নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/রাউথ-হারউইটজ মানদণ্ড

স্থিতিশীলতা মানদণ্ড

রাউথ-হারউইৎজ স্থিতিশীলতা মানদণ্ড একটি সহজ অ্যালগরিদম প্রদান করে, যাতে কোনো বহুপদী সমীকরণের সব শূন্য কমপ্লেক্স সমতলের বাম দিকে রয়েছে কি না নির্ধারণ করা যায়। এমন বহুপদীকে কখনও কখনও "হারউইৎজ" বলা হয়। একটি রৈখিক অবিচ্ছিন্ন-সময়ের অপরিবর্তনীয় স্থিতিশীল হওয়ার জন্য একটি মূল প্রয়োজনীয়তা হলো হুরউইৎজ বহুপদী। এতে সমস্ত আবদ্ধ ইনপুট আবদ্ধ আউটপুট তৈরি করে।

প্রয়োজনীয় স্থিতিশীলতা শর্তাবলী

যেসব শর্ত অবশ্যই পূরণ হতে হবে, যাতে একটি বহুপদী হারউইৎজ হয়। এই শর্তগুলোর যেকোনো একটি ব্যর্থ হলে – বহুপদীটি স্থিতিশীল নয়। তবে, এই সব শর্ত পূরণ হলেও তা স্থিতিশীলতা নিশ্চিত করে না।

পর্যাপ্ত স্থিতিশীলতা শর্তাবলী

যেসব শর্ত পূরণ হলে নিশ্চিতভাবে বহুপদীটি স্থিতিশীল হবে। তবে, একটি বহুপদী স্থিতিশীল হলেও এসব শর্তের কিছু বা কোনোটিই প্রযোজ্য নাও হতে পারে।

রাউথ মানদণ্ড এমন শর্ত প্রদান করে যা একটি বহুপদী হারউইৎজ হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত উভয়ই।

রাউথ-হারউইৎজ মানদণ্ড

রাউথ-হারউইৎজ মানদণ্ড তিনটি পৃথক পরীক্ষার সমন্বয়ে গঠিত, যেগুলো অবশ্যই পূরণ হতে হবে। যদি একটিও ব্যর্থ হয়, তাহলে সিস্টেমটি স্থিতিশীল নয় এবং বাকি পরীক্ষাগুলো আর করার প্রয়োজন নেই। এই কারণে, পরীক্ষাগুলোকে সহজ থেকে কঠিন ক্রমে সাজানো হয়েছে।

রাউথ-হারউইৎজ পরীক্ষা ট্রান্সফার ফাংশনের হ্রাসকারকের উপর করা হয়, অর্থাৎ বৈশিষ্ট্য সমীকরণ-এর উপর। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ক্লোজড-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনে সামনের পথে G(s) এবং প্রতিপ্রেক্ষ পথে H(s) থাকে, তাহলে আমরা পাই:

$T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

এই সমীকরণটিকে সরলীকরণ করলে আমরা পাই একটি গুণনীয় N(s) এবং একটি হ্রাসকারী D(s):

$T(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$

রাউথ-হারউইৎজ মানদণ্ড শুধুমাত্র হ্রাসকারী বহুপদী D(s) এর উপর প্রযোজ্য।

রাউথ-হারউইৎজ পরীক্ষা

নিচে রাউথ-হারউইৎজ মানদণ্ডের তিনটি পরীক্ষা দেওয়া হলো। সুবিধার জন্য, আমরা বহুপদীর ক্রম (অর্থাৎ D(s)-এ s-এর সর্বোচ্চ ঘাত) কে N দ্বারা প্রকাশ করব। D(s) কে সাধারণভাবে প্রকাশ করা যায়:

$D(s)=a_0+a_{1}s+a_2{s}^2+\cdots +a_N{s}^N$

আমরা নিচে রাউথ অ্যারে ব্যাখ্যা করব।

রাউথ অ্যারে

রাউথ অ্যারে তৈরি করার জন্য D(s)-এর সকল গুণক a_i কে ব্যবহার করে একটি অ্যারে তৈরি করা হয়। প্রতিটি সারির শেষ কলামগুলোতে ০ থাকে:

$\begin{array}{c}{s}^N{s}^{N-1}\end{array}\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_N& a_{N-2}& \cdots & 0a_{N-1}& a_{N-3}& \cdots & 0\end{array}\right|$

সুতরাং, যদি N বিজোড় হয়, তবে উপরের সারিতে থাকবে সব বিজোড় গুণক, আর N জোড় হলে উপরের সারিতে থাকবে সব জোড় গুণক। এরপর বাকি রাউথ অ্যারে এইভাবে পূরণ করা যায়:

$\begin{array}{c}{s}^N{s}^{N-1}{s}^0\end{array}\left|\begin{array}{ccccccccccc}{a}_N& a_{N-2}& \cdots & 0a_{N-1}& a_{N-3}& \cdots & 0b_{N-1}& b_{N-3}& \cdots c_{N-1}& c_{N-3}& \cdots \cdots \end{array}\right|$

এখন আমরা আমাদের b, c ও অন্যান্য গুণক নির্ধারণ করতে পারি যতক্ষণ না s⁰ পর্যন্ত পৌঁছাই। এগুলো নির্ধারণ করতে নিচের সূত্র ব্যবহৃত হয়:

$b_{N-1}=\frac{-1}{a_{N-1}}\left|\begin{array}{ccc}{a}_N& a_{N-2}{a}_{N-1}& a_{N-3}\end{array}\right|$

এবং

$b_{N-3}=\frac{-1}{a_{N-1}}\left|\begin{array}{ccc}{a}_N& a_{N-4}{a}_{N-1}& a_{N-5}\end{array}\right|$

প্রতিটি সারির জন্য আমরা উপরের সারির বামদিকের প্রথম উপাদানটিকে পিভট উপাদান হিসেবে নিই। যেমন, b সারির জন্য পিভট হলো a_N-1, আর c সারির জন্য তা হলো b_N-1, ইত্যাদি।

যেকোনো উপাদান নির্ণয় করতে, আমরা নিচের ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট নেগেটিভ নিই এবং পিভট দ্বারা ভাগ করি:

$\left|\begin{array}{ccc}k& ml& n\end{array}\right|$

যেখানে: *k = বর্তমান সারির দুই সারি উপরের বামদিকের উপাদান *l = পিভট উপাদান *m = দুই সারি উপরে ও এক কলাম ডানে থাকা উপাদান *n = এক সারি উপরে ও এক কলাম ডানে থাকা উপাদান

এগুলো দ্বারা আমাদের সূত্র হয়:

$v=\frac{(lm)-(kn)}{l}$

বিশেষ ক্ষেত্র: সম্পূর্ণ শূন্য সারি

যদি রাউথ-হারউইৎজ অ্যারে নির্ণয়ের সময় একটি সম্পূর্ণ শূন্য সারি পাওয়া যায়, তখন গণনা থামানো হয় না বরং এটি থেকে সিস্টেম সম্পর্কে আরও তথ্য জানা যায়।

এই ক্ষেত্রে, শূন্য সারির উপরের সারিকে বলা হয় সহায়ক বহুপদী। এটি অত্যন্ত সহায়ক হতে পারে। সহায়ক বহুপদীর মূলগুলো jω অক্ষে থাকা কমপ্লেক্স কনজুগেট মূলগুলোর অবস্থান নির্ধারণ করতে সাহায্য করে। তবে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, যদি jω অক্ষে পুনরাবৃত্ত মূল থাকে, তাহলে সিস্টেমটি অস্থিতিশীল হয়। তাই সহায়ক বহুপদী ব্যবহার করে পুনরাবৃত্ত মূল আছে কিনা তা পরীক্ষা করতে হয়।

সহায়ক বহুপদীকে s-এর প্রতি ডিফারেনশিয়েট করে শূন্য সারিটি প্রতিস্থাপন করতে হয়। এরপর নতুন মান ব্যবহার করে রাউথ অ্যারে নির্ণয় চালিয়ে যাওয়া যায়।

বিশেষ ক্ষেত্র: প্রথম কলামে শূন্য

এই ক্ষেত্রে, রাউথ অ্যারের কোনো সারির প্রথম কলামে শূন্য থাকে, কিন্তু সেই সারির অন্য উপাদানগুলো শূন্য নয়। এই অবস্থায়, ওই শূন্যকে একটি ছোট ভেরিয়েবল ইপসিলন (ε) দিয়ে প্রতিস্থাপন করে গণনা চালানো যায়। অ্যারে সম্পূর্ণ হওয়ার পরে ইপসিলনের মান শূন্যের দিকে নিয়ে যাওয়া হয়। যদি ইপসিলনের উপর ও নিচের চিহ্ন একই হয়, তাহলে এটি একটি বিশুদ্ধ কাল্পনিক মূল নির্দেশ করে।