নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/সমীকরণের তালিকা

এখানে পাঠ্যাংশ থেকে সংগৃহীত গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণগুলো বিষয়ভিত্তিকভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে। প্রতিটি সমীকরণের ভেরিয়েবল ও প্রতীকের অর্থ, ফাংশনগুলোর ব্যবহার এবং সমীকরণগুলোর বিশ্লেষণ সম্পর্কে বিস্তারিত জানতে মূল পাঠ্যাংশের সংশ্লিষ্ট পাতাগুলি দেখুন।

মৌলিক সমীকরণ

$e^{j\omega }=\cos (\omega )+j\sin (\omega )$

$(a\ast b)(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}a(\tau )b(t-\tau )d\tau$

$ℒ[f(t)\ast g(t)]=F(s)G(s)$

$ℒ[f(t)g(t)]=F(s)\ast G(s)$

$|A-\lambda I|=0$

$Av=\lambda v$

$wA=\lambda w$

$dB=20\log (C)$

মৌলিক ইনপুট

$u(t)=\{\begin{array}{cc}0,& t<0\\ 1,& t\ge 0\end{array}$

$r(t)=tu(t)$

$p(t)=\frac{1}{2}{t}^{2}u(t)$

ত্রুটি ধ্রুবক

$K_p=\underset{s\to 0}{lim}G(s)$

$K_p=\underset{z\to 1}{lim}G(z)$

$K_v=\underset{s\to 0}{lim}sG(s)$

$K_v=\underset{z\to 1}{lim}(z-1)G(z)$

$K_a=\underset{s\to 0}{lim}{s}^{2}G(s)$

$K_a=\underset{z\to 1}{lim}(z-1{)}^{2}G(z)$

সিস্টেম বিবরণ

$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(t,r)x(r)dr$

$y(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

$Y(s)=H(s)X(s)$

$Y(z)=H(z)X(z)$

$x^{\prime }(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

$C[sI-A{]}^{-1}B+D=𝐇(s)$

$C[zI-A{]}^{-1}B+D=𝐇(z)$

$𝐘(s)=𝐇(s)𝐔(s)$

$𝐘(z)=𝐇(z)𝐔(z)$

$M=\frac{y_{out}}{y_{in}}=\sum _{k=1}^N\frac{M_k\mathrm{\Delta }{}_k}{\mathrm{\Delta }}$

প্রতিক্রিয়া লুপ

$H_{cl}(s)=\frac{KGp(s)}{1+KGp(s)Gb(s)}$

$H_{ol}(s)=KGp(s)Gb(s)$

$F(s)=1+H_{ol}$

রূপান্তর

$F(s)=ℒ[f(t)]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt$

$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{c-i\mathrm{\infty }}^{c+i\mathrm{\infty }}{e}^{st}F(s)ds$

$F(j\omega )=ℱ[f(t)]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t}dt$

$f(t)={ℱ}^{-1}\{F(j\omega )\}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(j\omega )e^{-j\omega t}d\omega$

$F^{\ast }(s)={ℒ}^{\ast }[f(t)]=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}f(iT)e^{-siT}$

$X(z)=𝒵\{x[n]\}=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz$

$X(z,m)=𝒵(x[n],m)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n+m-1]z^{-n}$

রূপান্তর উপপাদ্য

$x(\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0}{lim}sX(s)$

$x[\mathrm{\infty }]=\underset{z\to 1}{lim}(z-1)X(z)$

$x(0)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sX(s)$

স্টেট-স্পেস পদ্ধতি

$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

$x[n]=A^{n}x[0]+\sum _{m=0}^{n-1}{A}^{n-1-m}Bu[m]$

$y(t)=C{e}^{A(t-t_0)}x(t_0)+C{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau +Du(t)$

$y[n]=C{A}^{n}x[0]+\sum _{m=0}^{n-1}C{A}^{n-1-m}Bu[m]+Du[n]$

$x(t)=\varphi (t,t_0)x(t_0)+{\int }_{t_0}^t\varphi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )d\tau$

$x[n]=\varphi [n,n_0]x[n_0]+\sum _{m=n_0}^n\varphi [n,m+1]B[m]u[m]$

$G(t,\tau )=\{\begin{array}{cc}C(\tau )\varphi (t,\tau )B(\tau )& \text{ if }t\ge \tau \\ 0& \text{ if }t<\tau \end{array}$

$G[n]=\{\begin{array}{cc}C{A}^{k-1}N& \text{ if }k>0\\ 0& \text{ if }k\le 0\end{array}$

রুট লোকাস

$1+KG(s)H(s)=0$

$1+K\overline{GH}(z)=0$

$\mathrm{\angle }KG(s)H(s)=180^{\circ }$

$\mathrm{\angle }K\overline{GH}(z)=180^{\circ }$

$N_a=P-Z$

${\varphi }_k=(2k+1)\frac{\pi }{P-Z}$

${\sigma }_0=\frac{\sum _P-\sum _Z}{P-Z}$

$\frac{d}{ds}[G(s)H(s)]=0$ অথবা $\frac{d}{dz}[\overline{GH}(z)]=0$

লিয়াপুনভ স্থিতিশীলতা

$MA+A^{T}M=-N$

নিয়ন্ত্রক এবং ক্ষতিকারক

$D(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_{d}s$

$D(z)=K_p+K_i\frac{T}{2}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)+K_d\left(\frac{z-1}{Tz}\right)$