নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/ট্রান্সফার ফাংশন

ট্রান্সফার ফাংশনসমূহ

একটি ট্রান্সফার ফাংশন হল একটি সিস্টেমের আউটপুট ও ইনপুটের অনুপাত, যা লাপ্লাস ডোমেইনে বিবেচনা করা হয়, যেখানে প্রাথমিক শর্তাবলি ও সমতাবস্থানুকূল পয়েন্টকে শূন্য ধরা হয়। ট্রানজিয়েন্ট পর্যবেক্ষণের জন্য এই ধারণা শিথিল করা হয়। যদি ইনপুট ফাংশন হয় X(s), এবং আউটপুট ফাংশন হয় Y(s), তাহলে ট্রান্সফার ফাংশন H(s)-কে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়:

$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$

যাঁরা সার্কিট থিওরি বইটি পড়েছেন, তাঁরা ট্রান্সফার ফাংশনটিকে ইম্পিডেন্স, অ্যাডমিটেন্স, বা ভোল্টেজ/কারেন্ট ডিভাইডারের অনুপাত হিসেবে চিনবেন।

ইম্পালস রেসপন্স

তুলনার জন্য, আমরা উপরোক্ত ইনপুট/আউটপুট সম্পর্কের সময় ডোমেইন সমতুল্যটি বিবেচনা করব। সময় ডোমেইনে, ইনপুটকে সাধারণত x(t) এবং আউটপুটকে y(t) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ইনপুট ও আউটপুটের মধ্যকার সম্পর্ককে বলা হয় ইম্পালস রেসপন্স, h(t)।

আমরা এটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$h(t)=\frac{y(t)}{x(t)}$

ইম্পালস ফাংশন

এখানে "ইম্পালস" ঠিক কী, তা নির্ধারণ করাটা প্রাসঙ্গিক। ইম্পালস ফাংশন, যাকে δ(t) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, একটি বিশেষ ধাপে-সংজ্ঞায়িত ফাংশন, যা নিম্নরূপ:

$\delta (t)=\{\begin{array}{cc}0,& t<0\\ \text{undefined},& t=0\\ 0,& t>0\end{array}$

এই ফাংশনকে ডেল্টা ফাংশনও বলা হয় কারণ এটি গ্রিক ছোট হাতের δ দ্বারা চিহ্নিত হয়। এটি সাধারণত অনন্তের দিকে নির্দেশিত একটি তীরচিহ্ন দ্বারা দেখানো হয়:

এটি কেবলমাত্র t = 0 অবস্থানে বর্তমান থাকে। একইভাবে, ডেল্টা ফাংশনকে t অক্ষ বরাবর সরানো যেতে পারে, যেমন: δ(t - N)।

এটি ইউনিট-স্টেপ ফাংশনের সাথে নিম্নরূপ সম্পর্কযুক্ত:

$\delta (t)=\frac{du(t)}{dt}$

$u(t)=\int \delta (t)dt$

ডেল্টা ফাংশন t = 0 পয়েন্টে সংজ্ঞায়িত নয়, কিন্তু এটি অবশ্যই নিম্নলিখিত শর্তটি পূরণ করতে হবে:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t)dt=1$

ইম্পালস ইনপুটে সিস্টেমের রেসপন্সকে বলা হয় ইম্পালস রেসপন্স। লাপ্লাস ট্রান্সফর্মের মাধ্যমে এটি পাওয়া যায়:

$ℒ[u(t)]=U(s)=\frac{1}{s}$

$ℒ[\delta (t)]=sU(s)=\frac{s}{s}=1$

এই ফলাফলটি অ্যাপেনডিক্সের ট্রান্সফর্ম টেবিলে যাচাই করা যেতে পারে।

স্টেপ রেসপন্স

ইম্পালস রেসপন্সের মতো, স্টেপ রেসপন্স হল একটি ইউনিট স্টেপ ইনপুটে সিস্টেমের আউটপুট। এটি প্রাথমিক বিশ্লেষণ পদ্ধতিগুলোর মধ্যে একটি।

কনভল্যুশন

তবে ইম্পালস রেসপন্স ব্যবহার করে সরাসরি আউটপুট নির্ণয় করা যায় না। ইনপুট ও ইম্পালস রেসপন্স জানা থাকলে, কনভল্যুশন অপারেশনের মাধ্যমে আউটপুট নির্ণয় করা যায়:

$y(t)=h(t)\ast x(t)$

কনভল্যুশন হল একটি জটিল প্রক্রিয়া, যা গুণ, সমাকলন ও টাইম-শিফট একত্রিত করে। দুটি ফাংশনের কনভল্যুশন:

$(a\ast b)(t)=(b\ast a)(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}a(\tau )b(t-\tau )d\tau$

(τ হল সমাকলনের ডামি ভেরিয়েবল)। কনভল্যুশন করা কঠিন, তাই লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে এটি গুণফলে রূপান্তরিত করা হয় – এটিই কনভল্যুশন থিওরেম।

টাইম-ইনভেরিয়েন্ট সিস্টেমের রেসপন্স

যদি সিস্টেমটি টাইম-ইনভেরিয়েন্ট হয়, তাহলে ইনপুট ও ইম্পালস রেসপন্সের কনভল্যুশনের মাধ্যমে সিস্টেমের আউটপুট নির্ণয় করা যায়:

$y(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

কনভল্যুশন থিওরেম

সিস্টেম আউটপুট নির্ণয়ে কনভল্যুশন অপারেশন সময়সাপেক্ষ। সৌভাগ্যবশত, লাপ্লাস ট্রান্সফর্মের কনভল্যুশন থিওরেম এই অপারেশনকে গুণফলে রূপ দেয়:

এই সমীকরণদ্বয় দ্বারা প্রকাশ করা যায়:

$ℒ[f(t)\ast g(t)]=F(s)G(s)$

$ℒ[f(t)g(t)]=F(s)\ast G(s)$

এটি ডুয়ালিটি বৈশিষ্ট্যেরও একটি উদাহরণ।

ট্রান্সফার ফাংশনের ব্যবহার

একটি ট্রান্সফার ফাংশন পুরো সিস্টেমকে উপস্থাপন করে। এর মাধ্যমে অর্ডার, টাইপ ও ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স নির্ধারণ করা যায়। ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশন থেকে নাইকুইস্ট ও বোড প্লট আঁকা যায়। ডিনোমিনেটর অংশ (যাকে ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশন বলা হয়) থেকে সিস্টেমের রুট নির্ণয় করা যায়।

সাধারণত s হল লাপ্লাস ভেরিয়েবল। ট্রান্সফার ফাংশনকে G(s) বা H(s) দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$

যদি ইনপুট ও ট্রান্সফার ফাংশন জানা থাকে:

$Y(s)=H(s)X(s)$

ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স

ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স ট্রান্সফার ফাংশনের মতো, তবে এটি ফোরিয়ার ডোমেইনে প্রকাশিত। রূপান্তর:

$s=j\omega$

ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স ও ট্রান্সফার ফাংশন এতটাই ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কযুক্ত যে, সাধারণত একটিই হিসেব করা হয় এবং অপরটি পরিবর্তন দ্বারা পাওয়া যায়।