নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/রূপান্তর

রূপান্তর

এই বই জুড়ে আমরা বেশ কিছু রূপান্তর নিয়ে আলোচনা করব, এবং পাঠকের সেগুলি সম্পর্কে অন্তত সামান্য জ্ঞান আছে বলে ধরে নেওয়া হচ্ছে। এই বইয়ের উদ্দেশ্য এমন কোনও শ্রোতাকে রূপান্তরের বিষয়টি শেখানো নয় যারা পূর্বে সেগুলির সাথে পরিচিত হননি। তবে, যারা সম্ভবত বিষয়টি পুরোপুরি মনে রাখতে পারেন না তাদের পুনর্নির্মাণ করার জন্য আমরা এখানে একটি সংক্ষিপ্ত রিফ্রেশার অন্তর্ভুক্ত করব। যদি আপনি এখনও Laplace Transform বা Fourier Transform কী তা জানেন না, তাহলে এই পৃষ্ঠাটি একটি সহজ নির্দেশিকা হিসাবে ব্যবহার করার এবং অন্যান্য উৎস থেকে তথ্য অনুসন্ধান করার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে। বিশেষ করে, Wikipedia-এ এই বিষয়গুলি সম্পর্কে প্রচুর তথ্য রয়েছে।

রূপান্তরের মূল বিষয়

transform'' হল একটি গাণিতিক হাতিয়ার যা একটি চলক (অথবা চলকের একটি সেট) থেকে একটি নতুন চলকের (অথবা চলকের একটি নতুন সেট) সমীকরণকে রূপান্তর করে। এটি করার জন্য, ট্রান্সফর্মকে প্রথম চলক, "ডোমেন চলক" এর সমস্ত উদাহরণ মুছে ফেলতে হবে এবং একটি নতুন "রেঞ্জ চলক" যোগ করতে হবে। রূপান্তরের জন্য ইন্টিগ্রালগুলি চমৎকার পছন্দ, কারণ নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের সীমা ডোমেন চলকটিতে প্রতিস্থাপিত হবে এবং সেই চলকের সমস্ত উদাহরণ সমীকরণ থেকে সরানো হবে। একটি ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্ম যা একটি ডোমেন চলক "a" থেকে একটি রেঞ্জ চলক "b" এ রূপান্তরিত হয় তা সাধারণত এইভাবে ফর্ম্যাট করা হবে:

$𝒯[f(a)]=F(b)={\int }_{C}f(a)g(a,b)da$

যেখানে ফাংশন "f(a)" হল রূপান্তরিত ফাংশন, এবং "g(a,b)" হল রূপান্তরের "kernel"। সাধারণত, বিভিন্ন ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্মের মধ্যে একমাত্র পার্থক্য হল কার্নেল।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম

Laplace ট্রান্সফর্ম'' সময়-ডোমেইন থেকে একটি সমীকরণকে তথাকথিত "S-ডোমেইন", অথবা "Laplace ডোমেইন", অথবা এমনকি "জটিল ডোমেইন"-এ রূপান্তরিত করে। এগুলি একই গাণিতিক স্থানের জন্য বিভিন্ন নাম এবং এই বই এবং এই বিষয়ের অন্যান্য লেখায় এগুলি সবই বিনিময়যোগ্যভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। ট্রান্সফর্মটি কেবলমাত্র নিম্নলিখিত শর্তাবলীর অধীনে প্রয়োগ করা যেতে পারে:

1. প্রশ্নে থাকা সিস্টেম বা সংকেতটি অ্যানালগ।

1. প্রশ্নে থাকা সিস্টেম বা সংকেতটি রৈখিক।

1. প্রশ্নে থাকা সিস্টেম বা সংকেতটি সময়-অপরিবর্তনীয়।

1. প্রশ্নে থাকা সিস্টেম বা সংকেতটি কার্যকারণ।

রূপান্তরকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

$\begin{array}{c}F(s)=ℒ[f(t)]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt\end{array}$

ল্যাপলেস রূপান্তরের ফলাফল ব্যাপকভাবে সারণীবদ্ধ করা হয়েছে। ল্যাপ্লেস রূপান্তর সম্পর্কে আরও তথ্য, একটি রূপান্তর সারণী সহ ''পরিশিষ্ট এ পাওয়া যাবে।

যদি আমাদের টাইম ডোমেইনে একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থাকে:

$\begin{array}{c}y(t)=ax(t)+b{x}^{\prime }(t)+c{x}^{″}(t)\end{array}$

শূন্য প্রাথমিক শর্ত সহ, আমরা সমীকরণের ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি এইভাবে নিতে পারি:

$\begin{array}{c}Y(s)=aX(s)+bsX(s)+c{s}^{2}X(s)\end{array}$

এবং আলাদা করে, আমরা পাব:

$\begin{array}{c}Y(s)=X(s)[a+bs+c{s}^2]\end{array}$

ইনভার্স ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম

inverse Laplace Transform কে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: টেমপ্লেট:- টেমপ্লেট:Eqn

$\begin{array}{c}f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-i\mathrm{\infty }}^{c+i\mathrm{\infty }}{e}^{st}F(s)ds\end{array}$

ইনভার্স ট্রান্সফর্ম ল্যাপ্লেস ডোমেন থেকে একটি ফাংশনকে টাইম ডোমেনে ফিরিয়ে আনে।

ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টর

ল্যাপলেস ট্রান্সফর্মটি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমে স্বজ্ঞাত উপায়ে ব্যবহার করা যেতে পারে। ধরা যাক আমাদের কাছে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম আছে:

$\begin{array}{c}{y}_1(t)=a_1{x}_1(t)\end{array}$

$\begin{array}{c}{y}_2(t)=a_2{x}_2(t)\end{array}$

আমরা এই সমীকরণগুলিকে ম্যাট্রিক্স আকারে সাজাতে পারি, যেমন দেখানো হয়েছে:

$\left[\begin{array}{c}{y}_1(t)\\ y_2(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& 0\\ 0& a_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right]$

এবং এটিকে প্রতীকীভাবে লিখুন:

$𝐲(t)=A𝐱(t)$

আমরা উভয়ের ল্যাপ্লেস রূপান্তর নিতে পারি পার্শ্ব:

$ℒ[𝐲(t)]=𝐘(s)=ℒ[A𝐱(t)]=Aℒ[𝐱(t)]=A𝐗(s)$

যা সমীকরণ ব্যবস্থায় প্রতিটি পৃথক সমীকরণের রূপান্তর গ্রহণের সমান।

উদাহরণ: RL সার্কিট

এখানে, আমরা একটি প্রথম-ক্রম ব্যবস্থার একটি সাধারণ উদাহরণ দেখাব, একটি RL সার্কিট। একটি ইন্ডাক্টরে, টাইম ডোমেইনে কারেন্ট, I এবং ভোল্টেজ, V এর মধ্যে সম্পর্ককে একটি ডেরিভেটিভ হিসেবে প্রকাশ করা হয়:

$V(t)=L\frac{dI(t)}{dt}$

যেখানে L হল "ইন্ডাক্ট্যান্স" নামক একটি বিশেষ রাশি যা ইন্ডাক্টরের একটি বৈশিষ্ট্য।

আংশিক ভগ্নাংশ সম্প্রসারণ

টেমপ্লেট:SideBox ল্যাপলেস ট্রান্সফর্ম জোড়াগুলি ব্যাপকভাবে সারণীবদ্ধ করা হয়, তবে প্রায়শই আমাদের কাছে ট্রান্সফার ফাংশন এবং অন্যান্য সমীকরণ থাকে যার সারণীবদ্ধ বিপরীত রূপান্তর নেই। যদি আমাদের সমীকরণটি একটি ভগ্নাংশ হয়, তাহলে আমরা প্রায়শই 'আংশিক ভগ্নাংশ সম্প্রসারণ' (PFE) ব্যবহার করে সহজ শর্তাবলীর একটি সেট তৈরি করতে পারি যার সহজেই উপলব্ধ বিপরীত রূপান্তর থাকবে। এই বিভাগটি PFE সম্পর্কে একটি সংক্ষিপ্ত অনুস্মারক দেবে, যারা ইতিমধ্যে বিষয়টি শিখেছেন। এই রিফ্রেশারটি প্রক্রিয়াটির বেশ কয়েকটি উদাহরণ আকারে থাকবে, কারণ এটি ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের সাথে সম্পর্কিত। যারা PFE এর সাথে অপরিচিত তাদের 'ক্যালকুলাস' বিভাগে এটি সম্পর্কে আরও পড়তে উৎসাহিত করা হচ্ছে।

চূড়ান্ত মান উপপাদ্য

চূড়ান্ত মান উপপাদ্য আমাদের S ডোমেন সমীকরণ থেকে সময় অসীমের কাছাকাছি আসার সাথে সাথে সময় ডোমেন সমীকরণের মান নির্ধারণ করতে দেয়। নিয়ন্ত্রণ প্রকৌশলে, একটি সিস্টেমের স্থির-অবস্থার মান নির্ধারণের জন্য চূড়ান্ত মান উপপাদ্য সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়। ফাংশনের মেরুগুলির আসল অংশ অবশ্যই <0 হতে হবে।

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}x(t)=\underset{s\to 0}{lim}sX(s)$

সিস্টেম মেট্রিক্সের উপর আমাদের অধ্যায় থেকে, আপনি সিস্টেমের মানকে ইনফিনিটি সময়ে সিস্টেমের স্থির-অবস্থার সময় হিসাবে চিনতে পারেন। স্থির অবস্থা মান এবং প্রত্যাশিত আউটপুট মানের মধ্যে পার্থক্যকে আমরা সিস্টেমের স্থির-অবস্থার ত্রুটি হিসাবে মনে রাখি। চূড়ান্ত মান উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা জটিল S ডোমেনে সিস্টেমের স্থির-অবস্থার মান এবং স্থির-অবস্থার ত্রুটি খুঁজে পেতে পারি।

প্রাথমিক মান উপপাদ্য

চূড়ান্ত মান উপপাদ্যের অনুরূপ, ''প্রাথমিক মান উপপাদ্য আমাদের S-ডোমেন সমীকরণ থেকে সিস্টেমের প্রাথমিক মান (শূন্য সময়ে মান) নির্ধারণ করতে সাহায্য করে। প্রাথমিক মান উপপাদ্যটি প্রায়শই একটি সিস্টেমের প্রারম্ভিক অবস্থা বা "প্রাথমিক অবস্থা" নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়।

$x(0)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sX(s)$

সাধারণ রূপান্তর

এখন আমরা আপনাকে তিনটি ফাংশনের রূপান্তর দেখাব যা আমরা ইতিমধ্যে শিখেছি: ইউনিট ধাপ, ইউনিট র‍্যাম্প এবং ইউনিট প্যারাবোলা। ইউনিট স্টেপ ফাংশনের রূপান্তরটি নিম্নরূপ:

$ℒ[u(t)]=\frac{1}{s}$

এবং যেহেতু ইউনিট র‍্যাম্পটি ইউনিট ধাপের অবিচ্ছেদ্য অংশ, তাই আমরা ইউনিট র‍্যাম্পের রূপান্তর পেতে উপরের ফলাফলের বার 1/s কে গুণ করতে পারি:

$ℒ[r(t)]=\frac{1}{s^2}$

আবার, আমরা ইউনিট প্যারাবোলার রূপান্তর পেতে 1/s দ্বারা গুণ করতে পারি:

$ℒ[p(t)]=\frac{1}{s^3}$

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের সাথে খুব মিল। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম এই ধারণা ব্যবহার করে যে যেকোনো সসীম সময়-ডোমেন সংকেতকে অসীম সাইনোসয়েডাল (সাইন এবং কোসাইন তরঙ্গ) সংকেতে বিভক্ত করা যেতে পারে। এই ধারণা অনুসারে, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি টাইম-ডোমেন সিগন্যালকে তার ফ্রিকোয়েন্সি-ডোমেন উপস্থাপনায় রূপান্তর করে, রেডিয়াল ফ্রিকোয়েন্সির একটি ফাংশন হিসাবে, ω, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

$F(j\omega )=ℱ[f(t)]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t}dt$

আমরা এখন দেখাতে পারি যে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের সমতুল্য, যখন নিম্নলিখিত শর্তটি সত্য হয়:

$\begin{array}{c}s=j\omega \end{array}$

যেহেতু ল্যাপ্লেস এবং ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম এত ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, তাই সমস্ত সমস্যার জন্য উভয় ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করার খুব একটা অর্থ হয় না। অতএব, এই বইটি প্রায় সকল বিষয়ের জন্য ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের উপর মনোনিবেশ করবে, সেই সমস্যাগুলি ছাড়া যা সরাসরি ফ্রিকোয়েন্সি মানগুলির সাথে সম্পর্কিত। ফ্রিকোয়েন্সি সমস্যার জন্য, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম উপস্থাপনা ব্যবহার করা জীবনকে অনেক সহজ করে তোলে।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের মতো, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মকেও ব্যাপকভাবে সারণীবদ্ধ করা হয়েছে। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের বৈশিষ্ট্যগুলি, সাধারণ রূপান্তরগুলির একটি সারণী ছাড়াও ''পরিশিষ্ট এ উপলব্ধ।

ইনভার্স ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম

inverse Fourier Transform কে নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: টেমপ্লেট:- টেমপ্লেট:Eqn

$f(t)={ℱ}^{-1}\{F(j\omega )\}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$

এই ট্রান্সফর্মটি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের সাথে প্রায় অভিন্ন।

জটিল সমতল

উপরের সমতুল্যতা ব্যবহার করে, আমরা দেখাতে পারি যে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম সর্বদা ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের সমান, যদি চলক s একটি কাল্পনিক সংখ্যা হয়। তবে, যদি s একটি বাস্তব বা জটিল চলক হয় তবে ল্যাপ্লেস রূপান্তর ভিন্ন। তাই, আমরা সাধারণত s কে একটি বাস্তব অংশ এবং একটি কাল্পনিক অংশ উভয়ই ধারণ করার জন্য সংজ্ঞায়িত করি, যেমন:

$\begin{array}{c}s=\sigma +j\omega \end{array}$

এবং আমরা দেখাতে পারি যে s = jω যদি σ = 0 হয়।

যেহেতু s চলককে দুটি স্বাধীন মানে বিভক্ত করা যায়, তাই প্রায়শই চলক s কে তার নিজস্ব বিশেষ "S-plane"-এ গ্রাফ করা কিছু মান রাখে। S-plane চলক σ কে অনুভূমিক অক্ষে এবং jω-এর মান উল্লম্ব অক্ষে গ্রাফ করে। এই অক্ষ বিন্যাসটি ডানদিকে দেখানো হয়েছে।

অয়লারের সূত্র

ক্যালকুলাস থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল পাওয়া যায় যা ইউলারের সূত্র বা "ইউলারের সম্পর্ক" নামে পরিচিত। এই গুরুত্বপূর্ণ সূত্রটি e, j, π, 1 এবং 0 এর গুরুত্বপূর্ণ মানগুলির সাথে সম্পর্কিত:

$\begin{array}{c}{e}^{j\pi }+1=0\end{array}$

যাইহোক, এই ফলাফলটি নিম্নলিখিত সমীকরণ থেকে নেওয়া হয়েছে, ω কে π এ সেট করা হয়েছে:

$\begin{array}{c}{e}^{j\omega }=\cos (\omega )+j\sin (\omega )\end{array}$

এই সূত্রটি এই বইয়ের কিছু অধ্যায়ে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হবে, তাই এখনই এটির সাথে পরিচিত হওয়া গুরুত্বপূর্ণ।

MATLAB

MATLAB প্রতীকী টুলবক্সে ল্যাপ্লেস এবং ফুরিয়ার রূপান্তর স্বয়ংক্রিয়ভাবে গণনা করার জন্য ফাংশন রয়েছে। ইনপুট ফাংশনের ল্যাপ্লেস এবং ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম গণনা করার জন্য যথাক্রমে laplace ফাংশন এবং fourier ফাংশন ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কোড:

t = sym('t');
fx = 30*t^2 + 20*t;
laplace(fx)

আউটপুট উৎপন্ন করে:

ans =
60/s^3+20/s^2

আমরা The Appendix-এ এই ফাংশনগুলি আরও আলোচনা করব।

আরও পড়ুন

• Digital Signal Processing/Continuous-Time Fourier Transform
• Signals and Systems/Aperiodic Signals
• Circuit Theory/Laplace Transform