রৈখিক বীজগণিত/আইসোমরফিজমের সংজ্ঞা ও উদাহরণ/সমাধান

সমাধানসমূহ

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

$f$ একটি এক-এক ফাংশন কি না তা প্রমাণ করার জন্য, প্রথমে ধরে নেওয়া যাক যে এটি দুটি রৈখিক বহুপদীকে একই ইমেজে ম্যাপ করে, অর্থাৎ $f(a_1+b_{1}x)=f(a_2+b_{2}x)$। তাহলে আমরা পাই:

$\left(\begin{array}{c}{a}_1-b_1\\ b_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_2-b_2\\ b_2\end{array}\right)$

এবং যেহেতু কলাম ভেক্টরগুলো তখনই সমান হয় যখন তাদের প্রতিটি উপাদান পরস্পর সমান থাকে, তাই এখান থেকে বলা যায় $b_1=b_2$ এবং $a_1=a_2$। এর মাধ্যমে প্রমাণিত হয় যে রৈখিক বহুপদী দুটি আসলে সমান, আর তাই $f$ একটি এক-এক ফাংশন।

$f$ একটি সার্বিক ফাংশন কি না তা দেখানোর জন্য লক্ষ করুন যে, কো-ডোমেনের এই সদস্যটি:

$\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)$

ডোমেনের এই সদস্য $(s+t)+tx$-এর একটি ইমেজ বা প্রতিচ্ছবি।

$f$ এর গাণিতিক কাঠামো বা গঠন বজায় রাখে কি না তা যাচাই করতে আমরা লেমা ১.৯-এর ২ নম্বর পয়েন্টটি ব্যবহার করতে পারি।

$\begin{array}{cc}f(c_1\cdot (a_1+b_{1}x)+c_2\cdot (a_2+b_{2}x))& =f((c_1{a}_1+c_2{a}_2)+(c_1{b}_1+c_2{b}_2)x)\\ & =\left(\begin{array}{c}(c_1{a}_1+c_2{a}_2)-(c_1{b}_1+c_2{b}_2)\\ c_1{b}_1+c_2{b}_2\end{array}\right)\\ & =c_1\cdot \left(\begin{array}{c}{a}_1-b_1\\ b_1\end{array}\right)+c_2\cdot \left(\begin{array}{c}{a}_2-b_2\\ b_2\end{array}\right)\\ & =c_1\cdot f(a_1+b_{1}x)+c_2\cdot f(a_2+b_{2}x)\end{array}$

}} টেমপ্লেট:TextBox

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত