রৈখিক বীজগণিত/ইউনিটারি ও হারমিশিয়ান ম্যাট্রিক্স

ইউনিটারি ম্যাট্রিক্স

রৈখিক রূপান্তর বা লিনিয়ার ম্যাপগুলোর মধ্যে "আইসোমেট্রিক" বা "দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপ" অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই ধরনের ম্যাপকে "আইসোমেট্রি"-ও বলা হয়। ধরা যাক, $u:{ℂ}^n\to {ℂ}^n$ একটি যেকোনো আইসোমেট্রিক লিনিয়ার ম্যাপ নির্দেশ করছে। অর্থোনরমাল ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত অধ্যায় থেকে মনে করে দেখুন যে, যেকোনো আইসোমেট্রিক ম্যাপ যা $\overrightarrow{0}$-কে $\overrightarrow{0}$-এ ম্যাপ করে, তা রৈখিক বা লিনিয়ার হয়।

আইসোমেট্রির দূরত্বসংরক্ষক বৈশিষ্ট্যের অর্থ হলো এটি কোণও সংরক্ষণ করে। যদি $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in {ℂ}^n$ দুটি যেকোনো ভেক্টর হয়, তবে আইসোমেট্রিক রূপান্তরের মাধ্যমে ডট গুণফল বা ইনার প্রোডাক্ট সংরক্ষিত থাকে: $u(\overrightarrow{a})\cdot u(\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$।

${ℂ}^n$-এর আদর্শ ভিত্তি ভেক্টর ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n$ সবগুলোই একক দৈর্ঘ্যের এবং এরা পরস্পরের ওপর লম্ব বা অর্থোগোনাল: ${\overrightarrow{e}}_i\cdot {\overrightarrow{e}}_j=\{\begin{array}{cc}1& (i=j)\\ 0& (i\ne j)\end{array}$

যদি $U=\text{Rep}(u)=\left(\begin{array}{cccc}{\overrightarrow{u}}_1& {\overrightarrow{u}}_2& \dots & {\overrightarrow{u}}_n\end{array}\right)$ ম্যাট্রিক্সটি আইসোমেট্রিক লিনিয়ার ম্যাপ $u$-কে প্রকাশ করে, তবে এর কলামগুলো ${\overrightarrow{u}}_i=u({\overrightarrow{e}}_i)$-ও একক দৈর্ঘ্যের হবে এবং পরস্পরের ওপর লম্ব বা অর্থোগোনাল হবে: ${\overrightarrow{u}}_i\cdot {\overrightarrow{u}}_j=\{\begin{array}{cc}1& (i=j)\\ 0& (i\ne j)\end{array}$

একটি ম্যাট্রিক্সের "হারমিশিয়ান ট্রান্সপোজ" হলো ম্যাট্রিক্সটির ট্রান্সপোজ বা সারি-কলাম বিনিময় করার পাশাপাশি এর জটিল সংখ্যাগুলোর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বা কনজুগেট প্রয়োগ করা:

${\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,m}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots & a_{n,m}\end{array}\right)}^H=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}^{\ast }& a_{2,1}^{\ast }& \dots & a_{n,1}^{\ast }\\ a_{1,2}^{\ast }& a_{2,2}^{\ast }& \dots & a_{n,2}^{\ast }\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1,m}^{\ast }& a_{2,m}^{\ast }& \dots & a_{n,m}^{\ast }\end{array}\right)$

$U$-এর কলামগুলোর অর্থোনরমাল বৈশিষ্ট্যের কারণে $U$-এর বিপরীত বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্সটি হবে কেবলই এর হারমিশিয়ান ট্রান্সপোজ: $U^{-1}=U^H$। যে ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স তার হারমিশিয়ান ট্রান্সপোজের সমান, তাকে "ইউনিটারি" ম্যাট্রিক্স বলা হয়। একটি ইউনিটারি ম্যাট্রিক্স $U$-এর প্রধান বৈশিষ্ট্য হলো এটি একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হবে এবং $U^{H}U=U{U}^H=I$ শর্তটি মেনে চলবে (এখানে লক্ষ্য করুন যে, $I=\text{Rep}(\text{id})$ হলো অভেদ বা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স)। ইউনিটারি ম্যাট্রিক্সগুলো আইসোমেট্রিক লিনিয়ার ম্যাপকে নির্দেশ করে।

হারমিশিয়ান ম্যাট্রিক্স

একটি বর্গাকার $n\times n$ ম্যাট্রিক্স $A$-এর ক্ষেত্রে—যেভাবে $A^T=A$ হলে $A$-কে প্রতিসম বা সিমেট্রিক বলা হয়, ঠিক একইভাবে $A^H=A$ হলে $A$-কে হারমিশিয়ান বলা হয়। এর অর্থ হলো $A$-এর কর্ণ বরাবর বিপরীত দিকে থাকা ভুক্তিগুলো পরস্পরের অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বা কমপ্লেক্স কনজুগেট।

উদাহরণস্বরূপ, $A=\left(\begin{array}{cc}4& 6i\\ 6i& 5\end{array}\right)$ ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম বা সিমেট্রিক কিন্তু হারমিশিয়ান নয়। অন্যদিকে, $A=\left(\begin{array}{cc}4& 6i\\ -6i& 5\end{array}\right)$ ম্যাট্রিক্সটি হারমিশিয়ান কিন্তু প্রতিসম বা সিমেট্রিক নয়।

দ্বিঘাত রূপ

বাস্তব মানসম্পন্ন ভুক্তিবিশিষ্ট একটি বর্গাকার $n\times n$ ম্যাট্রিক্স $A$ দেওয়া থাকলে, $Q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}$ ফাংশনটি হলো $\overrightarrow{x}\in {ℝ}^n$-এর ভুক্তিগুলোর একটি দ্বিঘাত ফাংশন, যাকে একটি "দ্বিঘাত রূপ" বলা হয়। দ্বিঘাত রূপের সব পদের ঘাত ২ হয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক একটি দ্বিঘাত রূপ $Q(x_1,x_2)=4x_1^2-7x_1{x}_2+5x_2^2$। এখানে $Q(x_1,x_2)$-কে এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

$Q\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -7\\ 0& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

অথবা এভাবেও প্রকাশ করা যায়:

$Q\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -3.5\\ -3.5& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

$i\ne j$ এর জন্য $x_i{x}_j$ পদের সহগ হলো $(i,j)$ এবং $(j,i)$ ভুক্তির সমষ্টি। তাই $x_i{x}_j$-এর সহগকে $(i,j)$ এবং $(j,i)$ ভুক্তির মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়াটা যুক্তিযুক্ত মনে হয়, যা মূলত $A$-কে প্রতিসম বা সিমেট্রিক হতে বাধ্য করে: $A^T=A$।

জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে এটিকে সাধারণীকরণ করলে দাঁড়ায়—দ্বিঘাত রূপ $Q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{H}A\overrightarrow{x}$ বিবেচনা করুন, যেখানে $\overrightarrow{x}\in {ℂ}^n$ একটি যেকোনো ভেক্টর। বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে $A$-কে প্রতিসম হওয়ার যে প্রয়োজনীয়তা ছিল, জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে $A$-কে হারমিশিয়ান হওয়ার প্রয়োজনীয়তা ঠিক তার মতোই। $A$ যদি হারমিশিয়ান হয়, তবে $Q(\overrightarrow{x})$ সর্বদা একটি বাস্তব সংখ্যা প্রদান করে:

টেমপ্লেট:BookCat