প্রকৌশল শব্দবিজ্ঞান/সরল দোলন

অবস্থান নির্ণায়ক সমীকরণ

এই অংশে একটি স্প্রিংয়ের সাথে যুক্ত ভরের অবস্থান বর্ণনা করার সমীকরণ তৈরি করা হবে।

ধরা যাক, একটি ভর $m$ একটি স্প্রিংয়ের সঙ্গে যুক্ত, যার স্প্রিং ধ্রুবক $s$। স্প্রিংটি ভরের উপর একটি পুনঃস্থাপন বল (restoring force) প্রয়োগ করে, যেটি হুকের সূত্র অনুযায়ী হয়:

$f=-sx$

এখানে $x$ হল বিশ্রাম অবস্থান থেকে ভরের বিচ্যুতি।

এই বলের মান নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী লেখা যায়:

$f=ma=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

উপরের দুইটি সমীকরণ একত্রে বসালে পাই:

$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-sx$

অথবা,

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{s}{m}x=0$

এই সমীকরণটি একট সরল দোলনের (simple harmonic motion) গতি নির্দেশ করে। এখানে কৌণিক কম্পন-আবৃত্তি ${\omega }_0$ এর মান হবে:

${\omega }_0^2=\frac{s}{m}$

সমীকরণটির সমাধান খোঁজার জন্য আমরা ধরি:

$x(t)=A{e}^{\lambda t}$

এই রূপটি মূল সমীকরণে বসালে পাই:

$\frac{d^2}{d{t}^2}(A{e}^{\lambda t})+{\omega }_0^{2}A{e}^{\lambda t}=0$

$({\lambda }^2+{\omega }_0^2)A{e}^{\lambda t}=0$

যেহেতু $A{e}^{\lambda t}\ne 0$, তাই অবশ্যই,

${\lambda }^2+{\omega }_0^2=0$

এখান থেকে পাই,

$\lambda =\pm j{\omega }_0$

এখানে, $j=\sqrt{-1}$

এই সমাধান বসালে ভরের অবস্থান হবে:

$x(t)=C_1{e}^{j{\omega }_{0}t}+C_2{e}^{-j{\omega }_{0}t}$

যেখানে, $C_1$ ও $C_2$ দুটি ধ্রুবক, যা সীমা শর্ত দ্বারা নির্ধারিত হয়।

$e^{j{\omega }_{0}t}$ এবং $e^{-j{\omega }_{0}t}$ এর মান ত্রিকোণমিতিক রূপে প্রকাশ করলে পাই:

$x(t)=x_0\cos ({\omega }_{0}t)+\frac{u_0}{{\omega }_0}\sin ({\omega }_{0}t)$

এখানে, $x_0=x(0)$ এবং $u_0=\frac{dx}{dt}{|}_{t=0}$

এই সমীকরণটি সীমা শর্ত (initial conditions) প্রয়োগ করে পাই। সেগুলি হল:

$C_1+C_2=x_0$

$j{\omega }_0(C_1-C_2)=u_0$

এই দুটি সমীকরণ থেকে,

$C_1=\frac{1}{2}(x_0-j\frac{u_0}{{\omega }_0})$

$C_2=\frac{1}{2}(x_0+j\frac{u_0}{{\omega }_0})$

এগুলো $x(t)$–এর মূল রূপে বসালে পাই:

$x(t)=x_0\cos ({\omega }_{0}t)+\frac{u_0}{{\omega }_0}\sin ({\omega }_{0}t)$

অথবা, যদি ধরি $x(t)=A_1\cos ({\omega }_{0}t)+A_2\sin ({\omega }_{0}t)$, তাহলে:

$A_1=x_0$

$A_2=\frac{u_0}{{\omega }_0}$

ফলে একই সমীকরণ ফিরে আসে:

$x(t)=x_0\cos ({\omega }_{0}t)+\frac{u_0}{{\omega }_0}\sin ({\omega }_{0}t)$

মূল পৃষ্ঠায় ফিরে যান

বিকল্প অবস্থায় সমীকরণের রূপ

যদি $A_1$ এবং $A_2$ যথাক্রমে নিচের রূপে প্রকাশ করা হয়,

$$A_1=A\cos (\varphi )$$

$$A_2=A\sin (\varphi )$$

তাহলে অবজেক্টের অবস্থান সমীকরণকে নিম্নরূপে ব্যক্ত করা যায়,

$$x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t-\varphi )$$

যেখানে $A$ হলো কম্পনের অ্যাম্প্লিটিউড, ${\omega }_0$ হলো স্বাভাবিক কম্পনের কোণিক ফ্রিকোয়েন্সি এবং $\varphi$ হলো প্রাথমিক ফেজ কোণ।

প্রাথমিক শর্তাবলী $x(0)=x_0$ এবং $\dot{x}(0)=u_0$ প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়,

$$x_0=A\cos (\varphi )$$

$$\frac{u_0}{{\omega }_0}=A\sin (\varphi )$$

এই দুই সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করলে অ্যাম্প্লিটিউডের মান হয়,

$$A=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{u_0}{{\omega }_0}\right)}^2}$$

অপরদিকে, দুই সমীকরণের অনুপাত থেকে প্রাথমিক ফেজ কোণ নির্ণয় করা হয়,

$$\varphi ={\tan }^{-1}\left(\frac{u_0}{x_0{\omega }_0}\right)$$

অবস্থান সমীকরণকে কাল্পনিক সংখ্যার মাধ্যমে লিখলে, বাস্তব অংশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়,

$$𝐑𝐞[x(t)]=x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t-\varphi )$$

ইউলারের সূত্র ($e^{j\varphi }=\cos \varphi +j\sin \varphi$) অনুযায়ী, $x(t)$ লেখা যায়,

$$x(t)=A{e}^{j({\omega }_{0}t-\varphi )}$$

মূল পৃষ্ঠায় ফিরে যান