প্রকৌশল শব্দবিজ্ঞান/সমতল তরঙ্গের প্রতিফলন ও সঞ্চালন

সমতল তরঙ্গের প্রতিফলন এবং সঞ্চালন নিয়ে আলোচনা করার পূর্বে আমাদের কণার গতিবেগ এবং শাব্দিক চাপের সম্পর্কের বিষয়ে অনুসন্ধান করা দরকার।

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{-1}{{\rho }_o}\frac{\partial p}{\partial x}$

শাব্দিক চাপ এবং কণার গতিবেগকে জটিল রাশির মাধ্যকে নিম্নোক্ত সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যায়,

$𝐩=𝐏e^{j(\omega t-Kx)}$

$𝐮={𝐮}_{𝐨}{e}^{j(\omega t-Kx)}$

উপরিউক্ত দুই রাশির প্রথমে অন্তরকলজ(ডিফারেন্সিয়েশন) এবং তারপর বিয়োগ করে পাই;

$-j\omega 𝐮=\frac{-jK𝐩}{{\rho }_o}=\frac{-j\omega 𝐩}{{\rho }_o{c}_o}$

$𝐮=\frac{𝐩}{{\rho }_o{c}_o}$

সমতল তরঙ্গের জন্য নির্দিষ্ট ধ্বণি প্রতিবাধার সমীকরণ হল,

$𝐳=\frac{𝐩}{𝐮}={\rho }_o{c}_o=r_o$

ধরুন একটি তরঙ্গ এমন একটি অসীম মাধ্যমের মধ্যে দিয়ে ভ্রমণ করছে যার নির্দিষ্ট প্রতিবাধা (স্পেশিফিক ইম্পিডেন্স) -এর মান $r_1={\rho }_1{c}_1$। ধরা যাক সেই মাধ্যমটিকে আমরা প্রথম মাধ্যম বা মিডিয়াম ওয়ান হিসাবে চিহ্নিত করছি। এবার সেই সমতল তরঙ্গ প্রথম মাধ্যম থেকে অপর একটি দ্বিতীয় মাধ্যমে প্রবেশ করবে যাকে আমরা মিডিয়াম টু হিসাবে চিহ্নিত করছি। এবার তরঙ্গ যখন প্রথম মাধ্যম থেকে দ্বিতীয় মাধ্যমে প্রবেশ করতে যাচ্ছে তখন সে দুই মাধ্যমের মধ্যবর্তী এক দেওয়াল বা সীমান্ত -এর উপর আপতিত হল, যার ফলে তরঙ্গের কিছু অংশ প্রতিফলিত হয়ে মিডিয়াম ওয়ান -এ ফিরে আসে এবং বাকি অংশ সঞ্চালিত হয়ে মিডিয়াম টু -তে প্রবেশ করছে। ধরা যাক মিডিয়াম টু বা দ্বিতীয় মাধ্যমের নির্দিষ্ট প্রতিবাধা (স্পেশিফিক ইম্পিডেন্স) -এর মান $r_2={\rho }_2{c}_2$

প্রথম মাধ্যম বা মিডিয়াম ওয়ান -এর চাপ ক্ষেত্র বা প্রেসার ফিল্ড -কে সংজ্ঞায়িত করা যায় দুই মাধ্যমের মধ্যবর্তী দেওয়ালে আপতিত তরঙ্গ এবং প্রতিফলিত হয়ে প্রথম মাধ্যমে প্রত্যাবর্তন করা তরঙ্গের অংশ -এই দুইয়ের সমষ্টি হিসাবে;

${𝐩}_{\mathrm{𝟏}}={𝐩}_{𝐢}+{𝐩}_{𝐫}={𝐏}_{𝐢}{e}^{j(\omega t-K_{1}x)}+{𝐏}_{𝐫}{e}^{j(\omega t+K_{1}x)}$

দ্বিতীয় মাধ্যম বা মিডিয়াম টু -এর 'চাপ ক্ষেত্র বা প্রেসার ফিল্ড -কে সংজ্ঞায়িত করা যায় দ্বিতীয় মাধ্যমে সঞ্চালিত তরঙ্গের অংশের মাধ্যমে

${𝐩}_{\mathrm{𝟐}}={𝐩}_{𝐭}={𝐏}_{𝐭}{e}^{j(\omega t-K_{2}x)}$

Reflection and transmission of normally incident planar wave.

লক্ষ্য করুন যে, দুই মাধ্যমের মধ্যবর্তী সীমান্ত পার করার পরও তরঙ্গের কম্পাঙ্ক একই থাকছে। তবে প্রথম মাধ্যম থেকে দ্বিতীয় মাধ্যমে প্রবেশের পর নির্দিষ্ট প্রতিবাধা (স্পেশিফিক ইম্পিডেন্স) -এর মান পরিবর্তিত হচ্ছে যার ফলে পৃথক দুই মাধ্যমে তরঙ্গের গতিবেগ আলাধা এবং তরঙ্গ সংখ্যা (ওয়েভ নাম্বার) -এর মানও আলাধা। এখানে দুটি পৃথক সীমান্ত শর্তাবলী(বাউন্ডারি কন্ডিশন) প্রযোজ্য হবে,

1. সীমান্তে শব্দীয় চাপের মান অবিচ্ছিন্ন থাকতে হবে।
2. সীমান্তে কণার গতিবেগও অবিরাম ও অবিচ্ছিন্ন থাকতে হবে।

প্রথম সীমান্ত শর্তাবলী প্রয়োগের ফল,

${𝐩}_{\mathrm{𝟏}}(x=0)={𝐩}_{\mathrm{𝟐}}(x=0),$

${𝐏}_{𝐢}+{𝐏}_{𝐫}={𝐏}_{𝐭}.$

দ্বিতীয় সীমান্ত শর্তাবলী প্রয়োগের ফল,

${𝐮}_{\mathrm{𝟏}}(x=0)={𝐮}_{\mathrm{𝟐}}(x=0),$

${𝐮}_{𝐢}(x=0)+{𝐮}_{𝐫}(x=0)={𝐮}_{𝐭}(x=0),$

এবং পূর্বে বর্নিত নির্দিষ্ট প্রতিবন্ধকতার সংজ্ঞা ব্যবহার করে, উপরিউক্ত সমীকরণগুলিকে ক্ষেত্রীয় চাপ -এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হলে তা হবে,

$\frac{{𝐏}_{𝐢}}{r_1}-\frac{{𝐏}_{𝐫}}{r_1}=\frac{{𝐏}_{𝐭}}{r_2}.$

চাপ প্রতিফলন সহগ বা প্রেসার রিফ্লেকশন কো-এফিসিয়েন্ট হল দুই মাধ্যমের সীমান্ত থেকে প্রথম মাধ্যমে প্রতিফলিত শব্দ তরঙ্গের শাব্দিক চাপের সাথে আপতিত শাব্দিক চাপের অনুপাত যার গাণিতিক সমীকরণ হল, $𝐑=\frac{{𝐏}_{𝐫}}{{𝐏}_{𝐢}}$

চাপ সঞ্চালন সহগ বা প্রেসার ট্রান্স্মিশন কো-এফিসিয়েন্ট হল দুই মাধ্যমের সীমান্ত অতিক্রামকারী দ্বিতীয় মাধ্যমে সঞ্চালিত শব্দ তরঙ্গের শাব্দিক চাপের সাথে প্রথম মাধ্যমের সীমান্তে আপতিত শব্দতরঙ্গের শাব্দিক চাপের অনুপাত যার গাণিতিক সমীকরণ হল, $𝐓=\frac{{𝐏}_{𝐭}}{{𝐏}_{𝐢}}$.

নির্দিষ্ট ধ্বণি প্রতিবাধার অনুপাতকে এভাবেও সংজ্ঞায়িত করা হয়: $\zeta =\frac{r_2}{r_1}$

উপরের সংজ্ঞাগুলি প্রয়োগ করে, সীমানত শর্তগুলিকে এভাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে:

$1+𝐑=𝐓$

$1-𝐑=\frac{𝐓}{\zeta }.$

একইভাবে চাপ প্রতিফলন সহগের সমাধান করলে পাওয়া যাবে:

$𝐑=𝐓-1=\frac{\zeta -1}{\zeta +1}=\frac{r_2-r_1}{r_2+r_1}.$

চাপ সঞ্চালন সহগের সমাধান করলে পাওয়া যায়:

$𝐓=𝐑+1=\frac{2\zeta }{\zeta +1}=\frac{2r_2}{r_2+r_1}.$

নির্দিষ্ট ধ্বণি প্রতিবাধার অনুপাতের সমাধান করলে পাওয়া যায়:

$\zeta =\frac{1+𝐑}{1-𝐑}=\frac{𝐓}{2-𝐓}.$

পরিস্থিতি ১: ধরুন একটি সাধারণ সমতল তরঙ্গ, দুটি মাধ্যমের মধ্যস্থিত একটি কঠিন অনমনীয় সীমানা বা দেওয়ালের উপর আপতিত হল, এই অবস্থায় যদি সীমানার ওপারের দ্বিতীয় মাধ্যম বা মিডিয়াম টু -এর নির্দিষ্ট ধ্বণি প্রতিবাধার মান প্রথম মাধ্যম বা মিডিয়াম ওয়ানের ধ্বণি প্রতিবাধার তুলনায় অত্যন্ত বেশি হয় তাহলে দুই মাধ্যমের নির্দিষ্ট ধ্বণি প্রতিবাধার অনুপাতও বেশ বড়(প্রায় অসীম) হয়। একইসাথে প্রতিফলন সহগের মান ঋণাত্মক একক (১) এবং চাপ সঞ্চালন সহগের মান দুই -এর কাছাকাছি ধরা হয়।

$𝐑=1=\frac{{𝐏}_{𝐫}}{{𝐏}_{𝐢}}\Rightarrow {𝐏}_{𝐫}={𝐏}_{𝐢}\Rightarrow 𝐮(x=0)=0$

$𝐓=2=\frac{{𝐏}_{𝐭}}{{𝐏}_{𝐢}}\Rightarrow {𝐏}_{𝐭}=2{𝐏}_{𝐢}\Rightarrow 𝐩(x=0)=2{𝐏}_{𝐢}$

এক্ষেত্রে, আপতিত তরঙ্গ এবং প্রতিফলিত তরঙ্গের কম্পনের মাত্রা বা অ্যাম্প্লিটিউড সমান হয়। প্রতিফলিত তরঙ্গ আপতিত তরঙ্গের কম্পনের দশা বা ফেস একই থাকে। দুই মাধ্যমের সীমান্তে কণার গতিবেগ শূন্য হয়। সীমানায় শাব্দিক চাপের মাত্রা আপতিত তরঙ্গের চাপের মাত্রার দ্বিগুণ হয় যার মান সর্বোচ্চ।

পরিস্থিতি ২: ধরুন একটি সাধারণ সমতল তরঙ্গ, দুটি মাধ্যমের মধ্যস্থিত একটি কঠিন অনমনীয় সীমানা বা দেওয়ালের উপর আপতিত হল, এই অবস্থায় যদি সীমানার ওপারের দ্বিতীয় মাধ্যম বা মিডিয়াম টু -এর নির্দিষ্ট ধ্বণি প্রতিবাধার মান প্রথম মাধ্যম বা মিডিয়াম ওয়ানের ধ্বণি প্রতিবাধার তুলনায় অত্যন্ত বেশি হয় তাহলে দুই মাধ্যমের নির্দিষ্ট ধ্বণি প্রতিবাধার অনুপাত প্রায় শূন্যের সমান হিসাবে ধরা হয়। একইসাথে প্রতিফলন সহগের মান ঋণাত্মক একক (-১) এবং চাপ সঞ্চালন সহগের মান শূন্যের কাছাকাছি ধরা হয়।

$𝐑=-1=\frac{{𝐏}_{𝐫}}{{𝐏}_{𝐢}}\Rightarrow {𝐏}_{𝐫}=-{𝐏}_{𝐢}\Rightarrow 𝐮(x=0)=\frac{\mathrm{𝟐}{𝐏}_{𝐢}}{r_1}$

$𝐓=0=\frac{{𝐏}_{𝐭}}{{𝐏}_{𝐢}}\Rightarrow {𝐏}_{𝐭}=0\Rightarrow 𝐩(x=0)=0$

এক্ষেত্রে, আপতিত তরঙ্গ এবং প্রতিফলিত তরঙ্গের কম্পনের মাত্রা বা অ্যাম্প্লিটিউড সমান হয়। প্রতিফলিত তরঙ্গ এবং আপতিত তরঙ্গের কম্পনের ফেস বা দশার পার্থক্য ১৮০ ডিগ্রি হয়। সীমানায় কণার গতবেবেগ সর্বাধিক এবং শাব্দিক চাপ শূন্য হয়।

পরিস্থিতি ৩:দুটি মাধ্যমেই যদি নির্দিষ্ট প্রতিবাধার মান সমান হয় তাহলে ধণি প্রতিবন্ধকতা অনুপাত হবে এক, প্রতিফলন সহগ হবে শূন্য এবং সঞ্চালন সহগের মান হবে এক। অতএব, সীমান্তে আপতিত তরঙ্গের কোন অংশই প্রতিফলিত হয় না সম্পূর্ণ তরঙ্গই প্রথম মাধ্যম থেকে দ্বিতীয় মাধ্যমে সঞ্চালিত হয়ে যায় এবং তরঙ্গের এরূপ আচরন দেখে মনে হয় যেন দুই মাধ্যমের মধ্যে কোনও সীমানা বা বাঁধা নেই।