পরমাণু চিকিৎসায় মৌলিক পদার্থবিজ্ঞান/ডিকনভোলিউশন বিশ্লেষণ

ভূমিকা

নিউক্লিয়ার মেডিসিন রেনোগ্রাম হলো একটি পেরিফেরাল শিরায় রেডিওট্রেসার ইনজেকশন দেওয়ার পর তার প্রতি প্রতিটি কিডনির প্রতিক্রিয়ার বহিঃপ্রকাশ। কিডনিতে ট্রেসারের পৌঁছানোর প্রক্রিয়াটি সময়ের সাথে সাথে বিস্তৃত হয়, তাই এর তাৎক্ষণিক প্রতিক্রিয়া সরাসরি পরিমাপ করা যায় না। ডিকনভোলিউশন বিশ্লেষণ হলো এমন একটি পদ্ধতি যা রেনোগ্রাম থেকে এই তাৎক্ষণিক প্রতিক্রিয়া নির্ণয় করতে সাহায্য করে, যার ফলে একই রোগীর বা বিভিন্ন রোগীর কিডনির কার্যকারিতা আরও নির্ভরযোগ্যভাবে তুলনা করা সম্ভব হয়।

রেনোগ্রাফি

রেনোগ্রাফি-তে ব্যাকগ্রাউন্ড-সংশোধিত কার্ভ বা রেখাচিত্রগুলো নির্দেশ করে যে সময়ের সাথে সাথে প্রতিটি কিডনিতে ট্রেসারের পরিমাণ কীভাবে পরিবর্তিত হচ্ছে। এর পাশাপাশি, প্রতিটি রেখার আকৃতি ট্রেসারের নিম্নলিখিত হারের ওপর নির্ভর করে:

• রেনাল আর্টারিয়াল সিস্টেম বা বৃক্কীয় ধমনী তন্ত্রের মাধ্যমে কিডনিতে প্রবেশ করা, এবং
• ইউরেটার বা মূত্রনালীর মাধ্যমে কিডনি থেকে বের হয়ে যাওয়া।

কিডনিতে ট্রেসার প্রবেশের হারকে ইনপুট রেট বা প্রবেশ হার বলা হয়, যা I(t) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এটি নিম্নলিখিত বিষয়গুলোর ওপর নির্ভরশীল:

• রেনাল আর্টারিতে ট্রেসারের প্লাজমা ঘনত্ব, P(t),
• কিডনি দ্বারা প্লাজমা থেকে ট্রেসার নিষ্কাশনের হার।

যেসব ট্রেসার প্লাজমা থেকে দ্রুত নিষ্কাশিত হয় (যেমন: OIH, MAG3), সেগুলোর ক্ষেত্রে নিষ্কাশনের হার কার্যকর রেনাল প্লাজমা প্রবাহ (ERPF)-এর ওপর নির্ভর করে, যার সমীকরণ:

I(t) = (ERPF) P(t)

।

গ্লোমেরুলার ফিল্ট্রেশন বা ছাঁকন প্রক্রিয়ার মাধ্যমে নিষ্কাশিত ট্রেসারের ক্ষেত্রে (যেমন: DTPA), নিষ্কাশনের হার গ্লোমেরুলার ফিল্ট্রেশন রেট (GFR)-এর ওপর নির্ভর করে, যার সমীকরণ:

I(t) = (GFR) P(t)

।

সময়ের সাথে প্লাজমা ঘনত্বের পরিবর্তন, P(t), শুরুতে একটি স্পাইক বা আকস্মিক বৃদ্ধি প্রদর্শন করে, যার বিস্তার ও স্থায়িত্ব নির্ভর করে:

• ইনজেকশনের গতি বা হারের ওপর,
• ইনজেকশনের স্থানের ওপর, এবং
• রক্তে ট্রেসার মিশে যাওয়ার হারের ওপর।

এই প্রাথমিক স্পাইকের পর, প্লাজমা ঘনত্ব, P(t), সময়ের সাথে সাথে দ্বি-ঘাতীয় সূচকীয় নিয়মে (bi-exponentially) হ্রাস পায়, যা নির্ভর করে:

• এক্সট্রাভাসকুলার স্পেস বা রক্তনালীর বাইরের অংশের সাথে বিনিময়ের হারের ওপর, এবং
• কিডনি দ্বারা ট্রেসার গ্রহণের ওপর।

তাই, প্লাজমা ঘনত্ব, P(t), এমন কিছু বিষয়ের ওপর নির্ভরশীল যা সরাসরি কিডনির কার্যকারিতার সাথে সম্পর্কিত নয়। ফলস্বরূপ, বিভিন্ন রোগীর রেনোগ্রাম বা একই রোগীর ভিন্ন ভিন্ন সময়ের রেনোগ্রাম সরাসরি তুলনা করা কঠিন হতে পারে।

একটি আদর্শ রেনোগ্রাম

যদি কিডনিতে সরাসরি একটি আদর্শ ট্রেসার ইনজেকশন দেওয়া যেত, তবে একটি আদর্শ রেনোগ্রাম পাওয়া সম্ভব হতো। তাত্ত্বিকভাবে, এই ধরনের আদর্শ ইনজেকশনের ইনপুট রেট, I(t), একটি ডেল্টা ফাংশন গঠন করবে, যাকে ইম্পালস ইনপুট বলা হয়।

এর ফলে প্রাপ্ত আদর্শ রেনোগ্রামটিকে কিডনির ইম্পালস রেসপন্স বা আবেগ প্রতিক্রিয়া বলা হয়, যা H(t) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

বাস্তবে, একটি অনাদর্শ ইনপুট রেটের বিপরীতে কিডনির প্রতিক্রিয়া পরিমাপ করা হয়। এই বাস্তব প্রতিক্রিয়া, R(t)-কে প্রকৃত ইনপুট রেট এবং কিডনির ইম্পালস রেসপন্সের একটি কনভোলিউশন বা সংমিশ্রণ হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে:

R(t) = I(t) * H(t)।

R(t) এবং I(t) পরিমাপের ভিত্তিতে H(t) নির্ধারণ করার প্রক্রিয়াকে ডিকনভোলিউশন বলা হয়। অন্যভাবে বলতে গেলে, রেনোগ্রাম কার্ভের ডিকনভোলিউশন একটি আদর্শ ইনজেকশনের প্রতি কিডনির প্রতিক্রিয়া কেমন হতো তা নির্ধারণ করতে সাহায্য করে। ফলস্বরূপ, রোগীদের নিজেদের মধ্যে এবং পারস্পরিক তুলনার ক্ষেত্রে আরও উন্নত ফলাফল পাওয়া যায়—অন্তত তাত্ত্বিকভাবে!

কনভোলিউশন

ডিকনভোলিউশন বিশ্লেষণ আলোচনা করার আগে, আমরা প্রথমে কনভোলিউশন প্রক্রিয়াটি বিবেচনা করব।

নিচের চিত্রে দেখানো একটি কিডনির অত্যন্ত সরলীকৃত মডেলটি লক্ষ্য করুন। এই রেনাল মডেলে ধরে নেওয়া হয়েছে যে কিডনিতে চারটি পথ রয়েছে, যার মধ্য দিয়ে ট্রেসার সমানভাবে প্রবাহিত হয়। ধরা যাক, সবচেয়ে ছোট পথটি দিয়ে ট্রেসার পার হতে ৩ মিনিট সময় লাগে, সবচেয়ে দীর্ঘ পথটির জন্য ৬ মিনিট সময় লাগে—এবং অন্য দুটি পথের জন্য যথাক্রমে ৪ ও ৫ মিনিট সময় লাগে।

একটি কাল্পনিক কিডনির চিত্রগ্রহণে গামা ক্যামেরার ভূমিকার চিত্রায়ণ।

যখন এই মডেলে ইনপুট হিসেবে একটি [[../Fourier Methods#The Dirac Delta Function|ডেল্টা ফাংশন]], I, দেওয়া হয়, তখন কিডনির প্রতিক্রিয়া ইম্পালস রেসপন্স, H দ্বারা প্রকাশিত হবে, যা উপরে দেখানো হয়েছে। মডেলটির মধ্য দিয়ে ট্রেসারের সময়ের গতিপথ বিবেচনা করে ইম্পালস রেসপন্সের রূপটি বোঝা যেতে পারে:

• ইম্পালস ইনজেকশনের পরের প্রথম তিন মিনিটে ইম্পালস রেসপন্স, H-এর মান ১-এর সমান হবে, কারণ ইনপুটের সমস্ত ট্রেসার গামা ক্যামেরার দৃশ্যক্ষেত্রের মধ্যেই থাকে।
• ৪র্থ মিনিটে ট্রেসারের পরিমাণ কমে যাবে কারণ এর ২৫% সবচেয়ে ছোট পথটি অতিক্রম করে দৃশ্যক্ষেত্রের বাইরে চলে যাবে, ফলে H-এর মান কমে ০.৭৫ হবে।
• একইভাবে, ৫ম মিনিটে এটি কমে ০.৫ হবে।
• এবং অবশেষে ৬ষ্ঠ মিনিটে ০.২৫ এবং ৭ম মিনিটে শূন্য হবে।

এখানে লক্ষ্যণীয় গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হলো, ইম্পালস রেসপন্স ফাংশনের এই হ্রাস পাওয়া প্রতিটি পথের ট্রানজিট টাইম বা অতিক্রমণের সময় সম্পর্কে তথ্য দেয়। এই হ্রাস পাওয়ার বৈশিষ্ট্যটিকে গড় ট্রানজিট সময় এবং সর্বোচ্চ ট্রানজিট সময় দ্বারা চিহ্নিত করা যায়।

উল্লেখ্য যে, এই সাধারণ মডেলটিকে তাত্ত্বিকভাবে আরও অসংখ্য পথের সমন্বয়ে বর্ধিত করা সম্ভব, যা বাস্তব কিডনির প্রতিক্রিয়ার আরও নিখুঁত চিত্র তুলে ধরবে। এই ধরনের মডেলিং রেনাল প্যারেনকাইমা, রেনাল পেলভিস এবং সম্পূর্ণ কিডনির জন্য আলাদাভাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

দুর্ভাগ্যবশত, বাস্তবে আদর্শ ইম্পালস ইনপুট তৈরি করা প্রায় অসম্ভব—কেবল রেনাল আর্টারিতে বোলাস ইনজেকশন দেওয়ার ক্ষেত্রটি ছাড়া! তবুও, নিচের চিত্রের মতো একটি অনাদর্শ ইনজেকশনের প্রভাব অন্তর্ভুক্ত করার জন্য উপরের ভাবনাটিকে কিছুটা পরিবর্তন করা যেতে পারে:

একটি অনাদর্শ ইনপুটের প্রতিক্রিয়ার চিত্রায়ণ।

এখানে আমাদের অত্যন্ত সরলীকৃত রেনাল মডেলে ইনপুটটি কোনো আদেশ ইম্পালস ইনজেকশন নয়, বরং এটি সময়ের সাথে সাথে বিস্তৃত, যার ফলে ট্রেসারের পরিমাণ সূচকীয় নিয়মে হ্রাস পায়। যখন ধরে নেওয়া হয় যে একটির পর একটি ইম্পালস ইনপুটের বিপরীতে সম্পূর্ণ কিডনির প্রতিক্রিয়া হলো প্রতিটি ইম্পালসের আলাদা আলাদা প্রতিক্রিয়ার সমষ্টি, তখন আমরা অনুমান করতে পারি যে:

$R_1=I_1{H}_{1}Dt$

$R_2=(I_1{H}_2+I_2{H}_1)Dt$

$R_3=(I_1{H}_3+I_2{H}_2+I_3{H}_1)Dt$

$R_4=(I_1{H}_4+I_2{H}_3+I_3{H}_2+I_4{H}_1)Dt$

ইত্যাদি ইত্যাদি

যেখানে Dt হলো ট্রেসারের পরিমাণ পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত সময় ব্যবধান।

সুতরাং, সাধারণভাবে:

$R_i=\sum _{j=1}^i{I}_j{H}_{i-j+1}\mathrm{\Delta }t$

যেখানে i = ১, ২, ৩, ৪, .....

এই সম্পর্কটিকে বিচ্ছিন্ন ফাংশনের পরিবর্তে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করলে আমরা যা পাই তাকে কনভোলিউশন ইন্টিগ্রাল বলা হয়:

$R(t)={\int }_0^{t}I(\tau )H(t-\tau )d\tau$

যা সাধারণত এইভাবে লেখা হয়:

$R(t)=I(t)\cdot H(t)$

অন্য কথায়, বাস্তব রেনোগ্রাম কার্ভ, R(t), একটি বাস্তব ইনপুট ফাংশন, I(t)-এর সাথে আদর্শ রেনোগ্রাম কার্ভ, H(t)-এর কনভোলিউশনের ফলাফল হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

এইমাত্র বর্ণিত মডেলটি এমন একটি ব্যবস্থার উদাহরণ যাকে প্রায়শই লিনিয়ার সিস্টেম বা রৈখিক ব্যবস্থা বলা হয়। অর্থাৎ, এটি এমন একটি ব্যবস্থা যেখানে ধারাবাহিক ইম্পালস ইনপুটের মোট প্রতিক্রিয়া হলো প্রতিটি ইম্পালসের পৃথক পৃথক প্রতিক্রিয়ার সমষ্টি। একটি রৈখিক ব্যবস্থা আরও ধরে নেয় যে পরিমাপের সময় পুরো ব্যবস্থায় ট্রেসারের প্রবাহ স্থির থাকে, অর্থাৎ ব্যবস্থাটিকে স্টেশনারি বা অপরিবর্তনশীল ধরা হয়। অন্য কথায়, রেনোগ্রাফির ক্ষেত্রে ধরে নেওয়া হয় যে পরীক্ষা চলাকালীন রেনাল ক্লিয়ারেন্স রেট (বৃক্কীয় নিষ্কাশন হার) এবং মূত্র প্রবাহের হার স্থির থাকে। রেনোগ্রামের প্রাথমিক পর্যায়ের পর রেনাল ক্লিয়ারেন্স স্থির থাকে বলে ধরে নেওয়া যেতে পারে, কারণ ব্যবহৃত ট্রেসারের সামান্য পরিমাণ (সেটি O¹²³IH, ^99mTc-MAG3 বা ^99mTc-DTPA যাই হোক না কেন) কিডনির কার্যকারিতাকে প্রভাবিত করে না। তবে মূত্র প্রবাহের হারের ক্ষেত্রে একই কথা বলা যায় না, কারণ রেনাল পেলভিস থেকে মূত্র নিষ্কাশন প্রায়শই একটি অবিচ্ছিন্ন প্রবাহের পরিবর্তে 'ঝলক' বা সাময়িক বেগে ঘটতে দেখা যায়। লক্ষণীয় যে, এই অপরিবর্তনশীলতার অভাব ডিকনভোলিউশন বিশ্লেষণ প্রয়োগের ক্ষেত্রে বড় ধরনের সমস্যা তৈরি করতে পারে।

ডিকনভোলিউশন

ডিকনভোলিউশন হলো একটি গাণিতিক প্রক্রিয়া যা I এবং R-এর পরিমাপ থেকে H নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়। রেনোগ্রাফিতে ব্যবহৃত ডিকনভোলিউশন কৌশলগুলোর মধ্যে রয়েছে:

• ম্যাট্রিক্স ইনভার্সন - যেখানে কনভোলিউশন ইন্টিগ্রালকে ম্যাট্রিক্স আকারে এভাবে প্রকাশ করা হয়:

$R=I\cdot HDt$

যা সমাধান করে পাওয়া যায়:

$H=\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}{I}^{-1}\cdot R$

যেখানে I^-1 হলো ম্যাট্রিক্স I-এর বিপরীত বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্স।

• ফুরিয়ার ট্রান্সফরমেশন - যেখানে কনভোলিউশন ইন্টিগ্রালের [[../Fourier_Methods#Fourier_Transform|ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম]] (FT) গণনা করা হয়, অর্থাৎ:

$FT[R(t)]=FT[I(t)]\cdot FT[H(t)]$

H(t) নির্ধারণ করা যেতে পারে এখান থেকে:

$H(t)=IFT\left[\frac{FT[R(t)]}{FT[I(t)]}\right]$

অর্থাৎ, R(t)-এর ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মকে I(t)-এর ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম দ্বারা ভাগ করে, প্রাপ্ত ফলাফলের ইনভার্স ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (IFT) গণনা করার মাধ্যমে।

এই দুটি কৌশলই পরিমাপের পরিসংখ্যানগত ওঠানামার প্রতি অত্যন্ত সংবেদনশীল, এবং তাই সাধারণত ফুরিয়ার ট্রান্সফরমেশনের আগে R(t) এবং I(t)-এর পরিমাপকৃত কার্ভগুলোকে মসৃণ বা স্মুথ করে নেওয়া হয়।

চিকিৎসা ক্ষেত্রে, একটি ব্যাকগ্রাউন্ড-সংশোধিত রেনোগ্রাম কার্ভকে R(t) হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে, এবং হৃদপিণ্ডের মতো একটি ভাস্কুলার রিজিওন অব ইন্টারেস্ট (RoI)-কে I(t)-এর পরিমাপ হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে। ডিকনভোলিউশনের পর প্রাপ্ত ইম্পালস রেসপন্স, H(t), নিচের চিত্রের মতো একটি রূপ ধারণ করে:

ডিকনভোলিউশন রেনোগ্রাফি ব্যবহার করে প্রাপ্ত ইম্পালস রেসপন্সের সাধারণ রূপ।

H₀ হলো t = ০ সময়ে ইম্পালস রেসপন্স, এবং এটি কিডনি আপটেক কনস্ট্যান্ট বা কিডনি দ্বারা ট্রেসার গ্রহণের ধ্রুবকের সমান বলে দেখানো যেতে পারে। কিডনির মধ্য দিয়ে ট্রেসার পার হতে যে সময় লাগে তার সূচকগুলোর মধ্যে সর্বনিম্ন, গড় ও সর্বোচ্চ ট্রানজিট সময় এবং ট্রানজিট সময়ের ব্যাপ্তি অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে। H(t)-এর ব্যবকলন বা ডিফারেনশিয়েশন করে একটি ট্রানজিট টাইম স্পেকট্রাম তৈরি করাও সম্ভব।

সবশেষে, এটি উল্লেখ করা প্রয়োজন যে ডিকনভোলিউশন বিশ্লেষণে ব্যাকগ্রাউন্ড-বিয়োগকৃত রেনোগ্রাম কঠোরভাবে আবশ্যক নয়, এবং সরাসরি মূল রেনোগ্রাম কার্ভ ব্যবহার করা যেতে পারে। এর কারণটি স্পষ্ট হয় যখন আমরা বিবেচনা করি যে মূল ডেটা থেকে পরিমাপ করা সামগ্রিক প্রতিক্রিয়া ফাংশনটি কিডনির প্রতিক্রিয়া ফাংশন এবং টিস্যু প্রতিক্রিয়া ফাংশনের সমষ্টি থেকে উদ্ভূত হয়, যেমনটি নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে:

কিডনি এবং টিস্যু প্রতিক্রিয়া ফাংশনের সমষ্টির চিত্রায়ণ।

সম্মিলিত প্রতিক্রিয়া ফাংশন থেকেও রেনাল ট্রানজিট সময় পাওয়া সম্ভব, এবং দেখা যায় যে এক্সট্রাপোলেশন বা বহির্পাতন পদ্ধতির মাধ্যমে আপটেক কনস্ট্যান্ট নির্ধারণ করা যেতে পারে।