $x$ অক্ষ হতে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $100^{\circ }$ কোণে অবস্থিত।
   1. A থেকে B এর দিকে নির্দেশকারী ${\text{D}}_1$ ভেক্টর এবং A থেকে C এর দিকে নির্দেশকারী ${\text{D}}_2$ ভেক্টরের কার্তেসীয় উপাংশগুলো নির্ণয় করুন।
   2. B থেকে C এর দিকে নির্দেশকারী ${\text{D}}_3$ ভেক্টরের কার্তেসীয় উপাংশগুলো নির্ণয় করুন।
   3. ${\text{D}}_3$ এর দিক ও মান নির্ণয় করুন।
2. উপরের সমস্যার ভেক্টরগুলোর জন্য, ডট গুণনের কোসাইন রূপ এবং কার্তেসীয় রূপ উভয়ই ব্যবহার করে ${\text{D}}_1\cdot {\text{D}}_2$ নির্ণয় করুন। দুটি উত্তর একই কিনা তা যাচাই করুন।
3. লৈখিকভাবে বা অন্য কোনো উপায়ে দেখান যে, $\text{A}$ এবং $\text{B}$ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল না হলে সর্বদা $|\text{A}+\text{B}|\ne |\text{A}|+|\text{B}|$ হবে।
4. $x$-$y$ সমতলে একটি তরঙ্গ $h=h_0\sin (\text{k}\cdot \text{x})$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেখানে $\text{k}=(1,2){\text{ cm}}^{-1}$।
   1. একটি গ্রাফ পেপারে $x$ এবং $y$ অক্ষ আঁকুন এবং তারপর মূলবিন্দুগামী একটি রেখা আঁকুন যা $\text{k}$ ভেক্টরের সমান্তরাল।
   2. একই গ্রাফে $\text{k}\cdot \text{x}=k_{x}x+k_{y}y=0$, $\text{k}\cdot \text{x}=\pi$, এবং $\text{k}\cdot \text{x}=2\pi$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত রেখাগুলো আঁকুন। এই রেখাগুলো $\text{k}$ এর উপর লম্ব কিনা তা যাচাই করুন।
5. একই কম্পাঙ্ক $\omega$ বিশিষ্ট সমুদ্রের দুটি গভীর সমতল তরঙ্গ আনুমানিকভাবে পূর্ব দিকে অগ্রসর হচ্ছে। তবে, একটি তরঙ্গ পূর্ব দিক থেকে সামান্য $\beta$ কোণে উত্তরে এবং অন্যটি পূর্ব দিক থেকে $\beta$ কোণে দক্ষিণে নির্দেশিত।
   1. এই দুটি তরঙ্গের মধ্যে গঠনমূলক ব্যতিচার রেখার দিকবিন্যাস নির্ণয় করুন।
   2. গঠনমূলক ব্যতিচার রেখাগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করুন।
6. চিত্র ২.২০-এ এমন তরঙ্গের একটি উদাহরণ লৈখিকভাবে দেখানো হয়েছে যার বিচ্ছুরণ সম্পর্কটিতে কম্পাঙ্ক হলো তরঙ্গ ভেক্টরের মান ও দিক উভয়েরই একটি ফাংশন।
   1. তিনটি তরঙ্গ ভেক্টরের প্রতিটির জন্য তরঙ্গগুলোর দশা বেগ কত? (সংকেত: আপনি চাইলে প্রতিটি তরঙ্গ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য লৈখিকভাবে নির্ণয় করতে পারেন।)
   2. প্রতিটি তরঙ্গ ভেক্টরের জন্য, তরঙ্গমুখের দিকবিন্যাস কী?
   3. চিত্রায়িত প্রতিটি তরঙ্গ ভেক্টরের জন্য, এমন আরও দুটি তরঙ্গ ভেক্টর আঁকুন যাদের গড় মান হলো চিত্রায়িত ভেক্টরটি, এবং যাদের শীর্ষবিন্দু একই কম্পাঙ্কের সমোন্নতি রেখায় অবস্থিত। ভেক্টর জোড়াগুলো যেসব সমতল তরঙ্গের তরঙ্গ ভেক্টর হিসেবে কাজ করে, তাদের উপরিপাতনের ফলে সৃষ্ট গঠনমূলক ব্যতিচার রেখাগুলোর দিকবিন্যাস নির্ণয় করুন।

চিত্র ২.২০: $x$ দিকে প্রবাহিত একটি নদীতে অগভীর জলের তরঙ্গের বিচ্ছুরণ সম্পর্কের লৈখিক উপস্থাপনা। কম্পাঙ্কের একক হলো হার্জ, এবং তরঙ্গ সংখ্যার একক হলো ইনভার্স মিটার।

1. দুটি মহাকর্ষীয় তরঙ্গের কম্পাঙ্ক একই, তবে এদের তরঙ্গদৈর্ঘ্য সামান্য ভিন্ন।
   1. যদি একটি তরঙ্গের বিন্যাস কোণ $\theta =\pi /4\text{ radians}$ হয়, তবে অন্যটির বিন্যাস কোণ কত? (চিত্র ২.৬ দেখুন।)
   2. এই দুটি তরঙ্গের মধ্যে গঠনমূলক ব্যতিচার রেখাগুলোর দিকবিন্যাস নির্ণয় করুন।
2. একটি সমতল তরঙ্গ একটি একক চিরের ওপর আপতিত হয়, এবং চিরের পর একটি অর্ধ-কোণ $\alpha$ এ ছড়িয়ে পড়ে। যদি পুরো যন্ত্রটিকে $n=1.5$ প্রতিসরাঙ্ক বিশিষ্ট কোনো তরলে নিমজ্জিত করা হয়, তবে আলোর ছড়িয়ে পড়ার কোণ কীভাবে পরিবর্তিত হবে? (সংকেত: মনে রাখবেন যে একটি স্বচ্ছ মাধ্যমে প্রতিসরাঙ্ক হলো শূন্যস্থানে আলোর বেগ এবং ওই মাধ্যমে আলোর বেগের অনুপাত। তাছাড়া, আলো যখন শূন্যস্থান থেকে একটি স্বচ্ছ মাধ্যমে প্রবেশ করে, তখন আলোর কম্পাঙ্ক পরিবর্তিত হয় না। সুতরাং, আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য কীভাবে পরিবর্তিত হয়?)
3. পৃথিবী থেকে $6\text{ light years}$ (আলোক বর্ষ) দূরে অবস্থিত একটি নক্ষত্র থেকে $2\times 10^8\text{ km}$ দূরত্বের একটি গ্রহকে স্পষ্টভাবে আলাদা করে দেখার জন্য প্রয়োজনীয় টেলিস্কোপের ব্যাস নির্ণয় করুন। (নীল আলো ধরে নিন যার তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda \approx 4\times 10^{-7}\text{ m}=400\text{ nm}$। তাছাড়া, এই সমস্যার সুবিধার্থে দুটির মধ্যে উজ্জ্বলতার বিশাল পার্থক্য নিয়ে ভাবার দরকার নেই।)
4. পৃথিবীর একটি লেজার থেকে নির্গত একটি লেজার রশ্মি চাঁদে অবস্থিত একটি কর্নার রিফ্লেক্টর দ্বারা প্রতিফলিত হয়ে পৃথিবীতে ফিরে আসে।
   1. প্রকৌশলীরা দেখতে পান যে লেজার রশ্মিটি যদি প্রথমে চিত্র ২.২১-এ দেখানো বিম এক্সপ্যান্ডার দ্বারা প্রসারিত করা হয়, তবে ফিরে আসা সংকেতটি বেশি শক্তিশালী হয়। এর কারণ ব্যাখ্যা করুন।
   2. পৃথিবী ছেড়ে যাওয়ার সময় রশ্মিটির ব্যাস থাকে $1\text{ m}$। এটি যখন $4\times 10^5\text{ km}$ দূরে অবস্থিত চাঁদে পৌঁছায়, তখন এটি কতটা প্রশস্ত হয়? আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য $5\times 10^{-7}\text{ m}$ ধরে নিন।
   3. যদি লেজার রশ্মিটিকে প্রথমে বিম এক্সপ্যান্ডারের মধ্য দিয়ে না পাঠানো হতো, তবে চাঁদে পৌঁছানোর পর এটি কতটা প্রশস্ত হতো? এর প্রাথমিক ব্যাস $1\text{ cm}$ ধরে নিন।

চিত্র ২.২১: লেজারের জন্য একটি বিম এক্সপ্যান্ডারের নকশা।

1. ধরা যাক, একটি সমতল তরঙ্গ একটি প্রতিবন্ধকের দুটি চিরে একটি নির্দিষ্ট কোণে আঘাত করে, যার ফলে একটি চিরে তরঙ্গের দশা অন্য চিরের দশার চেয়ে অর্ধেক তরঙ্গদৈর্ঘ্য পিছিয়ে থাকে। কোনো পিছিয়ে থাকা দশা না থাকার অবস্থার তুলনায়, এক্ষেত্রে উৎপন্ন ব্যতিচার নকশা কীভাবে পরিবর্তিত হয়?
2. ধরা যাক, দ্বি-চির অপবর্তন ব্যবস্থার একটি চিরের সামনে $n=1.33$ প্রতিসরাঙ্কের একটি পাতলা কাঁচের টুকরো রাখা হলো।
   1. আগত তরঙ্গকে ধীর করার জন্য কাঁচটিকে কতটা পুরু হতে হবে যাতে এটি অন্য চিরের মধ্য দিয়ে যাওয়া তরঙ্গের চেয়ে $\pi$ দশা পার্থক্যে পিছিয়ে থাকে? আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda =6\times 10^{-7}\text{ m}$ ধরুন।
   2. উপরোক্ত অবস্থার জন্য, একটি চিরের সামনে কোনো কাঁচ না থাকার অবস্থার তুলনায় অপবর্তনের নকশা কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা গুণগতভাবে বর্ণনা করুন। আপনার ফলাফল ব্যাখ্যা করুন।
3. একটি আলোক উৎস দুটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য উৎপন্ন করে, ${\lambda }_1=400\text{ nm}$ (নীল) এবং ${\lambda }_2=600\text{ nm}$ (লাল)।
   1. এই উৎস থেকে সৃষ্ট দ্বি-চির অপবর্তন নকশা গুণগতভাবে আঁকুন। প্রতিটি তরঙ্গদৈর্ঘ্যের জন্য আলাদাভাবে নকশা আঁকুন।
   2. এই উৎস থেকে সৃষ্ট ১৬-চির অপবর্তন নকশা গুণগতভাবে আঁকুন, যেখানে চিরের ব্যবধান দ্বি-চির ক্ষেত্রের মতোই।
4. একটি আলোক উৎস দুটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য উৎপন্ন করে, ${\lambda }_1=631\text{ nm}$ এবং ${\lambda }_2=635\text{ nm}$। তরঙ্গদৈর্ঘ্য দুটিকে স্পষ্টভাবে আলাদা করতে একটি গ্রেটিং স্পেকট্রোমিটারে ন্যূনতম কয়টি চির প্রয়োজন? (ধরে নিন যে আপনি প্রথম ক্রমের অপবর্তন চূড়া দেখছেন।) প্রতিটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য থেকে সৃষ্ট অপবর্তন চূড়া আঁকুন এবং নির্দেশ করুন যে এদের আলাদাভাবে চিহ্নিত করতে চূড়াগুলো কতটা সরু হতে হবে।