নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/রৈখিক সিস্টেম সমাধান

অবস্থান সমীকরন সমাধান

টেমপ্লেট:SideBox যেকোন সিস্টেম বা ব্যাবস্থার অবস্থান সমীকরণ, যা স্টেট-স্পেস সমীকরন নামে বেশি পরিচিত, এটি একটি প্রথম ক্রমের রৈখিক অবকল সমীকরণ বা আরও নির্দিষ্টভাবে বললে এটি একাধিক রৈখিক অবকল সমীকরণের একটি গাণিতিক ব্যাবস্থা। যেহেতু অবস্থান সমীকরন একটি প্রথম ক্রমের সমীকরণ, তাই আমরা সাধারণ অবকল সমীকরণ সমাধানের নিয়ম অনুসরন করে অবস্থান সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পেতে পারি, যেখানে অবস্থান চলরাশিকে x হিসেবে ধরা হয়। একবার x-এর সমাধান পাওয়া গেলে, সেই সমাধানকে সিস্টেম থেকে প্রাপ্ত আউটপুট বিশ্লেষণকারী সমীকরণে সরাসরি প্রয়োগ করা হয়। এর ফলে যে সমীকরণ তৈরি হয়, তা সরাসরি ইনপুট ও আউটপুটের মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করা যায় এবং এতে আর আলাদাভাবে সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ অবস্থার হিসাব রাখতে হয় না। এই অধ্যায়ের বিভিন্ন অংশে আমরা বিভিন্ন অবস্থান সমীকরন বা স্টেট-স্পেস সমীকরণের সমাধান নিয়ে আলোচনা করব। আলোচনা শুরু হবে সবচেয়ে সহজ বিষয় থেকে (যেমন: সময়-নিরপেক্ষ সিস্টেম, যেখানে কোনো ইনপুট নেই), এবং শেষ হবে সবচেয়ে কঠিন বিষয়ের (যেমন: সময়-পরিবর্তনশীল সিস্টেম) আলোচনা দিয়ে।

শূন্য ইনপুট দিয়ে x(t) -এর সমাধান

এবার আমরা অবস্থান সমীকরণের বিষয়ে আলোচনা করতে পারি, নিচের গাণিতিক সমীকরণটি লক্ষ্য করুন:

$x^{\prime }=Ax(t)+Bu(t)$

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এই সমীকরণটি একটি প্রথম-ক্রমের অবকল সমীকরণ। শুধু পার্থক্য এই যে এখানে চলরাশিগুলি ভেক্টর এবং সহগগুলো ম্যাট্রিক্স। তবে ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলাসের নিয়ম অনুযায়ী, এই ভিন্নতাগুলো বিশেষ গুরুত্ব রাখে না। আপাতত আমরা ইনপুট পদটিকে উপেক্ষা করতে পারি এবং সমীকরণটিকে নিচের রূপে পুনর্লিখন করতে পারি:

$\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)$

এবং আমরা সমীকরন থেকে চলকগুলিকে এভাবে আলাদা করতে পারি:

$\frac{dx(t)}{x(t)}=Adt$

উভয় পাশে সমাকলন করে এবং উভয় পার্শ্বে e -এর ঘাতে উন্নীত করলে আমরা পাই:

$x(t)=e^{At+C}$

যেখানে C একটি ধ্রুবক। আমরা সমীকরণটি সহজ করতে D = e^C ধরতে পারি। তখন D তখন সেই সিস্টেমের প্রাথমিক শর্তে পরিণত হবে। এই ব্যাপারটা আরও স্পষ্ট হয় যখন আমরা চলক t -এর মান শূন্য ধরি। এই সমীকরণের চূড়ান্ত সমাধান তখন হয়:

$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)$

আমরা ম্যাট্রিক্স সূচকীয় রূপ e^At '-কে স্টেট ট্রাঞ্জিসন ম্যাট্রিক্স বা স্থিতি-পরিবর্তন ম্যাট্রিক্স বলি। এর গণনা করা যদিও কখনও কখনও কঠিন হয়, তবুও কোনো সিস্টেম বিশ্লেষণ ও নিয়ন্ত্রণে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। নিচে আমরা এই ম্যাট্রিক্স সূচকীয় রূপ কীভাবে গণনা করতে হয় তা নিয়ে আরও বিস্তারিত আলোচনা করবো।

x(t) -এর সমাধান অশূন্য মান দিয়ে

যদি আমাদের ইনপুট শূন্য না হয় (যেমনটা সাধারণত অধিকাংশ বাস্তব ও গুরুত্বপূর্ণ সিস্টেমে হয়ে থাকে), তাহলে সমীকরণের সমাধানটি কিছুটা জটিল হয়ে পড়ে। লক্ষ্য করুন, এখন যেহেতু আমাদের সমীকরণে অশূন্য ইনপুট যুক্ত হয়েছে, তাই আমরা আর সহজে চলরাশিগুলিকে আলাদা করে সমীকরনের দুই পাশে সমাকলন করতে পারব না।

$x^{\prime }(t)=Ax(t)+Bu(t)$

সমীকরনের বাম পাশে নির্দিষ্টভাবে $Ax(t)$ -এই রাশিটি পেতে আমরা বিয়োগের মতো কিছু গাণিতিক পদ্ধতি অনুসরন করে বিয়োগ করি, এবং তারপর সমীকরনের উভয় পাশই স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স দ্বারা পূর্বে গুণ করি।

$e^{-At}{x}^{\prime }(t)-e^{-At}Ax(t)=e^{-At}Bu(t)$

এই শেষ ধাপের যুক্তিটি সম্ভবত অস্পষ্ট বলে মনে হতে পারে, তাই আমরা একটি উদাহরণ দিয়ে বিষয়টি ব্যাখ্যা করব:

উদাহরণ

আমাদের উদাহরণ থেকে প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে, আমরা সমীকরণের বাম পাশটিকে একটি ডিফারেনশিয়ালে (অবলব্ধিতে) সংক্ষিপ্ত করতে পারি:

$\frac{d(e^{-At}x(t))}{dt}=e^{-At}Bu(t)$

এখন আমরা সমীকরণের উভয় পাশে ইন্টিগ্রেশন করতে পারি যার সীমা হবে প্রাথমিক সময় (t₀) থেকে বর্তমান সময় (t) পর্যন্ত এবং একটি কাল্পনিক চলক τ ব্যবহার করা হবে। এতে আমরা আমাদের চূড়ান্ত ফলাফলের আরও কাছাকাছি পৌঁছাব। শেষে, যদি আমরা e^At দ্বারা পূর্ব গুণ করি, তাহলে আমাদের চূড়ান্ত ফলাফল হবে:

$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

যদি আমরা এই সমাধানটিকে আউটপুট সমীকরণে ব্যাবহার করি, তাহলে আমরা পাব:

$y(t)=C{e}^{A(t-t_0)}x(t_0)+C{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau +Du(t)$

এটি হল অশূন্য ইনপুট মান দ্বারা স্টেট-স্পেস সমীকরন -এর সময়-নিরপেক্ষ সমাধান। এই সমীকরন ও তার সমাধানগুলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। আগ্রহী অধ্যয়নকারীদের পরবর্তী পঠনের জন্য এই সমীকরণ এবং তার সমাধানের বিষয়ে ভালোভাবে অবগত থাকা উচিত।

স্টেট ট্রাঞ্জিসন ম্যাট্রিক্স

স্টেট ট্রাঞ্জিসন ম্যাট্রিক্স সূচক e^At, সাধারণ সময়-নিরপেক্ষ স্টেট-স্পেস সমীকরনের সামাধানের জন্য অতি গুরুত্বপূর্ণ। যখনই কোন নতুন সিস্টেমের বিশ্লেষণ করা হয়, তখন ম্যাট্রিক্স সূচকের গননা সবার প্রথমে করা হয় এবং এই গণনার মাধ্যমে সিস্টেম সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ তথ্য জানা যায়।

টেলর-সিরিজ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে এই ম্যাট্রিক্স সূচকের সরাসরি গণনা করা যেতে পারে:

$e^{At}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(At{)}^n}{n!}$

এছাড়াও আমরা ম্যাট্রিক্স A -কে একটি তীর্যক ম্যাট্রিক্স (ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স) অথবা একটি জর্ডন ক্যানোনিকাল ম্যাট্রিক্স -এ রূপান্তরিত করতে পারি। একটি তীর্যক ম্যাট্রিক্সের সূচকীয় মান নির্ণয় করা তুলনামূলকভাবে সহজ — কেবল ম্যাট্রিক্সের তীর্যক বা কর্ণের অবস্থানে প্রতিটি উপাদানকে পৃথকভাবে সূচকে উত্তোলন করতে হয়। জর্ডান ক্যানোনিকাল ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে এই গণনা কিছুটা জটিল, তবে সেখানে একটি কার্যকর পদ্ধতি রয়েছে যা ব্যবহার করে দ্রুত সমাধানে পৌঁছানো যায়। আগ্রহী পাঠকদের ইঞ্জিনিয়ারিং বিশ্লেষণ-এর প্রাসঙ্গিক অংশগুলি পড়ে দেখা উচিত।

নিয়ন্ত্রন ব্যাবস্থার ক্ষেত্র পরিসরে স্টেট ট্রাঞ্জিসন ম্যাট্রিক্স এবং ম্যাট্রিক্স সূচকের অত্যন্ত গুরুত্ব আছে।

তীর্যক ম্যাট্রিক্স

তীর্যক ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্সের তীর্যক অবস্থানের প্রতিটি উপাদানকে e -এর ঘাতে তুলে স্টেট ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স গননা করা যায়।

জর্ডন ক্যানোনিকাল ম্যাট্রিক্স

যদি A ম্যাট্রিক্স একটি জর্ডন ক্যানোনিকাল ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে নিম্নলিখিত সূত্র ব্যাবহার করে সহজেই ম্যাট্রিক্স সূচক গননা করা যায়:

$e^{Jt}=e^{\lambda t}\left[\begin{array}{ccccc}1& t& \frac{1}{2!}{t}^2& \cdots & \frac{1}{n!}{t}^n\\ 0& 1& t& \cdots & \frac{1}{(n-1)!}{t}^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

এখানে λ হল জর্ডন ক্যানোনিকাল ম্যাট্রিক্সটির আইগেন মান (ম্যাট্রিক্স -এর কর্ণের অবস্থানে অবস্থিত উপাদানসমূহের মান)

ইনভার্স ল্যাপ্লেস পদ্ধতি

আমরা নিম্নলিখিত ইনভার্স ল্যাপ্লেস রূপান্তর পদ্ধতি ব্যবহার করে স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স (অথবা যেকোনো ম্যাট্রিক্সের সূচকীয় ফাংশন) হিসাব করতে পারি:

$e^{At}={ℒ}^{-1}[(sI-A{)}^{-1}]$

যদি A একটি উচ্চ ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে ইনভার্স ল্যাপ্লেস পদ্ধতির ব্যাবহার করে সূচকের মান নির্ণয় করা একটু জটিল হয়।

যদি A ম্যাট্রিক্স জর্ডন ক্যানোনিকাল আকারে থাকে, তাহলে নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স সূচক গননা করা যেতে পারে:

$e^{Jt}=e^{\lambda t}\left[\begin{array}{ccccc}1& t& \frac{1}{2!}{t}^2& \cdots & \frac{1}{n!}{t}^n\\ 0& 1& t& \cdots & \frac{1}{(n-1)!}{t}^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

এখানে λ হল জর্ডন ক্যানোনিকাল ম্যাট্রিক্সের এইগেন মান।

স্পেকট্রাল বিশ্লেষণ

যদি আমরা A ম্যাট্রিক্সের আইগেন মান গননা করতে পারি, তাহলে আমরা তার সহায়তায় ট্রাঞ্জিসন ম্যাট্রিক্স T এবং ইনভার্স ট্রাঞ্জিশন ম্যাট্রিক্স T^-1 গঠন করতে পারবো। এই ম্যাট্রিক্সগুলি যথাক্রমে ডান(রাইট) এবং বাম(লেফ্ট) দিশাবর্তী আইগেন ভেক্টরের সাথে যুক্ত ম্যাট্রিক্স। যদি আমাদের কাছে ডান ও বাম আইগেন ভেক্টর উপলব্ধ থাকে তাহলে আমরা নিম্নরুপে স্টেট ট্রাঞ্জিসন ম্যাট্রিক্সের গননা করতে পারব:

$e^{At}=\sum _{i=1}^n{e}^{{\lambda }_{i}t}{v}_i{w_i}^{\prime }$

মনে রাখবেন w_i' হল i তম বাম-আইগেন ভেক্টরের ট্রান্স্পোজ, অন্তরকলন নয়। আমরা পরের অধ্যায়ে আইগেন মান, আইগেন ভেক্টরএবং স্পেক্ট্রাল বিশ্লেষণের পদ্ধতি সম্পর্কে আলোচনা করব।

কেলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য

কেলি -হ্যামিল্টন উপপাদ্যটি একটি ম্যাট্রিক্স সূচকীয়ের সমাধান খুঁজে পেতেও ব্যবহার করা যেতে পারে। সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A -এর যেকোন আইগেন মানের জন্য (λ) আমরা দেখাতে পারি যে দুটি সমীকরণ সমতুল্য:

$e^{\lambda t}=a_0+a_1\lambda t+a_2{\lambda }^2{t}^2+\cdots +a_{n-1}{\lambda }^{n-1}{t}^{n-1}$

উপরের সমীকরনের, a চিহ্নিত সহগগুলির মান সমাধান করে বের করতে পারলে তা আমরা নিচের সমীকরনে প্রয়োগ করে পাই:

$e^{At}=a_{0}I+a_{1}At+a_2{A}^2{t}^2+\cdots +a_{n-1}{A}^{n-1}{t}^{n-1}$