নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/উদাহরণ/দ্বিতীয় শ্রেণীর সিস্টেম

দ্বিতীয় শ্রেণীর সিস্টেম: উদাহরণসমূহ

উদাহরণ ১

মাইনসুইপার জাহাজে একটি হাইড্রোফোনিক অ্যারের লক্ষ্য ঠিক করার জন্য একটি ড্যাম্পড কন্ট্রোল সিস্টেমে ড্রাইভশাফট থেকে অ্যারে পর্যন্ত নিম্নলিখিত ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশন ব্যবহৃত হয়।

$G(s)=\frac{K}{J{s}^2+K_{d}s}$

গেইন প্যারামিটার K পরিবর্তনশীল। অ্যারের জোরের জড়তা, J, এবং পানির সান্দ্রতা-জনিত বিরোধী বল, K_d, স্থির ধ্রুবক হিসেবে দেওয়া হয়েছে:

• $J=9Nm{s}^{2}ra{d}^{-1}$
• $K_d=2Nmsra{d}^{-1}$

কাজ

1. সিস্টেমটি ইউনিটি ফিডব্যাক সহ ক্লোজড-লুপ কনফিগারেশনে রাখা হয়েছে। ইউনিট স্টেপ ইনপুট দেওয়ার সময় ক্লোজড-লুপ আউটপুটের সর্বোচ্চ ওভারশুট প্রায় ৫০% হওয়ার জন্য K এর মান নির্ধারণ করুন। কম ওভারশুট পেতে হলে K এর মান কি এই মানের চেয়ে বেশি হবে না কম?
2. সিস্টেমের সময়-ডোমেইন প্রতিক্রিয়া নির্ণয় করুন।
3. সিস্টেমে এখন ধ্রুবক কোণিক বেগ V ইনপুট হিসেবে দেওয়া হয়েছে। উপরে নির্ধারিত সীমা K এর জন্য, সর্বোচ্চ কত বড় V হতে পারে যাতে অ্যারে ইনপুটের সাথে সর্বোচ্চ ৫° এর ত্রুটিতে সাড়া দেয় তা হিসাব করুন।

কাজ ১

প্রথমে সিস্টেমের ব্লক ডায়াগ্রাম তৈরি করি। আমরা ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশন জানি এবং এটি ইউনিটি ফিডব্যাকের সাথে যুক্ত আছে। তাই,

ক্লোজড-লুপ গেইন হবে:

$H(s)$	$=\frac{G(s)}{1+G(s)}$
	$=\frac{\frac{K}{J{s}^2+K_{d}s}}{\frac{J{s}^2+K_{d}s+K}{J{s}^2+K_{d}s}}$
	$=\frac{K}{J{s}^2+K_{d}s+K}$

এখন এই ক্লোজড-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনকে স্ট্যান্ডার্ড দ্বিতীয় ক্রমের ফর্মে রূপান্তর করি:

$\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$	$=\frac{K}{J{s}^2+K_{d}s+K}$
	$=\frac{\frac{K}{J}}{s^2+\frac{K_d}{J}s+\frac{K}{J}}$

এখন প্রাকৃতিক কম্পাঙ্ক (ω_n) এবং ড্যাম্পিং অনুপাত (ζ) এর মান বের করি:

${\omega }_n^2=\frac{K}{J}=\frac{K}{9}$

$2\zeta {\omega }_n=\frac{K_d}{J}$

$\zeta =\frac{K_d}{2J}\sqrt{\frac{J}{K}}=\frac{K_d}{2}\sqrt{\frac{1}{KJ}}=\frac{1}{3\sqrt{K}}$

এরপর আমরা দ্বিতীয় ক্রমের সিস্টেমের স্ট্যান্ডার্ড রেসপন্স কার্ভের সাহায্যে ওভারশুট মূল্যায়ন করি:

৫০% ওভারশুটের জন্য ζ কমপক্ষে ০.২ হওয়া উচিত।

$\zeta =\frac{1}{3\sqrt{K}}\ge \frac{1}{5}$

$K\le \frac{25}{9}$

এটি সর্বোচ্চ অনুমোদিত মান, তাই কম ওভারশুট পেতে K এর মান অবশ্যই এর থেকে কম হবে। এখন প্রাকৃতিক কম্পাঙ্কের মান হিসাব করি:

${\omega }_n=\frac{5}{9}$

কাজ ২

দ্বিতীয় ক্রমের সিস্টেমের আউটপুট নিচের সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশিত হয়:

$y(t)$	$=1-\frac{1}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\sin (\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_{n}t+{\sin }^{-1}\sqrt{1-{\zeta }^2})$
	$=1-\frac{1}{\sqrt{0.96}}{e}^{-t/9}\sin (\frac{5\sqrt{0.96}}{9}t+{\sin }^{-1}\sqrt{0.96})$
	$=1-1.02e^{-t/9}\sin (0.544t+0.436\pi )$

এই সিস্টেমের আউটপুটের গ্রাফ নিচে দেওয়া হলো:

কাজ ৩

ট্র্যাকিং এরর সিগন্যাল E(s) হল ইনপুট এবং আউটপুটের মধ্যে পার্থক্য।

$E(s)=R(s)-Y(s)$

এখন, রেফারেন্স ইনপুট R(s) থেকে এরর সিগন্যালের গেইন নির্ণয় করা যাক:

$\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{R(s)-Y(s)}{R(s)}$

ইউনিটি ফিডব্যাক সিস্টেমে, ইনপুট থেকে এরর সিগন্যালের গেইন হল:

$\frac{1}{1+G(s)}$

$\frac{E(s)}{R(s)}$	$=\frac{1}{1+\frac{K}{9s^2+2s}}$
	$=\frac{9s^2+2s}{9s^2+2s+2.78}$

এখানে, R(s) হল ঢাল V বিশিষ্ট র‍্যাম্প ইনপুটের লাপ্লাস রূপ:

$R(s)=\frac{V}{s^2}$

ফাইনাল ভ্যালু থিওরেম প্রয়োগ করে স্টেডি-স্টেট এরর নির্ণয় করি:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}e(t)$	$=\underset{s\to 0}{lim}sE(s)$
	$=\underset{s\to 0}{lim}s\cdot \frac{9s^2+2s}{9s^2+2s+2.78}\cdot \frac{V}{s^2}$
	$=\frac{2V}{2.78}$

আমাদের স্টেডি-স্টেট এরর সর্বোচ্চ হতে পারে ৫° (অর্থাৎ $\frac{5\pi }{180}$ রেডিয়ান)।

$V\le \frac{2.78}{2}\times \frac{5\pi }{180}=0.12\text{rad/s}$