রৈখিক বীজগণিত/উপজগতের সংমিশ্রণ

টেমপ্লেট:Navigation এই উপ-অনুচ্ছেদটি পাঠ করা ঐচ্ছিক হিসেবে গণ্য করা যেতে পারে। এটি মূলত তৃতীয় অধ্যায় এবং পঞ্চম অধ্যায়ের শেষ অংশগুলোর আলোচনার জন্য এবং মাঝে মাঝে কিছু নির্দিষ্ট অনুশীলনী সমাধানের ক্ষেত্রে প্রয়োজন হয়। গাণিতিক ধারাবাহিকতা বজায় রেখেও পাঠক চাইলে এই অংশটি এড়িয়ে যেতে পারেন।

বর্তমান অধ্যায়টি একটি ভেক্টর জগৎের সংজ্ঞার মাধ্যমে শুরু হয়েছিল এবং এর মাঝের অংশে এই ধারণার প্রাথমিক বিশ্লেষণ তুলে ধরা হয়েছে। এই উপ-অনুচ্ছেদটি সেই বিশ্লেষণের পূর্ণতা দেওয়ার মাধ্যমেই অধ্যায়টি শেষ করবে। এখানে "বিশ্লেষণ" শব্দটি হ্যালসি (১৯৭৯) এর দেওয়া সংজ্ঞার ভিত্তিতে ব্যবহার করা হয়েছে। তার মতে, বিশ্লেষণ মানে হলো কোনো কিছুর মূল বৈশিষ্ট্যগুলোকে আলাদা আলাদা অংশে ভাগ করে তা পরীক্ষা বা নির্ধারণ করার পদ্ধতি।

যেকোনো জটিল বিষয়কে গভীরভাবে বোঝার একটি সাধারণ ও কার্যকর উপায় হলো সেটি কীভাবে বিভিন্ন ক্ষুদ্রতর উপাদানের সমন্বয়ে গঠিত হয়েছে তা পর্যবেক্ষণ করা। উদাহরণস্বরূপ, আমরা ত্রিমাত্রিক জগত বা ${ℝ}^3$-কে কল্পনা করতে পারি যা মূলত $x$-অক্ষ, $y$-অক্ষ এবং $z$-অক্ষের সমন্বয়ে গঠিত। এই উপ-অনুচ্ছেদে আমরা এই ধারণাটিকে গাণিতিকভাবে সুনির্দিষ্ট রূপ দান করব; আমরা বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করব কীভাবে একটি ভেক্টর জগৎকে তার কয়েকটি উপজগৎের (subspaces) সংমিশ্রণে বিভক্ত বা বিশ্লেষণ করা সম্ভব। উপজগৎসমূহের এই সংযোজন বা সমন্বয়ের ধারণাটি বিকাশের সময় আমরা ${ℝ}^3$-এর উদাহরণটিকে একটি আদর্শ মডেল হিসেবে সর্বদা বিবেচনায় রাখব।

গাণিতিকভাবে উপজগৎগুলো হলো উপসেট (subsets), আর সেটসমূহ সাধারণত সংযোগ বা 'ইউনিয়ন' (union) প্রক্রিয়ার মাধ্যমে একত্রিত হয়। তবে উপজগৎগুলোর সমন্বয়ের ক্ষেত্রে সাধারণ ইউনিয়ন প্রক্রিয়াটি আমাদের কাঙ্ক্ষিত ফলাফল প্রদান করে না। প্রথমত, $x$-অক্ষ, $y$-অক্ষ এবং $z$-অক্ষের সংযোগ বা ইউনিয়ন করলে সমগ্র ${ℝ}^3$ জগতটি পাওয়া যায় না, যার ফলে আমাদের আদর্শ মডেলটি আলোচনার বাইরে থেকে যায়। তদুপরি, ইউনিয়নের ধারণাটি এখানে ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার আরও একটি বিশেষ কারণ রয়েছে: দুটি বা ততোধিক উপজগৎের ইউনিয়ন নিজে একটি উপজগৎ নাও হতে পারে। এর কারণ হলো এটি আবদ্ধতা (closure) ধর্ম মেনে চলে না; উদাহরণস্বরূপ, ${ℝ}^3$-এর এই ভেক্টরটি লক্ষ্য করা যাক:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

এই ভেক্টরটি উল্লিখিত তিনটি অক্ষের কোনোটির মধ্যেই অবস্থিত নয় এবং ফলশ্রুতিতে এটি তাদের ইউনিয়নের অন্তর্ভুক্ত নয়। সুতরাং, উপজগৎগুলোর সদস্যদের পাশাপাশি আমাদের অবশ্যই তাদের সকল রৈখিক সমাবেশকেও (linear combinations) এই প্রক্রিয়ার অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।

(ভেক্টরসমূহের মধ্যে "$+$" চিহ্ন ব্যবহারের পাশাপাশি সেটগুলোর মাঝেও এই চিহ্নের ব্যবহার মূলত যেকোনো স্বাভাবিক সমষ্টি বা সঞ্চয়ন প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে এই প্রতীকটি ব্যবহারের প্রচলিত রীতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।)

$\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ w_3\end{array}\right)=1\cdot \left(\begin{array}{c}{w}_1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ w_2\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ w_3\end{array}\right)$

গাণিতিক এই সমীকরণের মাধ্যমে এটি স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয় যে, ত্রিমাত্রিক জগতের যেকোনো ভেক্টরকে তার অক্ষীয় উপাংশগুলোর সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব। আর এই কারণেই আমরা লিখতে পারি যে, ${ℝ}^3=x\text{-axis}+y\text{-axis}+z\text{-axis}$। অর্থাৎ, ত্রিমাত্রিক বাস্তব ভেক্টর জগতটি মূলত তার তিনটি স্থানাঙ্ক অক্ষের রৈখিক সমষ্টির সমান। }}

উপরে প্রদত্ত সংজ্ঞাটি একটি ভেক্টর জগৎকে তারবিভিন্ন অংশের সমন্বয় হিসেবে বিবেচনা করার একটি গাণিতিক পথ প্রদর্শন করে। তবে পূর্ববর্তী উদাহরণটি থেকে এটি স্পষ্ট হয় যে, আমাদের আদর্শ মডেলের অন্তত একটি অত্যন্ত আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা উপজগৎের সমষ্টির সাধারণ সংজ্ঞা দ্বারা পুরোপুরি ব্যাখ্যা করা সম্ভব নয়। ত্রিমাত্রিক জগত বা ${ℝ}^3$-এর পরিচিত বিভাজন পদ্ধতিতে আমরা সাধারণত কোনো ভেক্টরের "$x$ অংশ", "$y$ অংশ" কিংবা "$z$ অংশ" নিয়ে আলোচনা করি। এর তাৎপর্য হলো, এই মডেলে প্রতিটি ভেক্টরের একটি অনন্য বিভাজন (unique decomposition) বিদ্যমান, যা মূল জগত গঠনকারী অংশগুলো থেকে প্রাপ্ত। কিন্তু উদাহরণ ৪.৪-এ ব্যবহৃত বিভাজন প্রক্রিয়ায় আমরা কোনো ভেক্টরের নির্দিষ্ট "$xy$ অংশ" সম্পর্কে নিশ্চিতভাবে বলতে পারি না— নিচের এই তিনটি গাণিতিক সমষ্টি লক্ষ্য করুন:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

এই প্রতিটি সমীকরণই একই ভেক্টরকে প্রথম সমতলের একটি উপাদান এবং দ্বিতীয় সমতলের একটি উপাদানের সমষ্টি হিসেবে বর্ণনা করছে, কিন্তু প্রতি ক্ষেত্রেই ভেক্টরটির সেই নির্দিষ্ট "$xy$ অংশ" ভিন্ন ভিন্ন হচ্ছে। অর্থাৎ, এখানে বিভাজনটি অনন্য নয়, যা গাণিতিক বিশ্লেষণে একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য তৈরি করে।

অর্থাৎ, যখন আমরা বিবেচনা করি যে কীভাবে ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান ${ℝ}^3$ তিনটি অক্ষের সমন্বয়ে "কোনো একভাবে" গঠিত হয়েছে, তখন আমাদের উদ্দেশ্য হতে পারে এমন একটি কাঠামো তৈরি করা যেখানে প্রতিটি ভেক্টরের অন্তত একটি বিশ্লিষ্ট রূপ বা বিভাজন (decomposition) বিদ্যমান থাকে। মূলত এই ধারণাটিই আমাদের উপরে উল্লিখিত সংজ্ঞার দিকে ধাবিত করে। তবে, আমরা যদি বিষয়টিকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করতে চাই যে প্রতিটি ভেক্টরের কেবল একটি এবং অনন্য (unique) বিভাজন থাকবে, তবে আমাদের ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশের ওপর অতিরিক্ত কিছু শর্ত আরোপ করার প্রয়োজন পড়বে। এই শর্তটি আসলে কী তা অনুধাবন করার জন্য আমাদের মনে রাখা প্রয়োজন যে, একটি ভিত্তির (basis) সাপেক্ষে যেকোনো ভেক্টরকে অনন্যভাবে উপস্থাপন করা সম্ভব। এই মৌলিক বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করে আমরা একটি ভেক্টর জগৎকেকতগুলো উপজগৎের (subspaces) সমষ্টি হিসেবে এমনভাবে বিভক্ত করতে পারি, যাতে ওই জগতের যেকোনো ভেক্টরকে সেই উপজগৎগুলোর সদস্যদের একটি অনন্য সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা যায়।

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=(c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+c_3\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right))+c_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

উপরিউক্ত সমীকরণটির ক্ষেত্রে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $x,y,z\in ℝ$-এর জন্য একটি এবং কেবলমাত্র একটি অনন্য সমাধান বিদ্যমান থাকে। }}

এই উদাহরণগুলো একটি ভেক্টর জগৎ বা জ্যামিতিক জগৎকে কতগুলো উপ-জগৎ বা সাবস্পেসের সমষ্টি হিসেবে বিভক্ত করার একটি অত্যন্ত স্বাভাবিক ও স্বতঃস্ফূর্ত পদ্ধতি প্রদর্শন করে। এই বিভাজন প্রক্রিয়ার বিশেষত্ব হলো, মূল স্পেসের প্রতিটি ভেক্টরকে এই উপ-অংশগুলো থেকে আসা ভেক্টরসমূহের একটি অনন্য সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব। পরবর্তী ফলাফল বা উপপাদ্যটি আমাদের এটিই নিশ্চিত করে যে, ভেক্টর জগৎের এই ধরনের বিভাজনের ক্ষেত্রে এই পদ্ধতিটিই একমাত্র কার্যকর পথ।

দুটি উপজগৎের ক্ষেত্রে এই বিশেষ পরিস্থিতিটি আলাদাভাবে উল্লেখ করা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

বর্তমান এই উপ-পরিচ্ছেদে আমরা একটি ভেক্টর জগৎকে তারমৌলিক গাঠনিক অংশ বা উপাদানগুলোর সমন্বয়ে গঠিত হিসেবে বিবেচনা করার দুটি স্বতন্ত্র ও গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করেছি। এই উভয় পদ্ধতিই রৈখিক বীজগণিতের বিভিন্ন গাণিতিক প্রয়োগের ক্ষেত্রে অত্যন্ত কার্যকর ও ফলপ্রসূ; বিশেষত, এই পাঠ্যপুস্তকের পঞ্চম অধ্যায়ে যখন আমরা 'জর্ডান ফর্ম' (Jordan Form) গঠনের প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন করব, তখন 'সরাসরি সমষ্টি' বা 'ডিরেক্ট সাম' (direct sum)-এর এই সংজ্ঞাটি আমাদের জন্য অপরিহার্য হয়ে দাঁড়াবে।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এবং এভাবেই উপজগৎসমূহের (subspaces) সমষ্টি হলো মূলত সেই সকল ভেক্টরের সমষ্টির সমন্বয়ে গঠিত একটি উপজগৎ। }} টেমপ্লেট:TextBox

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

/সমাধান

তথ্যসূত্র

• টেমপ্লেট:Citation.