রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টর জগতের সংজ্ঞা ও উদাহরণ

টেমপ্লেট:Anchorনিচের উদাহরণগুলো বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো সংজ্ঞায় দেওয়া ১০টি শর্তের প্রতিটি মিলিয়ে দেখা। প্রথম উদাহরণে এই যাচাইকরণ প্রক্রিয়াটি বিস্তারিতভাবে করে দেখানো হয়েছে। বাকি উদাহরণগুলোর ক্ষেত্রেও আপনারা একইভাবে হিসাব করে দেখতে পারেন। এখানে প্রথম শর্ত "$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$ হলো $V$-এর অন্তর্ভুক্ত" এবং ষষ্ঠ শর্ত "$r\cdot \overrightarrow{v}$ হলো $V$-এর অন্তর্ভুক্ত" বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। এগুলোকে বলা হয় আবদ্ধতা সংক্রান্ত শর্ত। এই শর্তগুলো নিশ্চিত করে যে যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়াগুলো সর্বদা অর্থবহ—অর্থাৎ প্রতিটি ভেক্টর জোড়ার জন্য এবং প্রতিটি স্কেলার ও ভেক্টরের জন্য এগুলো সংজ্ঞায়িত, এবং এই প্রক্রিয়ার ফলাফলটিও ওই সেটেরই একটি সদস্য হবে (দেখুন উদাহরণ ১.৪)।

স্কেলার গুণন সংক্রান্ত পাঁচটি শর্ত যাচাই করার প্রক্রিয়াটিও একইভাবে অত্যন্ত সহজ ও সাধারণ। ৬ নম্বর শর্তটি হলো স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধতা, যেখানে $r,v_1,v_2\in ℝ$ ,

টেমপ্লেট:Math

এটি হলো দুটি বাস্তব ভুক্তি বিশিষ্ট একটি কলাম অ্যারে, এবং তাই এটি ${ℝ}^2$-এর অন্তর্ভুক্ত। এরপর, এটি ৭ নম্বর শর্তটি যাচাই করে।

টেমপ্লেট:Math

৮ নম্বর শর্তের ক্ষেত্রে, যেখানে স্কেলার গুণন বাম দিক থেকে ভেক্টর যোগের ওপর বণ্টিত হয়, আমরা পাই:

টেমপ্লেট:Math

নবম

টেমপ্লেট:Math

এবং দশম শর্ত দুটিও একইভাবে অত্যন্ত সহজবোধ্য।

টেমপ্লেট:Math

একইভাবে, ভেক্টর যোগ এবং স্কেলার গুণনের সাধারণ প্রক্রিয়াসমূহ ব্যবহার করে প্রতিটি ${ℝ}^n$ একটি ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগত হিসেবে গণ্য হয়। (${ℝ}^1$-এর ক্ষেত্রে, আমরা সাধারণত এর উপাদানগুলোকে কলাম ভেক্টর হিসেবে লিখি না, অর্থাৎ আমরা সাধারণত "$(\pi )$" লিখি না। এর পরিবর্তে আমরা কেবল "$\pi$" লিখি।)

একটি ভেক্টর স্পেসে অন্তত একটি উপাদান থাকতে হয়, যা হলো এর শূন্য ভেক্টর। সুতরাং, একটি মাত্র উপাদানবিশিষ্ট ভেক্টর স্পেসই হলো সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম ভেক্টর স্পেস।

উদাহরণসমূহ

পূর্ববর্তী উদাহরণের জগত (space) থেকে প্রাপ্ত। (আমরা $F$-কে ${ℝ}^2$-এর "অনুরূপ" হিসেবে চিন্তা করতে পারি, কারণ এখানে $a\cos \theta +b\sin \theta$ রাশিটি $a$ এবং $b$ উপাংশবিশিষ্ট ভেক্টরের সাথে সংগতিপূর্ণ।) }}

উপরের সমীকরণগুলোতে আমরা যেমনটি করেছি, আমরা প্রায়ই গুণ চিহ্ন "$\cdot$" বাদ দিয়ে থাকি। আমরা "$c_1{v}_1$"-এর গুণকে "$r\overrightarrow{v}$"-এর গুণ থেকে আলাদা করতে পারি। কারণ যদি গুণক দুটিই বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে সেটি বাস্তব সংখ্যার গুণ বোঝাবে। অন্যদিকে, যদি একটি ভেক্টর হয়, তবে সেটি স্কেলার-ভেক্টর গুণকে নির্দেশ করবে।

পূর্ববর্তী উদাহরণটি আমাদের আলোচনার শুরুতে ফিরিয়ে নিয়ে এসেছে, কারণ এটি আমাদের অন্যতম অনুপ্রেরণামূলক উদাহরণ ছিল।

একটি উত্তর হতে পারে এই যে, এটি কেবল একটি সংজ্ঞা মাত্র—এটি এখান থেকে পরবর্তী ধাপগুলোর জন্য খেলার নিয়মগুলো নির্ধারণ করে দেয়। আর যদি আপনার এটি পছন্দ না হয়, তবে আপনি বইটি বন্ধ করে চলে যেতে পারেন।

অন্য একটি উত্তর সম্ভবত আরও বেশি সন্তোষজনক হতে পারে। এই ক্ষেত্রের গবেষকরা গাণিতিক ক্ষমতা এবং সাধারণীকরণের মধ্যে একটি সঠিক ভারসাম্য বজায় রাখার জন্য কঠোর পরিশ্রম করেছেন। এই সংজ্ঞাটিকে এমনভাবে সাজানো হয়েছে যাতে রৈখিক সমাবেশের জগতের সমস্ত আকর্ষণীয় এবং গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলো প্রমাণ করার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলো এতে বিদ্যমান থাকে। আমরা যত সামনের দিকে এগোব, সংজ্ঞায় দেওয়া শর্তগুলো থেকে রৈখিক সমাবেশের সংগ্রহগুলোর জন্য স্বাভাবিক এমন সমস্ত বৈশিষ্ট্য আমরা বের করে আনব।

পরবর্তী ফলাফলটি একটি উদাহরণ হিসেবে কাজ করবে। ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞায় এই বৈশিষ্ট্যগুলো আলাদাভাবে অন্তর্ভুক্ত করার প্রয়োজন নেই, কারণ এগুলো সেখানে ইতিমধ্যে তালিকাভুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলো থেকেই সরাসরি চলে আসে।

সারসংক্ষেপ

আমরা একটি পুনরালোচনার মাধ্যমে শেষ করব।

প্রথম অধ্যায়ে গাউসীয় অপনয়ন নিয়ে আমাদের অধ্যয়ন আমাদের রৈখিক সমাবেশের সংগ্রহগুলো বিবেচনা করতে পরিচালিত করেছিল। তাই এই অধ্যায়ে আমরা ভেক্টর স্পেসকে এমন একটি কাঠামো হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছি যেখানে আমরা এই ধরনের সমাবেশগুলো তৈরি করতে পারি, যা মূলত $c_1\cdot {\overrightarrow{v}}_1+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{v}}_n$ আকারের রাশি (যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়ার সাধারণ শর্ত সাপেক্ষে)। এক কথায় বলতে গেলে: রৈখিকতা অধ্যয়নের জন্য ভেক্টর স্পেস হলো সবচেয়ে উপযুক্ত প্রেক্ষাপট।

পরিশেষে একটি মন্তব্য করা প্রয়োজন। যেহেতু এটি একটি সম্পূর্ণ অধ্যায় জুড়ে রয়েছে এবং বিশেষ করে এটি প্রথম অধ্যায়, তাই একজন পাঠকের মনে হতে পারে যে রৈখিক ব্যবস্থাঅধ্যয়ন করাই আমাদের মূল লক্ষ্য। কিন্তু প্রকৃত সত্য হলো, আমরা রৈখিক ব্যবস্থা অধ্যয়নের জন্য ভেক্টর স্পেসকে খুব একটা ব্যবহার করব না; বরং রৈখিক ব্যবস্থার মাধ্যমেই আমরা ভেক্টর স্পেসের অধ্যয়ন শুরু করব। এই উপবিভাগের বিভিন্ন ধরনের উদাহরণগুলো দেখায় যে, রৈখিক ব্যবস্থা বুঝতে সাহায্য করার পাশাপাশি ভেক্টর স্পেসের অধ্যয়ন নিজস্ব গুণেই অত্যন্ত আকর্ষণীয় এবং গুরুত্বপূর্ণ। রৈখিক ব্যবস্থার আলোচনা এখানেই শেষ হয়ে যাচ্ছে না। তবে এখন থেকে আমাদের অধ্যয়নের প্রধান বিষয়বস্তু হবে ভেক্টর স্পেস।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

}}

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

/সমাধান/