রৈখিক বীজগণিত/মাত্রা আইসোমরফিজমকে বৈশিষ্ট্যমন্ডিত করে

আগের উপবিভাগে, সমরূপতার সংজ্ঞা দেওয়ার পর, আমরা কিছু ফলাফল দেখিয়েছি যা এই ধারণাকে সমর্থন করে যে এ ধরনের একটি ম্যাপ বা ফাংশন স্পেসগুলোকে "একই" বলে বর্ণনা করে। এখানে আমরা এই ধারণাকে সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করব। যদিও সমরূপ দুটি স্পেস হুবহু সমান নয়, আমরা তাদেরকে প্রায় সমান— সমতুল্য হিসেবে বিবেচনা করি। এই উপবিভাগে আমরা দেখাব যে "এর সাথে সমরূপ" সম্পর্কটি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক।

টেমপ্লেট:Anchorএই ফলাফলের ফলস্বরূপ, আমরা জানি যে ভেক্টর স্পেসের জগতকে বিভিন্ন শ্রেণিতে ভাগ করা যায়: প্রতিটি স্পেস একটি এবং কেবল একটি সমরূপতা শ্রেণিতে অবস্থান করে।

সমস্ত সসীম মাত্রিক ভেক্টর স্পেস:

$V\cong W$

এটি পরবর্তী দুটি লেমা থেকে পাওয়া যায়।

এর মাধ্যমে উপপাদ্য ২.২ এর প্রমাণ শেষ হলো। টেমপ্লেট:Anchorআমরা বলি যে সমরূপতা শ্রেণিগুলো মাত্রা দ্বারা বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত কারণ আমরা প্রতিটি শ্রেণিকে কেবল একটি সংখ্যা দিয়ে বর্ণনা করতে পারি, যা ঐ শ্রেণির সমস্ত স্পেসের মাত্রা।

এই উপবিভাগের ফলাফলগুলো আমাদেরকে সমরূপতা শ্রেণির একগুচ্ছ প্রতিনিধি প্রদান করে।

উপরের প্রমাণগুলোতে খুব ছোট পরিসরে অনেক ধারণা তুলে ধরা হয়েছে। এই অধ্যায়ের বাকি অংশে আমরা এই ধারণাগুলো আবার বিবেচনা করব এবং সেগুলোকে বিস্তারিত রূপ দেব। এর সামান্য স্বাদ দিতে, আমরা এখানে লেমা ২.৪ এর প্রমাণটিকে আরও সম্প্রসারিত করব।

আমরা এই পরিচ্ছেদটি একটি সারসংক্ষেপ দিয়ে শেষ করব।

স্মরণ করুন যে, প্রথম অধ্যায়ে আমরা দুটি ম্যাট্রিক্সকে সারি-সমতুল্য হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছিলাম যদি তারা প্রাথমিক সারি অপারেশন দ্বারা একে অপরের থেকে প্রতিপাদন করা যায় (এটি ছিল সেখানে আগ্রহের বিষয় "একই রকম" এর অর্থ)। আমরা দেখিয়েছি যে এটি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক এবং তাই ম্যাট্রিক্সের সংগ্রহটি বিভিন্ন শ্রেণিতে বিভক্ত হয়ে যায়, যেখানে যে ম্যাট্রিক্সগুলো সারি-সমতুল্য তারা একটি একক শ্রেণিতে পড়ে। এরপর, প্রতিটি শ্রেণিতে কোন ম্যাট্রিক্সগুলো রয়েছে সে সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি পাওয়ার জন্য, আমরা শ্রেণিগুলোর জন্য প্রতিনিধি দিয়েছিলাম, যা হলো রিডিউসড ইচেলন ফর্ম ম্যাট্রিক্স।

এই পরিচ্ছেদে, এখানকার "একই রকম" এর উপযুক্ত ধারণাটি ভেক্টর স্পেস সমরূপতা হওয়া ছাড়া, আমরা প্রায় একই রূপরেখা অনুসরণ করেছি। প্রথমে আমরা সমরূপতার সংজ্ঞা দিয়েছি, কিছু উদাহরণ দেখেছি এবং কিছু বৈশিষ্ট্য প্রতিষ্ঠা করেছি। তারপর আমরা দেখিয়েছি যে এটি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক, এবং এখন আমাদের কাছে শ্রেণি প্রতিনিধিদের একটি সেট রয়েছে, বাস্তব ভেক্টর স্পেসগুলো ${ℝ}^1$, ${ℝ}^2$, ইত্যাদি।

সমস্ত সসীম মাত্রিক ভেক্টর স্পেস:

শ্রেণি প্রতি একটি প্রতিনিধি

আগের মতোই, প্রতিনিধিদের তালিকা আমাদেরকে বিভাজনটি বুঝতে সাহায্য করে। এটি সহজভাবে মাত্রা দ্বারা স্পেসগুলোর একটি শ্রেণিবিভাগ।

দ্বিতীয় অধ্যায়ে, ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞা দেওয়ার মাধ্যমে, আমরা হয়তো পরিচিত ${ℝ}^n$ এর পাশাপাশি নতুন কাঠামোর অনেক উদাহরণের জন্য আমাদের অধ্যয়ন উন্মুক্ত করেছিলাম বলে মনে হচ্ছিল। আমরা এখন জানি যে তা নয়। যেকোনো সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস আসলে একটি বাস্তব স্পেসের "সমান" বা সমরূপ। সুতরাং আমরা ঠিক সেই কাঠামোগুলোই বিবেচনা করছি যা আমাদের বিবেচনা করা প্রয়োজন।

এই অধ্যায়ের বাকি অংশ এই পরিচ্ছেদের কাজকে পূর্ণতা দেয়। বিশেষ করে, পরবর্তী পরিচ্ছেদে আমরা এমন ম্যাপগুলো বিবেচনা করব যা কাঠামো সংরক্ষণ করে, তবে সেগুলো অপরিহার্যভাবে অনুরূপতা নয়।