রৈখিক বীজগণিত/উপজগতের সংমিশ্রণ/সমাধান

সমাধানসমূহ

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

এবং এই উপজগৎ (subspace) দুটির সাধারণ ছেদবিন্দু বা ইন্টারসেকশনটি অত্যন্ত তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল (trivial)।

না। এক্ষেত্রে উপজগৎ দুটির ছেদবিন্দুটি তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল নয়।

না। এগুলো প্রকৃতপক্ষে কোনো উপজগৎ বা সাবস্পেস নয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

$\{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)|\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right)=0\text{ for all }x\in ℝ\}$

গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এটি অত্যন্ত সহজেই অনুধাবন করা সম্ভব যে, উপরোক্ত সেটটি মূলত দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার $y$-অক্ষকে নির্দেশ করছে।

এটি ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার $yz$-সমতলকে উপস্থাপন করে।

স্থানাঙ্ক জ্যামিতির প্রেক্ষাপটে এটি $z$-অক্ষ হিসেবে চিহ্নিত হয়।

ধরা যাক, $U$ হলো ${ℝ}^n$ ভেক্টর জগতের একটি নির্দিষ্ট উপ-জগত বা সাবস্পেস। যেহেতু শূন্য ভেক্টরটি জগতের প্রতিটি ভেক্টরের সাথেই লম্বভাবে অবস্থান করে, তাই স্বাভাবিকভাবেই $U^{\perp }$ বা অর্থোকম্প্লিমেন্টের মধ্যে শূন্য ভেক্টরটি অন্তর্ভুক্ত থাকে। এখন আমাদের কেবল এটি প্রমাণ করতে হবে যে, এই অর্থোকম্প্লিমেন্ট সেটটি রৈখিক বিন্যাস বা লিনিয়ার কম্বিনেশনের অধীনে বদ্ধ (closed)। যদি আমরা $U^{\perp }$ থেকে দুটি ভেক্টর ${\overrightarrow{w}}_1$ এবং ${\overrightarrow{w}}_2$ গ্রহণ করি, তবে সংজ্ঞানুযায়ী $U$-এর অন্তর্ভুক্ত সকল ভেক্টর $\overrightarrow{u}$-এর জন্য ${\overrightarrow{w}}_1\cdot \overrightarrow{u}=0$ এবং ${\overrightarrow{w}}_2\cdot \overrightarrow{u}=0$ হবে। ফলশ্রুতিতে, তাদের রৈখিক বিন্যাসের ক্ষেত্রে আমরা পাই $(c_1{\overrightarrow{w}}_1+c_2{\overrightarrow{w}}_2)\cdot \overrightarrow{u}=c_1({\overrightarrow{w}}_1\cdot \overrightarrow{u})+c_2({\overrightarrow{w}}_2\cdot \overrightarrow{u})=0$। এর মাধ্যমে গাণিতিকভাবে প্রমাণিত হয় যে, $U^{\perp }$ সেটটি রৈখিক বিন্যাসের অধীনে বদ্ধ এবং এটি একটি বৈধ সাবস্পেস।

ভেক্টর বীজগণিতের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্য হলো এই যে, সমগ্র ভেক্টর জগতের মধ্যে কেবলমাত্র শূন্য ভেক্টরই (zero vector) নিজের সাথে লম্ব বা অর্থোগোনাল হতে পারে; অন্য কোনো ভেক্টরের ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্যটি প্রযোজ্য নয়।

গাণিতিক সংজ্ঞা এবং ইতিপূর্বে আলোচিত যুক্তিগুলোর আলোকে এই সিদ্ধান্তটি অত্যন্ত সরাসরি এবং তাৎক্ষণিকভাবে গ্রহণ করা সম্ভব।

ডাইমেনশন বা মাত্রাসমূহের যোগফল সংক্রান্ত বৈশিষ্ট্যটি প্রমাণ করার জন্য অনুসিদ্ধান্ত ৪.১৩ এবং লেমা ৪.১৫-এর সাহায্য নেওয়া যেতে পারে। এই প্রমাণটি সম্পন্ন করতে আমাদের কেবল এটি দেখানো প্রয়োজন যে, $U$ এবং এর অর্থোকম্প্লিমেন্ট $U^{\perp }$-এর ছেদবিন্দু বা ইন্টারসেকশন হলো একটি ট্রিভিয়াল সাবস্পেস বা শূন্য ভেক্টর সেট $\{\overrightarrow{0}\}$। প্রকৃতপক্ষে, এই সমস্যার পূর্ববর্তী অংশগুলোতেই আমরা এই বিষয়টি নিশ্চিতভাবে প্রমাণ করেছি।

}}

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত