নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/স্বত্বমান ও স্বত্বভেক্টর

Eigenvalues and Eigenvectors

সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের ইজেনভ্যালু ও ইজেনভেক্টর সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া নির্ধারণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে। শুধুমাত্র বর্গাকৃতির (square) ম্যাট্রিক্সেরই ইজেনভ্যালু ও ইজেনভেক্টর থাকতে পারে। অসামান্য (non-square) ম্যাট্রিক্স এই পদ্ধতিতে বিশ্লেষণ করা যায় না।

"Eigen" শব্দটি জার্মান ভাষা থেকে এসেছে, যার অর্থ "নিজস্ব" বা "স্বতন্ত্র"। তাই এই অধ্যায়টিকে "Characteristic values and characteristic vectors" বলাও যায়। তবে সাধারণভাবে "Eigenvalues" ও "Eigenvectors" পরিভাষাগুলোই বেশি ব্যবহৃত হয়। ইজেনভ্যালু ও ইজেনভেক্টরের অনেক গুণাবলি আছে যা বিশ্লেষণে খুবই কার্যকর, এবং এগুলোর উৎস ম্যাট্রিক্সের সঙ্গেও কিছু গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক থাকে। সিস্টেম ম্যাট্রিক্স বিশ্লেষণের সময় ইজেনভ্যালু ও ইজেনভেক্টর নির্ণয় করাটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ, ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল নির্ণয়ের পরেই।

সিস্টেমের ইজেনভ্যালু ও ইজেনভেক্টর দ্বারা নির্ধারিত হয় বিভিন্ন স্টেট ভেরিয়েবল (x ভেক্টরের সদস্যরা), ইনপুটের প্রতিক্রিয়া এবং সিস্টেমের স্থিতিশীলতা। এ ছাড়া, ইজেনভ্যালু ও ইজেনভেক্টর ব্যবহার করে স্পেকট্রাল ডিকম্পোজিশনের মাধ্যমে ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়ালও নির্ণয় করা যায়। এই অধ্যায়ের বাকি অংশে এই বিষয়গুলোর বিস্তারিত আলোচনা থাকবে।

Characteristic Equation

সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A-এর ক্যারেক্টারিস্টিক সমীকরণ হচ্ছে: টেমপ্লেট:Eqn

$Av=\lambda v$

এখানে λ হলো স্কেলার ভ্যালু, যাকে eigenvalues বলা হয়, এবং v হলো সংশ্লিষ্ট eigenvectors। ইজেনভ্যালু নির্ণয়ের জন্য নিচের নির্ণায়ক (determinant) নিতে হয়:

$|A-\lambda I|=0$

এরপর ইজেনভেক্টর নির্ণয়ের জন্য নিচের সমীকরণটি ব্যবহার করা হয়:

$(A-\lambda I)v=0$

আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ ভ্যালু হলো left eigenvectors, যা w দ্বারা চিহ্নিত, এবং সংশোধিত ক্যারেক্টারিস্টিক সমীকরণ থেকে পাওয়া যায়: টেমপ্লেট:Eqn

$wA=\lambda w$

ইজেনভ্যালু, ইজেনভেক্টর এবং লেফট ইজেনভেক্টর সম্পর্কে আরও জানতে নিচের বইগুলো দেখুন:

• Linear Algebra
• Engineering Analysis

Diagonalization

যদি A ম্যাট্রিক্সের সম্পূর্ণ স্বতন্ত্র ইজেনভ্যালু থাকে, তবে একে diagonalize করা যায়। ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সে কেবল মূল কর্ণে (diagonal) মান থাকে, বাকিগুলো শূন্য। একটি transformation matrix, T সংজ্ঞায়িত করা হয় যা নিচের সম্পর্কটি মেনে চলে:

$A=TD{T}^{-1}$

এটি নিচের সম্পর্কও মেনে চলে:

$e^{At}=T{e}^{Dt}{T}^{-1}$

যদিও ডানপাশের সমীকরণ দেখতে জটিল, কিন্তু যেহেতু D এখানে একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স, তাই হিসাব অনেক সহজ হয়।

ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স ও তার ইনভার্সকে ইজেনভেক্টর ও লেফট ইজেনভেক্টর দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা যায়:

$T=\left[\begin{array}{ccccc}{v}_1& v_2& v_3& \cdots & v_n\end{array}\right]$

$T^{-1}=\left[\begin{array}{c}{w_1}^{\prime }\\ {w_2}^{\prime }\\ {w_3}^{\prime }\\ ⋮\\ {w_n}^{\prime }\end{array}\right]$

Diagonalization বিষয়ে আমরা পরে আরও আলোচনা করব।

Exponential Matrix Decomposition

ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়ালকে ইজেনভ্যালু, ইজেনভেক্টর এবং লেফট ইজেনভেক্টরের সমষ্টিতে বিভাজন করা যায়:

$e^{At}=\sum _{i=1}^n{e}^{{\lambda }_{i}t}{v}_i{w_i}^{\prime }$

এই সমীকরণটি কেবল তখনই প্রযোজ্য, যখন ম্যাট্রিক্স A-এর সম্পূর্ণ স্বতন্ত্র n টি ইজেনভ্যালু থাকে। যেহেতু w'_i একটি রো ভেক্টর এবং x(0) হলো প্রাথমিক অবস্থার কলাম ভেক্টর, তাই এদের গুণফল একটি স্কেলার গুণাঙ্ক α হিসেবে ধরা যায়:

$e^{At}x(t_0)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{e}^{{\lambda }_{i}t}{v}_i$

স্টেট ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স যেহেতু ইনপুটে সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া নির্ধারণ করে, তাই ইজেনভ্যালু ও ইজেনভেক্টর সিস্টেম প্রতিক্রিয়ার মূল অংশ। এখন আমরা এই বিভাজনকে স্টেট ইকুয়েশনের সাধারণ সমাধানে বসিয়ে দিই:

$x(t)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{e}^{{\lambda }_{i}t}{v}_i+\sum _{i=1}^n{\int }_0^t{e}^{{\lambda }_i(t-\tau )}{v}_i{w_i}^{\prime }Bu(\tau )d\tau$

এই সমীকরণটি আমরা পরবর্তী অংশে বিস্তারিত আলোচনা করব।

State Relationship

উপরের সমীকরণ থেকে দেখা যায়, স্টেট ভেক্টর x(t)-এর প্রতিটি উপাদান ইচ্ছেমতো মান নিতে পারে না, বরং সেগুলো সিস্টেমের ডানদিকের ইজেনভেক্টরের ওজনযুক্ত গুণফলের মাধ্যমে সম্পর্কযুক্ত।

Decoupling

যদি এমনভাবে সিস্টেম ডিজাইন করা যায় যাতে নিচের সম্পর্কটি মিলে:

${w_i}^{\prime }B=0$

তাহলে ঐ নির্দিষ্ট ইজেনভ্যালু থেকে সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া ইনপুট u দ্বারা প্রভাবিত হবে না। তখন বলা যায় সিস্টেমটি decoupled হয়েছে। যদিও বাস্তবে এটি করা কঠিন।

Condition Number

প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের সঙ্গে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা সম্পর্কিত থাকে, যাকে সেই ম্যাট্রিক্সের condition number বলা হয়। এটি ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে অনেক তথ্য দেয়। কন্ডিশন নাম্বার, k সংজ্ঞায়িত করা হয়:

$k=\frac{\Vert w_i\Vert \Vert v_i\Vert }{|{w_i}^{\prime }{v}_i|}$

ছোট কন্ডিশন নাম্বার যুক্ত সিস্টেমগুলো ভাল কারণ:

1. বড় কন্ডিশন নাম্বার সিস্টেমে বড় ট্রানজিয়েন্ট প্রতিক্রিয়া সৃষ্টি করে
2. বড় কন্ডিশন নাম্বার থাকলে ইজেনভ্যালু খুব সহজেই পরিবর্তিত হতে পারে

Eigenvalue sensitivity বিষয়ে আমরা পরে বিস্তারিত আলোচনা করব।

Stability

আমরা স্থিতিশীলতা নিয়ে পরে আরও বিশদ আলোচনা করব, কিন্তু এখন একটা সহজ বিষয় বলার সময় এসেছে। যদি সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A-এর ইজেনভ্যালু ধনাত্মক হয়, অথবা যদি তারা জটিল হয় তবে তাদের বাস্তব অংশ ধনাত্মক হয়, তাহলে সিস্টেমের স্টেট (এবং আউটপুট, যা C ম্যাট্রিক্স দ্বারা নির্ধারিত) সময়ের সঙ্গে অসীমের দিকে যাবে। অর্থাৎ, ইজেনভ্যালু যদি ধনাত্মক হয়, তাহলে সিস্টেম BIBO stability পূরণ করবে না এবং unstable হবে।

আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, বাস্তবে তৈরি করা কোনো সিস্টেম কখনোই সঠিকভাবে গাণিতিক মডেলের সঙ্গে মেলে না। সব উপাদানে নির্দিষ্ট পরিমাণ সহনশীলতা (tolerance) থাকে। ফলে, সিস্টেম ম্যাট্রিক্স গাণিতিক মডেল থেকে কিছুটা ভিন্ন হয় এবং তাই ইজেনভ্যালু ও ইজেনভেক্টরও কিছুটা ভিন্ন হয়। এর ফলে কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিষয় ঘটে:

1. উচ্চ কন্ডিশন নাম্বারযুক্ত সিস্টেমে ইজেনভ্যালুগুলো গাণিতিক মডেলের থেকে অনেকটা ভিন্ন হতে পারে। ফলে বাস্তব সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া প্রত্যাশিত প্রতিক্রিয়া থেকে ভিন্ন হতে পারে।
2. উচ্চ কন্ডিশন নাম্বারযুক্ত সিস্টেম কেবল উপাদানের অল্প ত্রুটির কারণেই unstable হয়ে যেতে পারে।

এই কারণে সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের ইজেনভ্যালু ও কন্ডিশন নাম্বার সিস্টেম বিশ্লেষণ ও ডিজাইনের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

Non-Unique Eigenvalues

উপরের ডিকম্পোজিশন কেবল তখনই কাজ করে, যখন A ম্যাট্রিক্সের সম্পূর্ণ ভিন্ন n টি ইজেনভ্যালু থাকে। যদি A ম্যাট্রিক্সে n টি স্বতন্ত্র ইজেনভেক্টর না থাকে, তাহলে generalized eigenvectors ব্যবহার করতে হয়। এগুলো ব্যবহারে ম্যাট্রিক্সটি ডায়াগোনাল না হয়ে Jordan canonical form এ রূপান্তর হয়।

সমতুল্য রূপান্তরসমূহ

যদি আমাদের একটি অ-সিঙ্গুলার n × n ম্যাট্রিক্স P থাকে, তাহলে আমরা একটি রূপান্তরিত ভেক্টর "x বার" সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$\overline{x}=Px$

আমরা সম্পূর্ণ স্টেট-স্পেস সমীকরণ সেটকে নিম্নরূপ রূপান্তর করতে পারি:

${\overline{x}}^{\prime }(t)=\overline{A}\overline{x}(t)+\overline{B}u(t)$

$\overline{y}(t)=\overline{C}\overline{x}(t)+\overline{D}u(t)$

যেখানে:

$\overline{A}=PA{P}^{-1}$

$\overline{B}=PB$

$\overline{C}=C{P}^{-1}$

$\overline{D}=D$

আমরা ম্যাট্রিক্স P কে এই দুই সেট সমীকরণের মধ্যে সমতুল্য রূপান্তর বলি।

গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, ম্যাট্রিক্স A-এর ইজেনভ্যালু (যা সিস্টেমের জন্য প্রাথমিক গুরুত্ব বহন করে) সমতুল্য রূপান্তরের অধীনে পরিবর্তিত হয় না। A-এর ইজেনভেক্টর এবং $\overline{A}$-এর ইজেনভেক্টরগুলি ম্যাট্রিক্স P দ্বারা সম্পর্কিত।

লিয়াপুনভ রূপান্তরসমূহ

যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ হয়, তাহলে রূপান্তর ম্যাট্রিক্স P কে লিয়াপুনভ রূপান্তর বলা হয়:

• P(t) অ-সিঙ্গুলার।
• P(t) এবং P'(t) ধারাবাহিক।
• P(t) এবং বিপরীত রূপান্তর ম্যাট্রিক্স P^{-1}(t) সব t-এর জন্য সসীম।

যদি একটি সিস্টেম টাইম-ভ্যারিয়েন্ট হয়, তাহলে প্রায়ই একটি লিয়াপুনভ রূপান্তর ব্যবহার করে সিস্টেমকে একটি সমতুল্য সিস্টেমে রূপান্তর করা উপকারী হয় যার A ম্যাট্রিক্স ধ্রুবক। এটি সাধারণভাবে সবসময় সম্ভব নয়, তবে যদি A(t) ম্যাট্রিক্স পর্যায়ক্রমিক হয়, তাহলে এটি সম্ভব।

সিস্টেম ডায়াগোনালাইজেশন

যদি A ম্যাট্রিক্স টাইম-ইনভ্যারিয়েন্ট হয়, তাহলে আমরা A-এর ইজেনভেক্টরগুলি থেকে V ম্যাট্রিক্স নির্মাণ করতে পারি। V ম্যাট্রিক্সটি A ম্যাট্রিক্সকে একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করতে ব্যবহার করা যায়। আমাদের নতুন সিস্টেম হয়ে যায়:

$V{x}^{\prime }(t)=VA{V}^{-1}Vx(t)+VBu(t)$

$y(t)=C{V}^{-1}Vx(t)+Du(t)$

যেহেতু আমাদের সিস্টেম ম্যাট্রিক্স এখন ডায়াগোনাল (অথবা জর্ডান ক্যানোনিক্যাল), স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্সের গণনা সহজতর হয়:

$e^{VA{V}^{-1}}=\mathrm{\Lambda }$

যেখানে Λ একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স।

MATLAB রূপান্তরসমূহ

MATLAB ফাংশন ss2ss একটি সিস্টেমে সমতুল্য রূপান্তর প্রয়োগ করতে ব্যবহার করা যায়। যদি আমাদের A, B, C এবং D ম্যাট্রিক্সের একটি সেট থাকে, তাহলে আমরা নিম্নরূপ সমতুল্য ম্যাট্রিক্সগুলি তৈরি করতে পারি:

[Ap, Bp, Cp, Dp] = ss2ss(A, B, C, D, p);

যেখানে p সমতুল্য রূপান্তর ম্যাট্রিক্স।