নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/সিস্টেম শনাক্তকরণ

সিস্টেম

এক অর্থে, সিস্টেম হলো এমন যন্ত্র যা ইনপুট গ্রহণ করে এবং একটি আউটপুট প্রদান করে। একটি সিস্টেমকে ইনপুটের উপর ক্রিয়া করে আউটপুট উৎপন্ন করে বলে বিবেচনা করা যায়। আউটপুট এবং ইনপুটের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক থাকে, যাকে সিস্টেম প্রতিক্রিয়া বলা হয়। সিস্টেম প্রতিক্রিয়া সাধারণত ইনপুট ও আউটপুটের মধ্যে একটি গাণিতিক সম্পর্ক দিয়ে মডেল করা যায়।

সিস্টেমের বৈশিষ্ট্য

ভৌত সিস্টেমগুলোকে বিভিন্ন শ্রেণিতে ভাগ করা যায়, যেগুলো নির্দিষ্ট কিছু বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে গঠিত। এই শ্রেণিগুলোর মধ্যে কিছু সহজবোধ্য এবং বিশ্লেষণের জন্য সুপরিচিত তত্ত্বের ভিত্তি রয়েছে। কিছু শ্রেণি আবার এতটাই জটিল যে, এখনও সেগুলো তেমনভাবে বিশ্লেষণ করা যায়নি। একটি সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগুলি সঠিকভাবে নির্ধারণের মাধ্যমে উপযুক্ত বিশ্লেষণ ও নকশা সরঞ্জাম নির্বাচন করা সম্ভব।

এই বইয়ের প্রারম্ভিক অধ্যায়গুলো মূলত রৈখিক কাল-অপরিবর্তনশীল (LTI) সিস্টেমগুলোর ওপর কেন্দ্রীভূত থাকবে। LTI সিস্টেম হলো সবচেয়ে সহজ শ্রেণির সিস্টেম, এবং এগুলোর কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে যেগুলো অধ্যয়নের জন্য উপযোগী। এই অধ্যায়ে কিছু সিস্টেম বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে।

পরবর্তী অধ্যায়গুলোতে সময়-পরিবর্তনশীল এবং অরৈখিক সিস্টেম নিয়ে আলোচনা করা হবে। উভয়ই গবেষণার জটিল ক্ষেত্র, এবং বিশ্লেষণ করা তুলনামূলকভাবে কঠিন। দুর্ভাগ্যবশত, বাস্তব বিশ্বের বেশিরভাগ সিস্টেমই সময়-পরিবর্তনশীল, অরৈখিক, অথবা উভয়ই।

সিস্টেম শনাক্তকরণ ও লিস্ট স্কোয়ারস কৌশল নিয়ে প্রাথমিক আলোচনা এখানে পাওয়া যাবে। প্যারামিটার শনাক্তকরণ কৌশল নিয়ে আলোচনা এখানে পাওয়া যাবে।

প্রারম্ভিক সময়

একটি সিস্টেমের প্রারম্ভিক সময় হলো সেই সময়, যার আগে কোনো ইনপুট নেই। সাধারণত, বিশ্লেষণ সহজ করতে সিস্টেমের প্রারম্ভিক সময়কে শূন্য ধরা হয়। কিছু কৌশল, যেমন লাপ্লাস রূপান্তর, সিস্টেমের প্রারম্ভিক সময় শূন্য হওয়ার উপর নির্ভর করে। প্রারম্ভিক সময় সাধারণত t₀ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

কোনো চলকের মান যদি প্রারম্ভিক সময় t₀-এ নির্ধারিত হয়, তবে সেটিকে নিচেরভাবে প্রকাশ করা হয়:

$x(t_0)=x_0$

একইভাবে, যেকোনো t যার ধনাত্মক সাবস্ক্রিপ্ট আছে, তা t₀-এর পরে ঘটছে:

$t_0\le t_1\le t_2\le \cdots \le t_n$

অর্থাৎ, t₁ ঘটে t₀-এর পরে, এবং t₂ ঘটে উভয়ের পরে। অনুরূপভাবে, একটি চলক যার ধনাত্মক সাবস্ক্রিপ্ট আছে (যদি না সেটি কোনো ভেক্টরের ইনডেক্স না হয়), তা নির্দিষ্ট সেই সময়ে ঘটে:

$x(t_1)=x_1$

$x(t_2)=x_2$

এটি প্রতিটি t এর জন্য প্রযোজ্য।

যোগফলতা

যদি ইনপুটগুলোর যোগফল আউটপুটগুলোর যোগফল সৃষ্টি করে, তাহলে একটি সিস্টেমকে যোগফলযোগ্য বলা হয়। সংজ্ঞা অনুযায়ী: $x_3(t)=x_1(t)+x_2(t)$ হলে, $y_3(t)=y_1(t)+y_2(t)$ হবে। কোনো সিস্টেম যোগফলযোগ্য কিনা তা যাচাই করার জন্য নিচের পরীক্ষা করুন:

ধরা যাক f একটি সিস্টেম যা ইনপুট x নিয়ে আউটপুট y দেয়। যদি দুটি ইনপুট (x₁ ও x₂) দুটি আউটপুট দেয়:

$y_1=f(x_1)$

$y_2=f(x_2)$

এখন, ইনপুটের একটি যোগফল তৈরি করুন:

$x_3=x_1+x_2$

সিস্টেমটি যোগফলযোগ্য হবে যদি:

$y_3=f(x_3)=f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)=y_1+y_2$

এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত সিস্টেমগুলোকে যোগফলযোগ্য বলা হয়।

সমরূপতা

যদি কোনো ইনপুটকে একটি ধ্রুবক দ্বারা গুণ করলে আউটপুটও সেই ধ্রুবক দ্বারা গুণিত হয়, তাহলে সিস্টেমকে সমরূপ বলা হয়। সংজ্ঞা অনুযায়ী: $a{x}_1$ ইনপুট দিলে $a{y}_1$ আউটপুট পাওয়া যায়।

ধরা যাক:

$y=f(x)$

এবং $y_1=f(C{x}_1)$ যেখানে C হলো একটি ধ্রুবক।

$x_1=x$ ধরলে,

$y_1=f(Cx)=Cf(x)=Cy$ হলে সিস্টেমটি সমরূপ।

রৈখিকতা

একটি সিস্টেমকে রৈখিক বলা হয় যদি এটি যোগফলতা ও সমরূপতা উভয় বৈশিষ্ট্যই পূরণ করে। অন্যভাবে বলা যায়, যদি নিচের শর্ত পূরণ হয়:

$y_1=f(x_1)$, $y_2=f(x_2)$

$f(A{x}_1+B{x}_2)=Af(x_1)+Bf(x_2)=A{y}_1+B{y}_2$

এই শর্তকে সুপারপজিশন বলা হয়। যেসব সিস্টেম এই শর্ত পূরণ করে, সেগুলো রৈখিক।

মেমোরি

যদি সিস্টেমের আউটপুট পূর্ববর্তী (বা ভবিষ্যতের!) ইনপুটের উপর নির্ভর করে, তাহলে সেটিকে স্মৃতিযুক্ত বলা হয়। যদি শুধুমাত্র বর্তমান ইনপুটের উপর নির্ভর করে, তাহলে সেটিকে স্মৃতিবিহীন বলা হয়।

স্মৃতিযুক্ত সিস্টেমকে গতিশীল এবং স্মৃতিবিহীন সিস্টেমকে স্থিতিশীল বলা হয়।

কার্যকারণতা

কার্যকারণতা একটি বৈশিষ্ট্য যা মেমোরির সঙ্গে সম্পর্কিত। একটি সিস্টেমকে কার্যকারণসম্পন্ন বলা হয় যদি এটি শুধুমাত্র বর্তমান ও পূর্ববর্তী ইনপুটের উপর নির্ভর করে। যদি এটি শুধুমাত্র ভবিষ্যতের ইনপুটের উপর নির্ভর করে, তবে সেটি অকার্যকারণ।

সময়-অপরিবর্তনশীলতা

যদি ইনপুট ও আউটপুটের মধ্যকার সম্পর্ক সময়ের পরিবর্তনের উপর নির্ভর না করে, তাহলে সেটি সময়-অপরিবর্তনশীল। অর্থাৎ, যদি $x(t)$ ইনপুট $y(t)$ আউটপুট দেয়, তাহলে $x(t+\delta )$ ইনপুট $y(t+\delta )$ আউটপুট দেবে।

পরীক্ষা করতে:

$y(t)=f(x(t))$

$x_1(t)=x(t-\delta )$

$y_1(t)=f(x_1(t))$

যদি $y_1(t)=y(t-\delta )$, তাহলে সিস্টেমটি সময়-অপরিবর্তনশীল।

রৈখিক কাল-অপরিবর্তনশীল (LTI) সিস্টেম

যদি একটি সিস্টেম রৈখিক ও সময়-অপরিবর্তনশীল হয়, তাহলে সেটি LTI সিস্টেম। LTI সিস্টেম বিশ্লেষণে সহজ এবং এই বইয়ের প্রাথমিক অংশে মূলত এই শ্রেণি নিয়েই আলোচনা হবে।

বাস্তবে অধিকাংশ সিস্টেম LTI না হলেও, তাদের বিশ্লেষণ অনেক কঠিন।

লাম্পডনেস

কোনো সিস্টেমকে লাম্পড বলা হয় যদি নিম্নলিখিত দুটি শর্তের যেকোনো একটি পূরণ করে:

সিস্টেমটির একটি নির্দিষ্ট (সসীম) সংখ্যক স্টেট (অবস্থা) থাকে।

সিস্টেমটির একটি নির্দিষ্ট (সসীম) সংখ্যক স্টেট ভেরিয়েবল থাকে।

"স্টেট" এবং "স্টেট ভেরিয়েবল"-এর ধারণা তুলনামূলকভাবে উন্নত স্তরের, এবং এগুলো আধুনিক কন্ট্রোল আলোচনা করার সময় বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করা হবে।

যেসব সিস্টেম লাম্পড নয়, সেগুলোকে ডিস্ট্রিবিউটেড সিস্টেম বলা হয়। একটি সাধারণ ডিস্ট্রিবিউটেড সিস্টেমের উদাহরণ হলো একটি ডিলে বিশিষ্ট সিস্টেম, যেমন: $A(s)y(t)=B(s)u(t-\tau )$, যার একটি অসীম সংখ্যক স্টেট ভেরিয়েবল থাকে (এখানে $s$ লাপ্লাস ভেরিয়েবল নির্দেশ করে)। যদিও ডিস্ট্রিবিউটেড সিস্টেমগুলো বেশ প্রচলিত, এগুলোর বিশ্লেষণ বাস্তবে অত্যন্ত কঠিন, এবং এই ধরণের সিস্টেম নিয়ে কাজ করার জন্য খুব কম টুলস পাওয়া যায়। সৌভাগ্যবশত, অধিকাংশ ক্ষেত্রেই ডিলে প্যাডে প্রক্ষেপণ ব্যবহার করে যথেষ্ট পরিমাণে মডেল করা যায়। এই বইয়ে ডিস্ট্রিবিউটেড সিস্টেম নিয়ে বেশি আলোচনা করা হবে না।

রিল্যাক্সড

একটি সিস্টেমকে বলা হয় রিল্যাক্সড, যদি সিস্টেমটি কজুয়াল হয় এবং প্রারম্ভিক সময় $t_0$-তে সিস্টেমের আউটপুট শূন্য হয়, অর্থাৎ সিস্টেমে কোন সঞ্চিত শক্তি থাকে না। এই ক্ষেত্রে আউটপুট শুধুমাত্র পরবর্তীতে প্রয়োগকৃত ইনপুট দ্বারা উদ্দীপ্ত হয়।

$y(t_0)=f(x(t_0))=0$

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের পরিপ্রেক্ষিতে, একটি রিল্যাক্সড সিস্টেমকে বলা হয় যে তার "প্রাথমিক স্টেট শূন্য"। প্রাথমিক স্টেটবিহীন সিস্টেম নিয়ে কাজ করা তুলনামূলকভাবে সহজ, তবে যেসব সিস্টেম রিল্যাক্সড নয়, সেগুলোকে অনেক সময় আনুমানিকভাবে রিল্যাক্সড সিস্টেমে রূপান্তর করা যায়।

স্থিতিশীলতা

সিস্টেম বিশ্লেষণে স্থিতিশীলতা একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, তবে এটি প্রমাণ করা সবচেয়ে কঠিন গাণিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির একটি। স্থিতিশীলতার জন্য বিভিন্ন মানদণ্ড আছে, তবে সবচেয়ে প্রচলিত শর্ত হলো — সিস্টেমে একটি সসীম ইনপুট প্রয়োগ করলে, সিস্টেমের আউটপুটও সসীম হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনো নির্দিষ্ট সার্কিটে ইনপুট টার্মিনালে ৫ ভোল্ট প্রয়োগ করা হয়, তাহলে সর্বোত্তম হবে যদি সার্কিটের আউটপুট অসীমের দিকে না যায় এবং সার্কিটটি নিজেও গলে না যায় বা বিস্ফোরিত না হয়। এই ধরণের স্থিতিশীলতাকে বলা হয় "সীমাবদ্ধ ইনপুট, সীমাবদ্ধ আউটপুট" স্থিতিশীলতা, সংক্ষেপে BIBO।

স্থিতিশীলতার আরও কিছু ধরন আছে, যেগুলোর ভিত্তি সাধারণত BIBO স্থিতিশীলতার ধারণার উপর। স্থিতিশীলতা একটি গুরুত্বপূর্ণ এবং জটিল বিষয় হওয়ায়, এই পাঠ্যপুস্তকে একটি সম্পূর্ণ অধ্যায় এর উপর নিবেদিত থাকবে।

ইনপুট ও আউটপুট

সিস্টেমগুলোকে ইনপুট এবং আউটপুটের সংখ্যার ভিত্তিতে শ্রেণিবিন্যাস করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি টেলিভিশনকে একটি সিস্টেম হিসেবে বিবেচনা করা যাক। এতে দুটি ইনপুট থাকে: পাওয়ার তার এবং সিগনাল ক্যাবল। এবং একটি আউটপুট থাকে: ভিডিও ডিসপ্লে। যেসব সিস্টেমে একটি ইনপুট এবং একটি আউটপুট থাকে, সেগুলোকে বলা হয় সিঙ্গেল-ইনপুট, সিঙ্গেল-আউটপুট বা সংক্ষেপে SISO। যেসব সিস্টেমে একাধিক ইনপুট এবং একাধিক আউটপুট থাকে, সেগুলোকে বলা হয় মাল্টি-ইনপুট, মাল্টি-আউটপুট বা সংক্ষেপে MIMO।

এই ধরণের সিস্টেমগুলো সম্পর্কে পরে আরও বিস্তারিত আলোচনা করা হবে।