নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/বোডি চিত্র

বোডে প্লট

বোডে প্লট একটি উপযোগী সরঞ্জাম যা একটি প্রদত্ত LTI (রৈখিক সময় অপরিবর্তনীয়) সিস্টেমের বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সির জন্য গেইন ও ফেজ প্রতিক্রিয়া দেখায়। বোডে প্লট সাধারণত একটি প্রদত্ত সিস্টেমের ফুরিয়ার রূপান্তরের সঙ্গে ব্যবহৃত হয়।

বোডে ম্যাগনিচিউড ও ফেজ প্লটের একটি উদাহরণ। সাধারণত ম্যাগনিচিউড প্লটটি উপরে এবং ফেজ প্লটটি নিচে থাকে।

বোডে প্লটের ফ্রিকোয়েন্সিগুলি লঘুগাণিতিক স্কেলে অঙ্কিত হয়। ফ্রিকোয়েন্সি অক্ষে প্রতিটি দাগ আগের মানের ১০ গুণ। উদাহরণস্বরূপ, একটি স্ট্যান্ডার্ড বোডে প্লটে মানগুলি সাধারণত হয় (0.1, 1, 10, 100, 1000, ...) যেহেতু প্রতিটি দাগ ১০ গুণ বৃদ্ধি পাচ্ছে, সেগুলিকে ডেকেড বলা হয়। লক্ষ্য করুন যে ডানদিকে অগ্রসর হওয়ার সঙ্গে সঙ্গে একটি ডেকেডের "দৈর্ঘ্য" কমে যায়। (উল্লেখ্য, উপরোক্ত চিত্রের সঙ্গে এই বর্ণনা মিলে না... সেখানে প্রতি ডেকেডে ১০টি দাগ রয়েছে, কিন্তু যেহেতু এটি একটি লগ স্কেল, তাই সেগুলি সমানভাবে বিভক্ত নয়।)

বোডে ম্যাগনিচিউড প্লট ইনপুট/আউটপুট অনুপাতকে ডেসিবেল নামক বিশেষ এককে প্রকাশ করে। ফেজ প্লট সাধারণত ফেজ শিফটকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করে (যদিও কখনও কখনও রেডিয়ানেও প্রকাশ করা হয়)।

ডেসিবেল

ডেসিবেল হলো একটি লগ স্কেল অনুযায়ী দুটি সংখ্যার অনুপাত। যদি আমরা দুটি সংখ্যার (A ও B) অনুপাতকে ডেসিবেলে প্রকাশ করতে চাই, তাহলে নিচের সূত্রটি প্রয়োগ করতে হয় (যেখানে A ও B অ্যামপ্লিটিউড নির্দেশ করে; যদি পাওয়ার হয় তবে ২০-এর পরিবর্তে ১০ ব্যবহার করা হয়):

$dB=20\log \left(\frac{A}{B}\right)$

এখানে dB হলো ডেসিবেল মান।

বা, যদি আমরা একটি একক সংখ্যার (C) ডেসিবেল নিতে চাই, তাহলে লিখতে পারি:

$dB=20\log (C)$

ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া নোটেশন

যদি আমাদের একটি সিস্টেম ট্রান্সফার ফাংশন থাকে T(s), তাহলে আমরা সেটিকে লঘুগুণনীয় N(s) এবং হ্রাসনীয় D(s) রূপে ভাগ করতে পারি। আমরা লিখতে পারি:

$T(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$

ম্যাগনিচিউড গেইন প্লট পাওয়ার জন্য, প্রথমে আমাদের ট্রান্সফার ফাংশনকে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে রূপান্তর করতে হবে, এর জন্য পরিবর্তন করি:

$s=j\omega$

এখান থেকে আমরা বলতে পারি যে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়াটি দুটি অংশ নিয়ে গঠিত: একটি বাস্তব অংশ R এবং একটি কাল্পনিক অংশ X:

$T(j\omega )=R(\omega )+jX(\omega )$

এই রূপগুলি আমরা নিচে ব্যবহার করবো।

সরলরেখা অনুমান

বোডে ম্যাগনিচিউড এবং ফেজ প্লট সহজেই কিছু সোজা রেখার মাধ্যমে আনুমানিকভাবে অঙ্কন করা যায়। এই আনুমানিক গ্রাফগুলি কয়েকটি সহজ নিয়ম অনুসরণ করে আঁকা যায় (যা নিচে তালিকাভুক্ত)। একবার সোজা-রেখার গ্রাফ নির্ধারিত হলে, প্রকৃত বোডে প্লটটি ঐ রেখাগুলিকে অনুসরণ করে একটি মসৃণ বক্ররেখা হয় এবং এটি ব্রেক পয়েন্ট-এর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে।

ব্রেক পয়েন্ট

যদি ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া পোল-জিরো রূপে থাকে:

$T(j\omega )=\frac{\prod _n|j\omega +z_n|}{\prod _m|j\omega +p_m|}$

তাহলে আমরা বলি যে সমস্ত z_n এবং p_m মানগুলো হলো বোডে প্লটের ব্রেক পয়েন্ট। এই পয়েন্টগুলোতে বোডে প্লটে সবচেয়ে বড় দিক পরিবর্তন ঘটে।

ব্রেক পয়েন্টগুলোকে কখনও কখনও "ব্রেক ফ্রিকোয়েন্সি", "কাট-অফ পয়েন্ট", বা "কোণ পয়েন্ট" হিসেবেও উল্লেখ করা হয়।

বোডে গেইন প্লট

বোডে গেইন প্লট, অথবা বোডে ম্যাগনিচিউড প্লট একটি সিস্টেমের প্রতিটি ইনপুট ফ্রিকোয়েন্সিতে গেইনের অনুপাত প্রদর্শন করে।

বোডে গেইন গণনা

ট্রান্সফার ফাংশন T-এর ম্যাগনিচিউড সংজ্ঞায়িত হয়:

$|T(j\omega )|=\sqrt{R^2+X^2}$

তবে, একটি "লঘুগুণনীয়/হ্রাসনীয়" রূপকে "বাস্তব + কাল্পনিক" রূপে রূপান্তর করা প্রায়ই কঠিন হয়। সৌভাগ্যক্রমে, আমাদের ডেসিবেল গণনাটি এখানে কার্যকর হয়। ধরুন আমাদের ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স একটি ভগ্নাংশরূপে সংজ্ঞায়িত যেখানে লঘুগুণনীয় ও হ্রাসনীয় বহুপদী রয়েছে:

$T(j\omega )=\frac{\prod _n|j\omega +z_n|}{\prod _m|j\omega +p_m|}$

যদি আমরা উভয় পাশকে ডেসিবেলে রূপান্তর করি, তাহলে লগারিদম সূত্র অনুযায়ী গুণফলগুলো যোগফলে এবং ভাগফলগুলো বিয়োগফলে পরিণত হয়:

$Gain=\sum _{n}20\log (|j\omega +z_n|)-\sum _{m}20\log (|j\omega +p_m|)$

প্রতিটি পদে গেইন হিসাব করে সবগুলো যোগ করলে ঐ নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সিতে সিস্টেমের মোট গেইন পাওয়া যায়।

বোডে গেইনের আনুমানিক রূপরেখা

বোডে ম্যাগনিচিউড প্লটে সোজা রেখার ঢাল প্রকাশ করা হয় ডেসিবল/দশক এককে, কারণ উল্লম্ব অক্ষের একক dB এবং অনুভূমিক অক্ষের একক ডেকেড।

ω = 0 মানটি বোডে প্লটের সম্পূর্ণ বাম প্রান্তে অবস্থান করে (যেহেতু লগারিদমিক স্কেলে শূন্য মান কখনও পৌঁছায় না), তাই ω = 0-এ গেইন নির্ধারণ করলে সেটি প্রথম ব্রেক পয়েন্ট পর্যন্ত সম্পূর্ণ বামদিকের গেইন মান হিসেবে ধরা হয়। ω = 0-এ রেখার ঢাল হয় 0 ডেসিবল/দশক।

প্রতিটি পোল ব্রেক পয়েন্ট থেকে রেখার ঢাল 20 ডেসিবল/দশক করে হ্রাস পায়। রেখাটি সোজা থাকে যতক্ষণ না এটি পরবর্তী ব্রেক পয়েন্টে পৌঁছায়। প্রতিটি জিরো ব্রেক পয়েন্ট থেকে রেখার ঢাল 20 ডেসিবল/দশক করে বৃদ্ধি পায়। দ্বিগুণ, ত্রিগুণ, বা আরও বেশি সংখ্যক পুনরাবৃত্ত পোল ও জিরো গেইনের উপর গুণিত হারে প্রভাব ফেলে। নিচে কিছু উদাহরণ দেওয়া হলো:

• 2টি পোল: -40 ডেসিবল/দশক
• 10টি পোল: -200 ডেসিবল/দশক
• 5টি জিরো: +100 ডেসিবল/দশক

বোডে ফেজ প্লট

বোডে ফেজ প্লট একটি ইনপুট তরঙ্গরূপের সাথে ফেজ শিফট কেমনভাবে পরিবর্তিত হয় তা প্রদর্শন করে, যা সিস্টেম ইনপুটের ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে। এখানে আবার লক্ষ্য করা যায় যে, লাপ্লাস রূপান্তর সিস্টেমের ফেজ শিফট বৈশিষ্ট্যকে বিবেচনা করে না, কিন্তু ফুরিয়ার রূপান্তর তা করতে পারে। একটি জটিল ফাংশনের ফেজ, "বাস্তব + কাল্পনিক" রূপে, নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়:

$\mathrm{\angle }T(j\omega )={\tan }^{-1}\left(\frac{X}{R}\right)$

বোডে পদ্ধতি

একটি ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া যদি পোল-জিরো রূপে দেওয়া হয়:

$T(j\omega )=A\frac{\prod _n|j\omega +z_n|}{\prod _m|j\omega +p_m|}$

যেখানে A একটি শূন্য-নয় এমন ধ্রুবক (ইহা ঋণাত্মক অথবা ধনাত্মক হতে পারে)।

বোডে ম্যাগ্নিচুড প্লটের আনুমানিক রেখাচিত্র আঁকার ধাপসমূহ নিম্নরূপ:

বোডে ফেজ প্লট আঁকার ধাপসমূহ নিচে দেওয়া হলো:

আরও পড়ুন

• সার্কিট তত্ত্ব/বোডে প্লট
• কন্ট্রোল থিওরি প্রো-তে বোডে প্লট