বিচ্ছিন্ন গণিত/বুলিয়ান বীজগণিত

বুলিয়ান ফাংশন

সূচনা

বুলিয়ান বীজগণিতের ভিত্তি দাঁড়িয়ে আছে $\{0,1\}$ সেটের উপর বিভিন্ন অপারেশন ও এর সাথে জড়িত বিভিন্ন নিয়ম-নীতি নিয়ে। বুলিয়ান বীজগণিত ব্যবহার করে আমরা খুব সহজেই ইলেক্ট্রনিক বর্তনীর বিভিন্ন সমস্যা সমাধান করতে পারি। এর বিভিন্ন অপারেশনের মধ্যে যেগুলো সবচেয়ে বহুল ব্যবহৃত হয় সেগুলো হল পূরক, বুলিয়ান যোগ ও বুলিয়ান গুণ।

বুলিয়ান পূরককে একটি ওভারলাইন দ্বারা বোঝানো হয়। এই অপারেশনের ফলাফল হল -
$\bar{\mathrm{0}}=1$, $\bar{\mathrm{1}}=0$

বুলিয়ান যোগকে '+' বা $OR$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই অপারেশনের ফলাফল হল-
$0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1$

বুলিয়ান গুণকে '$\cdot$' বা $AND$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই অপারেশনের ফলাফল হল-
$0\cdot 0=0,0\cdot 1=0,1\cdot 0=0,1\cdot 1=1$

বুলিয়ান গুণ অপারেশনকে '$\cdot$' দ্বারা চিহ্নিত না করে সাধারণ বীজগাণিতিক গুণের আকারেও লেখা যায়। এই তিনটি অপারেটরের অগ্রগণ্যতার ক্রম হল প্রথমে পূরক, এরপরে বুলিয়ান গুণ ও সর্বশেষে বুলিয়ান যোগ। তবে যদি বন্ধনী থাকে, তবে বন্ধনীর কাজ আগে শেষ করতে হবে।

উদাহরণ ১ঃ $1\cdot 0+\overline{\mathrm{(}\mathrm{0}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)}}$ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ পূরক, বুলিয়ান যোগ ও বুলিয়ান গুনের সংজ্ঞানুসারে, আমরা পাই,

$1\cdot 0+\overline{\mathrm{(}\mathrm{0}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)}}$  $=0+\bar{\mathrm{1}}$

$=0+0$

$=0$

বুলিয়ান রাশি

মনে করি, $B$ একটি সেট যেখানে $B=\{0,1\}$। তাহলে, $B^n=\{(x_1,x_2,...,x_n)|x_i\in B,1\le i\le n\}$ সেটটি $0$ ও $1$ এর সম্ভাব্য সকল $n$-টাপল নির্দেশ করে। $x$ এর মান যদি শুধুমাত্র $B$ সেট থেকে নেওয়া হয় অর্থাৎ $x$ এর মান যদি কেবল $0$ ও $1$ হয়, তবে $x$ কে বুলিয়ান চলক বলে। আর $B^n$ থেকে $B$ এর মধ্যে একটি ফাংশনকে $n$ তম মাত্রার বুলিয়ান ফাংশন বলে।

উদাহরণ ২ঃ $F(x,y)=x\bar{\mathrm{y}}$ ফাংশনটি বুলিয়ান চলকের ক্রমজোড় গঠন করে যেখানে বুলিয়ান চলকের মান নির্ধারিত হয় $\{0,1\}$ সেট দ্বারা। তাহলে $F$ ফাংশনটি একটি দ্বিঘাত বুলিয়ান ফাংশন। $F$ এর মান নিচের সারণীতে দেওয়া হল।

$x$	$y$	$F(x,y)$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$