নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা ও পর্যবেক্ষণযোগ্যতা

সিস্টেম ইন্টারঅ্যাকশন

কন্ট্রোল ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের জগতে অনেক রকমের সিস্টেম থাকে যেগুলোর নিয়ন্ত্রণ প্রয়োজন। একটি কন্ট্রোল ইঞ্জিনিয়ারের কাজ হলো এই বিদ্যমান সিস্টেমগুলোর সাথে যোগাযোগ করার জন্য কন্ট্রোলার এবং কম্পেনসেটর ডিজাইন করা। তবে কিছু সিস্টেমকে নিয়ন্ত্রণ করা সম্ভব নয় (বা নির্দিষ্ট কিছু উপায়ে নিয়ন্ত্রণ করা যায় না)। নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা মানে হলো, কন্ট্রোলার কতটা স্বাধীনভাবে সিস্টেম প্ল্যান্টের কার্যক্ষমতা পরিবর্তন করতে পারে।

একটি সিস্টেমের স্টেট-ভেরিয়েবল, x, হলো এর অভ্যন্তরীণ কাজকর্মের প্রতিনিধিত্বকারী যেটি নিয়মিত ইনপুট-আউটপুট সম্পর্ক থেকে আলাদা হতে পারে। এটি পর্যবেক্ষণ করাও জরুরি। পর্যবেক্ষণযোগ্যতা বোঝায়, এই অভ্যন্তরীণ স্টেট ভেরিয়েবলগুলো বাহ্যিকভাবে মাপা যায় কি না।

নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা

সম্পূর্ণ স্টেট নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা বোঝায়, কোনো বাহ্যিক ইনপুট ব্যবহার করে সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ অবস্থা এক অবস্থা থেকে অন্য অবস্থায় নিয়ে যাওয়া যায় একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে।

আমরা প্রথমে নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা, এবং এর সাথে সম্পর্কিত রিচযোগ্যতা ও স্টেবিলাইজযোগ্যতা এর সংজ্ঞা আলোচনা করব।

রিচযোগ্যতার আরও নির্ভুল সংজ্ঞা:

নিয়ন্ত্রণযোগ্যতার নির্ভুল সংজ্ঞা:

নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা ম্যাট্রিক্স

LTI (linear time-invariant) সিস্টেমের ক্ষেত্রে একটি সিস্টেম তখনই রিচযোগ্য, যদি এর নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা ম্যাট্রিক্স ζ, পূর্ণ র‍্যাঙ্ক p থাকে, যেখানে p হলো ম্যাট্রিক্স A এর মাত্রা, এবং B এর মাত্রা হলো p × q।

$\zeta =\left[\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{p-1}B\end{array}\right]\in R^{p\times pq}$

যদি x₁ থেকে x = 0 অবস্থায় finite steps এ নিয়ে যাওয়া যায়, তাহলে সিস্টেমটি নিয়ন্ত্রণযোগ্য।

একটি সিস্টেম তখনই নিয়ন্ত্রণযোগ্য যদি ম্যাট্রিক্স A এর র‍্যাঙ্ক p হয়, এবং নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্কও হয়:

$Rank(\zeta )=Rank(A^{-1}\zeta )=p$

যদি দ্বিতীয় সমীকরণটি পূরণ না হয়, তাহলে সিস্টেমটি নিয়ন্ত্রণযোগ্য নয়।

MATLAB-এ ctrb কমান্ড ব্যবহার করে নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা ম্যাট্রিক্স $\zeta$ তৈরি করা যায়:

$\zeta =ctrb(A,B)$

এরপর rank কমান্ড ব্যবহার করে র‍্যাঙ্ক পরীক্ষা করে বোঝা যায় সিস্টেমটি নিয়ন্ত্রণযোগ্য কি না।

যদি:

$Rank(A)<p$

তাহলে নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা মানেই রিচযোগ্যতা নয়।

• রিচযোগ্যতা সবসময় নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা বোঝায়।
• নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা তখনই রিচযোগ্যতা বোঝায় যখন state transition ম্যাট্রিক্স nonsingular হয়।

রিচযোগ্যতা নির্ধারণ

রিচযোগ্যতা যাচাইয়ের চারটি পদ্ধতি:

1. $\varphi (t,\tau )B(t)$ এর pটি সারি যদি লিনিয়ার ইন্ডিপেন্ডেন্ট হয়।
2. নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা ম্যাট্রিক্স এবং A এর র‍্যাঙ্ক যদি সমান হয়।
3. $\mathrm{rank}[\lambda I-A,B]=p$ সব eigenvalue λ এর জন্য।
4. রিচযোগ্যতা গ্রামিয়ান এর র‍্যাঙ্ক যদি A এর র‍্যাঙ্কের সমান হয়।

এই শর্তগুলোর যেকোনো একটি ব্যর্থ হলে সবগুলো ব্যর্থ হবে। একটি সফল হলে সব সফল হবে।

গ্রামিয়ান

গ্রামিয়ান হলো কিছু জটিল ম্যাথমেটিক্যাল ফাংশন, যেগুলো দিয়ে সিস্টেমের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করা যায়। সাধারণত অন্য পদ্ধতিগুলো ব্যর্থ হলে গ্রামিয়ান ব্যবহার করা হয়।

এই পৃষ্ঠায় দেখানো সব গ্রামিয়ানই p × p মাত্রার ম্যাট্রিক্স।

LTI সিস্টেমের জন্য নিচের রূপান্তর প্রয়োগ করা যায়:

$\varphi (t,\tau )\to e^{A(t-\tau )}$

${\varphi }^{\prime }(t,\tau )\to e^{A^{\prime }(t-\tau )}$

এখানে X' মানে হলো ম্যাট্রিক্স X এর ট্রান্সপোজ।

রিচযোগ্যতা গ্রামিয়ান

রিচযোগ্যতা গ্রামিয়ান সংজ্ঞায়িত করা যায় এইভাবে:

$W_r(t_0,t_1)={\int }_{t_0}^{t_1}\varphi (t_1,\tau )B(\tau )B^{\prime }(\tau ){\varphi }^{\prime }(t_1,\tau )d\tau$

সিস্টেমটি তখনই রিচযোগ্য যদি:

$\mathrm{rank}(W_r)=p$

নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা গ্রামিয়ান

সিস্টেম (A, B) এর জন্য নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা গ্রামিয়ান:

$W_c(t_0,t_1)={\int }_{t_0}^{t_1}\varphi (t_0,\tau )B(\tau )B^{\prime }(\tau ){\varphi }^{\prime }(t_0,\tau )d\tau$

সিস্টেমটি নিয়ন্ত্রণযোগ্য যদি:

$\mathrm{rank}(W_c)=p$

যদি সিস্টেমটি time-invariant হয়, তাহলে রিচযোগ্যতা ও নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা গ্রামিয়ান একই হয়। এছাড়াও Lyapunov সমীকরণ থেকেও এটি নির্ণয় করা যায়:

$A{W}_c+W_c{A}^{\prime }=-B{B}^{\prime }$

MATLAB-সহ বিভিন্ন সফটওয়্যারে এটি সমাধানের ফাংশন রয়েছে।

পর্যবেক্ষণযোগ্যতা

নিম্নলিখিত কারণে স্টেট-ভেরিয়েবল পরিমাপযোগ্য নাও হতে পারে:

1. স্টেট ভেরিয়েবলের অবস্থান শারীরিকভাবে প্রবেশযোগ্য নয়।
2. পরিমাপের উপযুক্ত যন্ত্র নেই।
3. স্টেট ভেরিয়েবলটি একটি কল্পিত বা ডামি ভেরিয়েবল।

এমন পরিস্থিতিতে কেবল ইনপুট/আউটপুট সম্পর্ক এবং আউটপুট ইতিহাস ব্যবহার করে স্টেট ভেরিয়েবলের মান অনুমান করতে হয়। প্রশ্ন হলো, বাইরের পারফরম্যান্স দেখে ভিতরের অবস্থা বোঝা সম্ভব কি না?

x_i অবস্থা যদি কোনো সময় t_i-তে এমন হয় যে zero-input দিলে আউটপুট সব সময় শূন্য থাকে, তবে এটি অপর্যবেক্ষণযোগ্য।

কনস্ট্রাক্টেবলিটি

x অবস্থা t₁-এ তখনই অকনস্ট্রাক্টেবল যদি প্রতিটি t < t₁ এর জন্য zero input দিলে আউটপুট সব সময় শূন্য থাকে।

সিস্টেম তখনই সম্পূর্ণ স্টেট কনস্ট্রাক্টেবল যদি কেবল x = 0-ই অকনস্ট্রাক্টেবল হয়।

যদি সিস্টেমটি t₀ সময়ে পর্যবেক্ষণযোগ্য হয়, তাহলে এটি t₁ > t₀ সময়ে কনস্ট্রাক্টেবল হবে।

পর্যবেক্ষণযোগ্যতা ম্যাট্রিক্স

পর্যবেক্ষণযোগ্যতা কেবল সিস্টেমের স্টেট ও আউটপুটের উপর নির্ভর করে:

$x^{\prime }(t)=Ax(t)$

$y(t)=Cx(t)$

তাই শুধুমাত্র A ও C ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে পর্যবেক্ষণযোগ্যতা যাচাই করা যায়।

$Q=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\\ ⋮\\ C{A}^{p-1}\end{array}\right]$

সিস্টেম তখনই পর্যবেক্ষণযোগ্য যদি Q ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হয় p।

MATLAB-এ obsv কমান্ড ব্যবহার করে Q তৈরি করা যায়:

Q=obsv(A,C)

তারপর rank কমান্ড দিয়ে পূর্ণ র‍্যাঙ্ক আছে কি না দেখা যায়।

পর্যবেক্ষণযোগ্যতা গ্রামিয়ান

পর্যবেক্ষণযোগ্যতা গ্রামিয়ান সংজ্ঞা:

$W_o(t_0,t_1)={\int }_{t_0}^{t_1}{\varphi }^{\prime }(\tau ,t_0)C^{\prime }(\tau )C(\tau )\varphi (\tau ,t_0)d\tau$

সিস্টেমটি সম্পূর্ণ state observable যদি এর গ্রামিয়ানের র‍্যাঙ্ক p হয়।

Time-invariant হলে Lyapunov সমীকরণ থেকে এটি পাওয়া যায়:

$A^{\prime }{W}_o+W_{o}A=-C^{\prime }C$

কনস্ট্রাক্টেবলিটি গ্রামিয়ান

কনস্ট্রাক্টেবলিটি গ্রামিয়ান সংজ্ঞা:

$W_{cn}(t_0,t_1)={\int }_{t_0}^{t_1}{\varphi }^{\prime }(\tau ,t_1)C^{\prime }(\tau )C(\tau )\varphi (\tau ,t_1)d\tau$

সিস্টেমটি t₀-এ সম্পূর্ণ স্টেট-পর্যবেক্ষণযোগ্য যদি:

$\mathrm{rank}(W_0)=\mathrm{rank}(W_{cn})=p$

এই দুটি গ্রামিয়ান খুবই মিল রয়েছে, কেবল state-transition ম্যাট্রিক্সের মান আলাদা হয়।

দ্বৈততা নীতি

নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা এবং পর্যবেক্ষণযোগ্যতা অনেক মিল রয়েছে। বাস্তবে, একটি সিস্টেম (A, B) তখনই নিয়ন্ত্রণযোগ্য, যদি (A', C, B', D) সিস্টেমটি পর্যবেক্ষণযোগ্য হয়। এটি প্রমাণ করা যায় A' ও B' কে পর্যবেক্ষণযোগ্যতা গ্রামিয়ানে বসিয়ে। এর ফলে সমীকরণটি নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা গ্রামিয়ানের মতো হয়ে যায়।