নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/সময় ভেদে পরিবর্তনশীল সিস্টেম সমাধান

সাধারণ টাইম-ভেরিয়েন্ট সমাধান

স্টেট-স্পেস সমীকরণসমূহ টাইম-ভেরিয়েন্ট (সময়-পরিবর্তনশীল) সিস্টেমের জন্য সমাধান করা যায়, তবে এই সমাধান টাইম-ইনভেরিয়েন্ট (সময়-অপরিবর্তনশীল) সিস্টেমের তুলনায় অনেক বেশি জটিল। আমাদের টাইম-ভেরিয়েন্ট স্টেট সমীকরণ নিচে দেওয়া হলো:

$x^{\prime }(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

আমরা বলতে পারি, টাইম-ভেরিয়েন্ট স্টেট-সমীকরণের সাধারণ সমাধান এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

$x(t)=\varphi (t,t_0)x(t_0)+{\int }_{t_0}^t\varphi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )d\tau$

$\varphi$ ফাংশনটিকে স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স বলা হয়, কারণ এটি (টাইম-ইনভেরিয়েন্ট কেসে ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়ালের মতো) স্টেট সমীকরণে স্টেটগুলোর পরিবর্তন নিয়ন্ত্রণ করে। তবে, টাইম-ইনভেরিয়েন্ট কেসের মতো এটিকে একটি সাধারণ এক্সপোনেনশিয়াল রূপে সংজ্ঞায়িত করা যায় না। প্রকৃতপক্ষে, $\varphi$ সাধারণভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না, কারণ এটি প্রতিটি সিস্টেমের জন্য আলাদা হবে। তবে, স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স কিছু মৌলিক বৈশিষ্ট্য অনুসরণ করে, যেগুলোর মাধ্যমে আমরা এটি নির্ধারণ করতে পারি।

একটি টাইম-ভেরিয়েন্ট সিস্টেমে, সাধারণ সমাধান তখনই পাওয়া যায় যখন স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স নির্ধারিত হয়। এই কারণেই, এখানে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো সেই ম্যাট্রিক্সটি বের করা। আমরা নিচে সেটির সমাধান নিয়ে আলোচনা করব।

স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স

স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স $\varphi$ সম্পূর্ণ অজানা নয়; এটি অবশ্যই নিচের সম্পর্কগুলো মেনে চলে:

$\frac{\partial \varphi (t,t_0)}{\partial t}=A(t)\varphi (t,t_0)$

$\varphi (\tau ,\tau )=I$

এছাড়াও $\varphi$ এর নিম্নোক্ত গুণাবলিও থাকতে হবে:

১.	$\varphi (t_2,t_1)\varphi (t_1,t_0)=\varphi (t_2,t_0)$
২.	${\varphi }^{-1}(t,\tau )=\varphi (\tau ,t)$
৩.	${\varphi }^{-1}(t,\tau )\varphi (t,\tau )=I$
৪.	$\frac{d\varphi (t_0,t_0)}{dt}=A(t)$

যদি সিস্টেমটি টাইম-ইনভেরিয়েন্ট হয়, তাহলে আমরা $\varphi$ কে নিচেরভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$\varphi (t,t_0)=e^{A(t-t_0)}$

পাঠক নিশ্চিত হতে পারেন যে টাইম-ইনভেরিয়েন্ট সিস্টেমের জন্য এই সমাধান উপরের সমস্ত বৈশিষ্ট্য পূরণ করে। তবে, টাইম-ভেরিয়েন্ট ক্ষেত্রে, অনেক ভিন্ন ভিন্ন ফাংশন এই শর্তগুলো পূরণ করতে পারে, এবং সমাধান নির্ভর করে সিস্টেমের কাঠামোর ওপর। টাইম-ভেরিয়েন্ট সমাধানের বিশ্লেষণ চালিয়ে যেতে হলে স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স অবশ্যই নির্ধারণ করতে হবে। আমরা নিচে সেই ম্যাট্রিক্স নির্ধারণের কয়েকটি পদ্ধতি আলোচনা করব।

এই অংশটির বাংলা অনুবাদ নিচে প্রদান করা হলো, যেখানে মূল উইকিমার্কআপ ও গাণিতিক রূপ সংরক্ষণ করা হয়েছে:

সময়-ভেদী, শূন্য ইনপুট

সবচেয়ে মৌলিক ক্ষেত্রে, আমরা একটি শূন্য ইনপুট বিশিষ্ট সিস্টেম বিবেচনা করব। যদি সিস্টেমের কোনো ইনপুট না থাকে, তবে অবস্থা সমীকরণটি হবে:

$x^{\prime }(t)=A(t)x(t)$

এবং আমরা এই সিস্টেমটির প্রতিক্রিয়া নিয়ে আগ্রহী সময় ব্যবধানে T = (a, b)। এই ক্ষেত্রে আমাদের প্রথম কাজ হবে উপরোক্ত সমীকরণের একটি মূলগত ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করা। মূলগত ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত বিস্তারিত নিচে দেওয়া হলো:

মূলগত ম্যাট্রিক্স

নিম্নোক্ত সমীকরণ দেওয়া আছে:

$x^{\prime }(t)=A(t)x(t)$

এই সমীকরণের সমাধানগুলো T = (a, b) ব্যবধানে একটি n-মাত্রিক ভেক্টর স্থান গঠন করে। সমীকরণের যেকোনো nটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান {x₁, x₂, ..., x_n} কে বলা হয় সমাধানের একটি মূলগত সেট।

একটি মূলগত ম্যাট্রিক্স FM গঠিত হয় nটি মূলগত ভেক্টর নিয়ে একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করে। আমরা মূলগত ম্যাট্রিক্সকে একটি স্ক্রিপ্ট ক্যাপিটাল X দিয়ে চিহ্নিত করব:

$𝒳=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]$

মূলগত ম্যাট্রিক্সটি নিম্নোক্ত অবস্থা সমীকরণটি সন্তুষ্ট করে:

${𝒳}^{\prime }(t)=A(t)𝒳(t)$

এছাড়াও, যেকোনো ম্যাট্রিক্স যেটি এই সমীকরণটি মেটায় সেটিকে একটি মূলগত ম্যাট্রিক্স বলা যাবে যদি এবং কেবল যদি T ব্যবধানে প্রতিটি সময় t-এর জন্য ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক শূন্য না হয়। নির্ণায়ক শূন্য না হওয়া জরুরি, কারণ আমরা অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ে মূলগত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করব।

অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স

একবার যদি আমরা সিস্টেমের মূলগত ম্যাট্রিক্স পেয়ে যাই, তখন তা ব্যবহার করে সিস্টেমের অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়:

$\varphi (t,t_0)=𝒳(t){𝒳}^{-1}(t_0)$

মূলগত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান, কারণ আমরা পূর্বে উল্লেখ করেছি যে এর নির্ণায়ক শূন্য নয়, অর্থাৎ এটি অ-একক।পাঠকদের মনে রাখা উচিত এটি অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ধারণের শুধুমাত্র একটি পদ্ধতি; নিচে অন্যান্য পদ্ধতিও আলোচনা করা হয়েছে।

অন্যান্য পদ্ধতি

মূলগত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় না করেও অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের কিছু অন্যান্য পদ্ধতি রয়েছে।

পদ্ধতি ১

যদি A(t) একটি ত্রিকোণী ম্যাট্রিক্স (উপর বা নিচের), তবে অবস্থা সমীকরণের প্রতিটি সারি ধারাবাহিকভাবে সমাকলন করে রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।

পদ্ধতি ২

যদি প্রতিটি τ এবং t-এর জন্য নিম্নোক্তটি সত্য হয়: ::$A(t)[{\int }_{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta ]=[{\int }_{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta ]A(t)$ :তবে অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স হবে: ::$\varphi (t,\tau )=e^{{\int }_{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta }$ :উপরের সমাকলন সম্পর্কটি নিম্নোক্ত যেকোনো ক্ষেত্রে সত্য: :#A একটি ধ্রুব ম্যাট্রিক্স (সময়-অপরিবর্তনশীল) :#A একটি কর্ণীয় ম্যাট্রিক্স (diagonal matrix) :#যদি $A=\overline{A}f(t)$, যেখানে $\overline{A}$ একটি ধ্রুব ম্যাট্রিক্স এবং f(t) একটি স্কেলার ফাংশন।

যদি উপরের কোন শর্তই সত্য না হয়, তবে আপনাকে পদ্ধতি ৩ ব্যবহার করতে হবে।

পদ্ধতি ৩

যদি A(t) নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়: ::$A(t)=\sum _{i=1}^n{M}_i{f}_i(t)$ :যেখানে M_i হলো ধ্রুব ম্যাট্রিক্স এবং M_iM_j = M_jM_i, এবং f_i হলো স্কেলার ফাংশন, তবে অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স হবে: ::$\varphi (t,\tau )=\prod _{i=1}^n{e}^{M_i{\int }_{\tau }^t{f}_i(\theta )d\theta }$

এটি পাঠকদের জন্য একটি অনুশীলন হিসেবে রাখা হলো প্রমাণ করার জন্য যে, যদি A(t) সময়-অপরিবর্তনশীল হয়, তবে পদ্ধতি ২-এর সমীকরণটি $e^{A(t-\tau )}$ এ রূপান্তরিত হয়।

সময়-পরিবর্তী, অশূন্য ইনপুট

যদি সিস্টেমে ইনপুট অশূন্য হয়, তাহলে আগের সমস্ত বিশ্লেষণ এখনো প্রযোজ্য থাকে। আমরা এখনো মৌলিক ম্যাট্রিক্স নির্মাণ করতে পারি, এবং এখনো সিস্টেমের সমাধানকে স্টেট ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স $\varphi$ দ্বারা প্রকাশ করতে পারি।

আমরা দেখাতে পারি যে স্টেট-স্পেস সমীকরণের সাধারণ সমাধান হলো:

$x(t)=\varphi (t,t_0)x(t_0)+{\int }_{t_0}^t\varphi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )d\tau$