নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/সিস্টেম মেট্রিক্স

সিস্টেম মেট্রিকস

যখন একটি সিস্টেম ডিজাইন এবং বিশ্লেষণ করা হয়, তখন সকল ধরনের অদ্ভুত ইনপুট ফাংশনের মাধ্যমে সিস্টেম পরীক্ষা করা বা যেকোনো ধরনের খাপছাড়া কার্যকারিতা সূচক পরিমাপ করার কোনো অর্থ হয় না। বরং, সবার জন্যই মঙ্গলজনক হয় যদি একটি নির্ধারিত, সহজ রেফারেন্স ফাংশনের সেট দিয়ে সিস্টেমটি পরীক্ষা করা হয়। একবার সিস্টেমটি এই রেফারেন্স ফাংশনগুলোর মাধ্যমে পরীক্ষিত হলে, সিস্টেমের কার্যকারিতা নির্ধারণ করার জন্য আমরা বিভিন্ন ধরণের মেট্রিক ব্যবহার করতে পারি।

এটি উল্লেখযোগ্য যে, এই অধ্যায়ে উপস্থাপিত মেট্রিকগুলো কেবল একটি সিস্টেম মূল্যায়নের জন্য ব্যবহৃত সম্ভাব্য অসংখ্য মেট্রিকের মধ্যে সামান্য কিছু। এই উইকিবইয়ে প্রয়োজনে অন্যান্য উপযোগী মেট্রিকও উপস্থাপন করা হবে।

প্রমিত ইনপুটসমূহ

কিছু প্রমিত ইনপুট রয়েছে যেগুলো যথেষ্ট সহজ ও সার্বজনীন বলে বিবেচিত হয় এবং সিস্টেম ডিজাইনের সময় এগুলো ব্যবহৃত হয়। এই ইনপুটগুলো হলো একটি ইউনিট স্টেপ, একটি র্যাম্প, এবং একটি প্যারাবলিক ইনপুট।

তাছাড়া, সাইনোসয়েডাল এবং এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনগুলোও প্রাথমিক হিসেবে বিবেচিত হয়, কিন্তু সিস্টেম বিশ্লেষণের প্রাথমিক পর্যায়ে এগুলো ব্যবহার করা অনেক কঠিন।

স্থির অবস্থা

যখন একটি ইউনিট-স্টেপ ফাংশন কোনো সিস্টেমে ইনপুট হিসেবে প্রদান করা হয়, তখন ঐ সিস্টেমের স্থির অবস্থার মান হলো সেই আউটপুট মান যা সময় $t=\mathrm{\infty }$ এ পাওয়া যায়। যেহেতু বাস্তবে (বা সম্পূর্ণভাবে অসম্ভবভাবে) অনন্ত পর্যন্ত অপেক্ষা করা যায় না, তাই গাণিতিক হিসাব ও আনুমানিক পদ্ধতির মাধ্যমে সিস্টেমের স্থির অবস্থার মান নির্ধারণ করা হয়। বেশিরভাগ সিস্টেম রেসপন্সই অ্যাসিম্পটোটিকঅর্থাৎ আউটপুট কোনো নির্দিষ্ট মানের দিকে ধাবিত হয়। এই ধরণের অ্যাসিম্পটোটিক সিস্টেম সাধারণত গ্রাফ দেখেই বোঝা যায়।

স্টেপ রেসপন্স

সিস্টেম বিশ্লেষণে স্টেপ রেসপন্স সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়, এবং এতে বেশ কিছু পরিভাষা জড়িত থাকে। যখন কোনো সিস্টেমে স্টেপ ইনপুট প্রদান করা হয়, তখন সিস্টেমের শুরুতে একটি অনাকাঙ্ক্ষিত আউটপুট সময়কাল দেখা দেয়, যেটিকে ট্র্যানসিয়েন্ট রেসপন্স বলা হয়। এই ট্র্যানসিয়েন্ট রেসপন্স ঘটে কারণ সিস্টেমটি তার চূড়ান্ত আউটপুট মানের দিকে ধাবিত হচ্ছে। ট্র্যানসিয়েন্ট রেসপন্স শেষ হওয়ার পর যেটি থাকে সেটিই হলো সিস্টেমের স্থির অবস্থা রেসপন্স।

সিস্টেম আউটপুট কাঙ্ক্ষিত মানে পৌঁছাতে যে সময় লাগে (সাধারণত ট্র্যানসিয়েন্ট রেসপন্স শেষ হওয়ার আগেই), তাকে বলে রাইজ টাইম। ট্র্যানসিয়েন্ট রেসপন্স কখন শেষ হয় এবং কখন স্থির অবস্থা শুরু হয়, তা নির্দেশ করতে ব্যবহৃত সময়কে বলে সেটলিং টাইম।

সিস্টেম ইঞ্জিনিয়াররা প্রায়ই একটি সিস্টেমের স্টেপ রেসপন্স উন্নত করার চেষ্টা করেন। সাধারণভাবে, এটি কাম্য যে ট্র্যানসিয়েন্ট রেসপন্স কম হোক, রাইজ টাইম ও সেটলিং টাইম ছোট হোক, এবং স্থির অবস্থা কাঙ্ক্ষিত একটি "রেফারেন্স" আউটপুট মানের খুব কাছাকাছি হোক।

$x(t)=Mu(t)$ সহ একটি যেকোনো স্টেপ ফাংশন	একটি উদ্ভাবিত সিস্টেমে ইনপুট x(t) এর স্টেপ রেসপন্স গ্রাফ

লক্ষ্য মান

লক্ষ্য আউটপুট মানটি হল সেই মান যা একটি প্রদত্ত ইনপুটের জন্য আমাদের সিস্টেম অর্জন করার চেষ্টা করে। এটি সিস্টেমের গৃহীত প্রকৃত মান, অর্থাৎ স্থির-অবস্থা মানের সমান নয়। লক্ষ্য মানকে প্রায়ই রেফারেন্স মান বা সিস্টেমের "রেফারেন্স ফাংশন" বলা হয়। মূলত, এটি সেই মান যা আমরা চাই সিস্টেম উৎপন্ন করুক। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা একটি লিফটে "৫" ইনপুট দিই, আমরা চাই যে আউটপুট (লিফটের চূড়ান্ত অবস্থান) হোক পঞ্চম তলা। "৫" বোতামে চাপ দেওয়া হল রেফারেন্স ইনপুট, এবং এটি প্রত্যাশিত মান যা আমরা অর্জন করতে চাই। যদি আমরা "৫" চাপ দিই, আর লিফট যায় তৃতীয় তলায়, তবে আমাদের লিফট খারাপভাবে ডিজাইন করা।

ঊর্ধ্বগমন সময়

ঊর্ধ্বগমন সময় হল সেই সময় যা সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া শূন্য প্রাথমিক অবস্থা থেকে লক্ষ্য মানে পৌঁছাতে লাগে। অনেক পাঠ্যবই এটি সংজ্ঞায়িত করে যে এটি হল সেই সময় যা প্রাথমিক মান থেকে লক্ষ্য মানের ৮০% পর্যন্ত পৌঁছাতে লাগে। কারণ কিছু সিস্টেম কখনোই ১০০% লক্ষ্য মানে পৌঁছায় না, তাই তাদের ঊর্ধ্বগমন সময় অসীম হতে পারে। এই বইতে প্রতিটি সমস্যার জন্য কোন রীতিটি ব্যবহৃত হবে তা নির্দিষ্ট করে দেওয়া হবে। ঊর্ধ্বগমন সময় সাধারণত t_r বা t_rise দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

শতকরা ওভারশুট

আন্ডারড্যাম্পড সিস্টেম প্রাথমিকভাবে প্রায়ই তাদের লক্ষ্য মান ছাড়িয়ে যায়। এই প্রাথমিক বৃদ্ধি "ওভারশুট মান" নামে পরিচিত। সিস্টেমের লক্ষ্য স্থির-অবস্থা মানের তুলনায় এই ওভারশুটের অনুপাতকেই বলা হয় শতকরা ওভারশুট। শতকরা ওভারশুট একটি অতিরিক্ত প্রতিক্রিয়া নির্দেশ করে, এবং এটি এমন বড় আউটপুট সংকেত তৈরি করতে পারে যা সিস্টেমের ক্ষতি করতে পারে। শতকরা ওভারশুট সাধারণত PO দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

স্থির-অবস্থা ত্রুটি

টেমপ্লেট:SideBox কখনো কখনো একটি সিস্টেম কাঙ্ক্ষিত স্থির-অবস্থা মানে পৌঁছাতে পারে না, বরং একটি ভিন্ন আউটপুট মানে স্থির হয়ে যায়। স্থির-অবস্থায় রেফারেন্স ইনপুট মান ও আউটপুট মানের মধ্যকার পার্থক্যকে বলা হয় সিস্টেমের স্থির-অবস্থা ত্রুটি। আমরা e_ss দ্বারা স্থির-অবস্থা ত্রুটি নির্দেশ করব।

স্থিতিশীল সময়

সিস্টেমের প্রাথমিক ঊর্ধ্বগমন সময়ের পর, কিছু সিস্টেম একসময় কম্পিত ও দোলায়মান হয় যতক্ষণ না আউটপুট চূড়ান্ত মানে পৌঁছায়। এই প্রাথমিক ঊর্ধ্বগমন সময়ের পর স্থির-অবস্থায় পৌঁছাতে যে সময় লাগে, তাকেই বলা হয় স্থিতিশীল সময়। লক্ষ্য করুন যে, কিছু ড্যাম্পড দোলায়মান সিস্টেম কখনোই পুরোপুরি স্থির হয় না, তাই আমরা স্থিতিশীল সময় সংজ্ঞায়িত করব এমনভাবে, যে এটি একটি নির্দিষ্ট গ্রহণযোগ্য সীমার মধ্যে পৌঁছানোর ও তাতে থাকার সময়। এই সীমা প্রতিটি সমস্যার ভিত্তিতে নির্ধারিত হয়, যদিও সাধারণত ২০%, ১০%, বা ৫% ব্যবহৃত হয়। স্থিতিশীল সময় t_s দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

সিস্টেমের অর্ডার

অর্ডার দ্বারা বোঝানো হয় সিস্টেমে বিদ্যমান স্বাধীন শক্তি-সংরক্ষণ উপাদানগুলোর সংখ্যা, এবং অন্তর্দৃষ্টিগতভাবে এটি সেই রেখীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সর্বোচ্চ গুণাঙ্ক যা সিস্টেমকে বর্ণনা করে। ট্রান্সফার ফাংশনের রূপে, অর্ডার হল গুণাত্মক রাশি হিসেবে ডিনোমিনেটরের সর্বোচ্চ ঘাত। একটি উপযুক্ত সিস্টেমে, সিস্টেমের অর্ডার ডিনোমিনেটরের পলিনোমিয়ালের ডিগ্রি দ্বারা নির্ধারিত হয়। স্টেট-স্পেস সমীকরণে, সিস্টেমের অর্ডার হল ব্যবহৃত স্টেট-চলরাশির সংখ্যা। অর্ডার সাধারণত n বা N দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যদিও এই অক্ষর অন্য উদ্দেশ্যেও ব্যবহৃত হয়। এই বইটি সেগুলির মধ্যে স্পষ্ট পার্থক্য করবে।

উপযুক্ত সিস্টেম

একটি উপযুক্ত সিস্টেম হল যেখানে ডিনোমিনেটরের ডিগ্রি নিউমেরেটরের ডিগ্রি অপেক্ষা বড় বা সমান। একটি সম্পূর্ণ উপযুক্ত সিস্টেম হল যেখানে ডিনোমিনেটরের ডিগ্রি নিউমেরেটরের ডিগ্রি অপেক্ষা বড় (কিন্তু কখনোই সমান নয়)। একটি দ্বি-উপযুক্ত সিস্টেম হল যেখানে নিউমেরেটর ও ডিনোমিনেটরের ডিগ্রি সমান।

গুরুত্বপূর্ণভাবে লক্ষ্যণীয়, কেবল উপযুক্ত সিস্টেমই বাস্তবায়নযোগ্য। অর্থাৎ, একটি অনুপযুক্ত সিস্টেম তৈরি করা যায় না। কল্পিত সিস্টেম ডিজাইন ও বিশ্লেষণে সময় ব্যয় করার অর্থ নেই।

উদাহরণ: সিস্টেম অর্ডার

উপরের উদাহরণে, G(s) হল একটি দ্বিতীয়-অর্ডারের ট্রান্সফার ফাংশন, কারণ ডিনোমিনেটরের এক ঘাতের মান ২। দ্বিতীয়-অর্ডার ফাংশনগুলোর সঙ্গে কাজ করা সহজ।

সিস্টেম টাইপ

ধরা যাক আমাদের একটি প্রসেস ট্রান্সফার ফাংশন (বা একটি কন্ট্রোলার ও প্রসেসের সমন্বয়) আছে, যা একটি ইউনিটি ফিডব্যাক লুপের ফরওয়ার্ড শাখায়। বলা যাক, সমগ্র ফরওয়ার্ড ব্রাঞ্চ ট্রান্সফার ফাংশন নিচের সাধারণায়িত রূপে আছে (পোল-জিরো রূপ নামে পরিচিত):

টেমপ্লেট:Eqn :$G(s)=\frac{K\prod _i(s-s_i)}{s^M\prod _j(s-s_j)}$ টেমপ্লেট:SideBox এইখানে M হল সিস্টেম টাইপ। লক্ষ্যণীয় যে, বড় সংখ্যক পোল যদি s = 0-তে থাকে, তবে সিস্টেম টাইপ সংখ্যা বাড়ে। উৎপত্তিস্থলে অধিক পোল সাধারণত সিস্টেমের জন্য উপকারী হলেও, এতে অর্ডার বৃদ্ধি পায় ও বাস্তবায়ন কঠিন হয়। সিস্টেম টাইপ সাধারণত N, M, অথবা m দ্বারা চিহ্নিত হয়। যেহেতু এই অক্ষরগুলো অন্যান্য উদ্দেশ্যেও ব্যবহৃত হয়, তাই এই বই পরিষ্কারভাবে নির্ধারণ করবে কখন কোনটি ব্যবহৃত হচ্ছে।

এখন আমরা কয়েকটি সাধারণ শব্দ সংজ্ঞায়িত করব যেগুলো সিস্টেম টাইপ আলোচনায় ব্যবহৃত হয়। এই শব্দগুলো হল পজিশন ত্রুটি, ভেলোসিটি ত্রুটি, এবং অ্যাকসেলারেশন ত্রুটি। এগুলো পদার্থবিজ্ঞানের পদ থেকে নেওয়া হয়েছে যেখানে অ্যাকসেলারেশন হল ভেলোসিটির ডেরিভেটিভ, আর ভেলোসিটি হল পজিশনের ডেরিভেটিভ। লক্ষ্য করুন, এই শব্দগুলো গতি বোঝাতে ব্যবহৃত হচ্ছে না।

পজিশন ত্রুটি

পজিশন ত্রুটি বোঝাতে ব্যবহৃত হয় পজিশন ত্রুটি ধ্রুবক $K_p$। এটি হল ইউনিট স্টেপ ইনপুট প্রদানের পর স্থির-অবস্থা ত্রুটির পরিমাণ। এর সংজ্ঞা: টেমপ্লেট:Eqn ::$K_p=\underset{s\to 0}{lim}G(s)$

যেখানে G(s) আমাদের সিস্টেমের ট্রান্সফার ফাংশন।

ভেলোসিটি ত্রুটি

র‍্যাম্প ইনপুট প্রদান করলে সিস্টেমের স্থির-অবস্থা ত্রুটি বোঝাতে ব্যবহৃত হয় ভেলোসিটি ত্রুটি ধ্রুবক: টেমপ্লেট:Eqn ::$K_v=\underset{s\to 0}{lim}sG(s)$

অ্যাকসেলারেশন ত্রুটি

প্যারাবলিক ইনপুট প্রদান করলে সিস্টেমের স্থির-অবস্থা ত্রুটি বোঝাতে ব্যবহৃত হয় অ্যাকসেলারেশন ত্রুটি ধ্রুবক: টেমপ্লেট:Eqn ::$K_a=\underset{s\to 0}{lim}{s}^{2}G(s)$

এই টেবিলটি সংক্ষেপে দেখায় সিস্টেম টাইপ, ইনপুট ধরণ (স্টেপ, র‍্যাম্প, প্যারাবলিক), এবং স্থির-অবস্থা ত্রুটির সম্পর্ক:

Z-ডোমেইন টাইপ

একইভাবে, আমরা দেখাতে পারি যে একটি সিস্টেমের অর্ডার নিচের সাধারণীকৃত ট্রান্সফার ফাংশন থেকে Z-ডোমেইনে নির্ধারণ করা যায়:

$G(z)=\frac{K\prod _i(z-z_i)}{(z-1{)}^M\prod _j(z-z_j)}$

এখানে ধ্রুবক M হলো ডিজিটাল সিস্টেমটির টাইপ। এখন, আমরা দেখাবো কীভাবে Z-ডোমেইনে বিভিন্ন ত্রুটি ধ্রুবক নির্ণয় করা যায়:

Error Constant	Equation
Kp	$K_p=\underset{z\to 1}{lim}G(z)$
Kv	$K_v=\underset{z\to 1}{lim}(z-1)G(z)$
Ka	$K_a=\underset{z\to 1}{lim}(z-1{)}^{2}G(z)$

দৃশ্যত

নিচে একটি চিত্র দেওয়া হয়েছে যা বিভিন্ন সিস্টেম মেট্রিকস প্রদর্শন করে, যা একটি সিস্টেমে স্টেপ ইনপুট দেওয়ার পর সিস্টেমটির প্রতিক্রিয়াকে নির্দেশ করে:

টার্গেট মান হলো ইনপুট স্টেপ প্রতিক্রিয়ার মান। রাইজ টাইম হলো সেই সময় যখন তরঙ্গরূপটি প্রথমবার টার্গেট মানে পৌঁছায়। ওভারশুট হলো যতটা পরিমাণে তরঙ্গরূপটি টার্গেট মানকে অতিক্রম করে। সেটলিং টাইম হলো সেই সময়কাল, যত সময়ে সিস্টেমটি একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ অঞ্চলের মধ্যে স্থিতিশীল হয়ে পড়ে। এই সীমাবদ্ধ অঞ্চলটি টার্গেট মানের উপরে ও নিচে দুটি ছোট ডটেড লাইনের দ্বারা নির্দেশিত।