প্রকৌশল শব্দবিজ্ঞান/কার্টেসীয় স্থানাঙ্কে শব্দতরঙ্গ সমাধান

এক মাত্রিক অ্যাকোস্টিক তরঙ্গ সমীকরণটি নিম্নলিখিত দ্বিতীয় ক্রম আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে।

$\frac{{\partial }^{2}P}{\partial x^2}=\frac{1}{C_o^2}\frac{{\partial }^{2}P}{\partial t^2}$

এটি ফুরিয়ার পদ্ধতি নামেও পরিচিত চলকগুলির পৃথকীকরণ ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। ধরুন চাপ হল একটি ফাংশনের গুণফল যা কেবল স্থানের উপর নির্ভরশীল এবং অন্য একটি ফাংশনের গুণফল যা কেবল সময়ের উপর নির্ভরশীল।

$P(x,t)=X(x)T(t)$

তরঙ্গ সমীকরণে পুনরায় প্রতিস্থাপন

$X^{″}T=\frac{1}{C_o^2}X{T}^{″}$

$\frac{X^{″}}{X}=\frac{1}{C_o^2}\frac{T^{″}}{T}=-{\lambda }^2$

এই প্রতিস্থাপন দুটি সমজাতীয় দ্বিতীয় ক্রম সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তৈরি করে, একটি সময়ে এবং একটি স্থানে।

$T^{″}+C_o^2{\lambda }^{2}T=0$

$X^{″}+{\lambda }^{2}X=0$

সময় ফাংশনটি তরঙ্গের কৌণিক কম্পাঙ্কের উপর নির্ভরশীল বলে আশা করা হচ্ছে।

$T=C{e}^{j\omega t}$

তরঙ্গ সংখ্যা, K হিসাবে সংজ্ঞায়িত ধ্রুবকের পরিবর্তে সমাধান করা।

$-{\omega }^2+C_o^2{\lambda }^2=0$

$K^2={\lambda }^2=\frac{{\omega }^2}{C_o^2}$

তরঙ্গ সংখ্যা হল একটি গুরুত্বপূর্ণ রাশি যা তরঙ্গের কৌণিক বেগকে মাধ্যমের বিস্তার গতির সাথে সম্পর্কিত করে। এটি বিভিন্ন আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে।

$K=\frac{\omega }{C_o}=\frac{2\pi f}{C_o}=\frac{2\pi }{\lambda }$

যেখানে $f$ হল হার্টজে ফ্রিকোয়েন্সি এবং $\lambda$ হল তরঙ্গদৈর্ঘ্য।

দ্বিতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি তরঙ্গ সংখ্যা ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। স্থানিক ফাংশনটিকে একটি সাধারণ রূপ দেওয়া হয়েছে।

$X=C{e}^{jrx}$

r</math> এর পরিবর্তে সমাধান করা।

-r^2+K^2=0 </math>

$r=\pm K$

১-ডি অ্যাকোস্টিক ওয়েভ সমীকরণের সমাধান পাওয়া গেছে।

$P(x,t)=(C_1{e}^{jKx}+C_2{e}^{-jKx})e^{j\omega t}$

দ্রবণের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিও ১-ডি তরঙ্গ সমীকরণের সমাধান।

$P(x,t)=C_{1}cos(\omega t+Kx)+C_{2}cos(\omega t-Kx)$

$P(x,t)=C_{1}sin(\omega t+Kx)+C_{2}sin(\omega t-Kx)$

ফ্যাসর স্বরলিপি ব্যবহার করে, সমাধানটি আরও সংক্ষিপ্ত আকারে লেখা হয়।

$𝐏\mathbf{(}𝐱,𝐭\mathbf{)}=𝐏e^{j(\omega t\pm Kx)}$

উপরের জটিল রূপের আসল অংশ গ্রহণ করে প্রকৃত সমাধানটি পুনরুদ্ধার করা হয়। উপরের ধ্রুবকগুলির মান প্রাথমিক এবং সীমানা শর্ত প্রয়োগ করে নির্ধারিত হয়। সাধারণভাবে, নিম্নলিখিত রূপের যেকোনো ফাংশন পর্যায়ক্রমিক তরঙ্গের জন্য একটি সমাধান।

$P(x,t)=f_1(\omega t+Kx)+f_2(\omega t-Kx)$

এবং একইভাবে, প্রগতিশীল তরঙ্গের জন্য,

$P(x,t)=f(ct+x)+g(ct-x)$

$P(x,t)=f(\xi )+g(\eta )$

যেখানে $f$ এবং $g$ হল ইচ্ছাকৃত ফাংশন, যা বিপরীত দিকে ভ্রমণকারী দুটি তরঙ্গকে প্রতিনিধিত্ব করে। এগুলি d'Alembert সমাধান নামে পরিচিত। প্রাথমিক এবং সীমানা শর্ত প্রয়োগ করে এই দুটি ফাংশনের রূপ খুঁজে পাওয়া যেতে পারে।