রৈখিক বীজগণিত/অন্তঃস্থ গুণজ দৈর্ঘ্য ও লম্বতা

লম্বিকতা

কশি-শোয়ার্জ অসমতা

কশি-শোয়ার্জ অসমতা অনুসারে, দুটি ভেক্টরের ইনার প্রোডাক্টের (inner product) মান ভেক্টর দুটির নরমের (norm) গুণফলের চেয়ে ছোট বা সমান হয়, অর্থাৎ: $|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$।

সংজ্ঞা

একটি ইনার প্রোডাক্ট স্পেস $V$ এ অবস্থিত যেকোনো ভেক্টর $x$ এবং $y$ এর জন্য, আমরা বলি যে $x$ ভেক্টরটি $y$ এর ওপর লম্ব এবং একে $x\mathrm{\perp }y$ দ্বারা প্রকাশ করি, যদি $⟨x,y⟩=0$ হয়।

প্রয়োগ

যেভাবে একটি ভিত্তি লম্বিক করবেন

ধরা যাক, একটি স্কেলার গুণফল সমৃদ্ধ ভেক্টর স্পেস $V$ (এটি পজিটিভ-ডেফিনিট হওয়া বাধ্যতামূলক নয়)।

সমস্যা: একটি যদৃচ্ছ ভিত্তি $\{v_1,v_2,\dots \}$ থেকে $V$-এর জন্য একটি অর্থোনরমাল ভিত্তি তৈরি করা।

সমাধান: নন-আইসোট্রপিক ভেক্টরগুলোর জন্য গ্রাম-স্মিড্ট পদ্ধতি ব্যবহার করুন; অন্যথায় $v_i+v_j$ বেছে নিয়ে পুনরায় প্রক্রিয়াটি শুরু করুন।