রৈখিক বীজগণিত/মৌলিক

টেমপ্লেট:TextBox

আমরা একটি মৌলিক অ্যাঙ্গেল ব্র্যাকেট $⟨ \vec{β_{1}}, \vec{β_{2}}, \dots ⟩$ দিয়ে এটি বোঝাতে প্রকাশ করি যে, এই সংগ্রহটি একটি অনুক্রম^[১] অর্থাৎ এখানে উপাদানগুলোর ক্রম বা বিন্যাস গুরুত্বপূর্ণ। (একটি ভিত্তিকে ক্রমবিন্যস্ত হওয়ার প্রয়োজনীয়তা দেখা দেবে, উদাহরণস্বরূপ, সংজ্ঞা ১.১৩ এ।)

টেমপ্লেট:TextBox

(ক্যালকুলাস বইগুলোতে $ℝ^{2}$ এর স্ট্যান্ডার্ড বেসিস ভেক্টরগুলোকে ${\vec{e}}_{1}$ এবং ${\vec{e}}_{2}$ এর পরিবর্তে $\vec{ı}$ এবং $\vec{ȷ}$ হিসেবে উল্লেখ করা হয়; এবং $ℝ^{3}$ এর ক্ষেত্রে ${\vec{e}}_{1}$ , ${\vec{e}}_{2}$ , ও ${\vec{e}}_{3}$ এর পরিবর্তে $\vec{ı}$ , $\vec{ȷ}$ , এবং $\vec{k}$ ব্যবহার করা হয়।) লক্ষ্য করুন যে, $ℝ^{3}$ এর আলোচনায় " ${\vec{e}}_{1}$ " চিহ্নটি যা বোঝায়, $ℝ^{2}$ এর আলোচনায় তা ভিন্ন অর্থ বহন করে।

টেমপ্লেট:TextBox

উদাহরণ ১.২ এর কথা আবারও বিবেচনা করা যাক। এটি মূলত দুটি যাচাইকরণের সাথে জড়িত।

প্রথমটিতে, সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন কি না তা পরীক্ষা করার জন্য আমরা সেটের উপাদানগুলোর এমন রৈখিক সমাবেশ দেখেছি যা শূন্য ভেক্টরের সমান হয়, অর্থাৎ: $c_{1} {\vec{β}}_{1} + c_{2} {\vec{β}}_{2} = (\binom{0}{0})$ । গণনার ফলাফল আমাদের দেখায় যে, এই ধরনের সমাবেশ অনন্য, যেখানে $c_{1}$ অবশ্যই $0$ এবং $c_{2}$ অবশ্যই $0$ হতে হবে।

দ্বিতীয় যাচাইকরণটি হলো—সেটটি পুরো স্পেসটিকে স্প্যান করে কি না। এক্ষেত্রে আমরা এমন রৈখিক সমাবেশগুলো দেখি যা স্পেসের যেকোনো উপাদানের সমান হতে পারে: $c_{1} {\vec{β}}_{1} + c_{2} {\vec{β}}_{2} = (\binom{x}{y})$ । উদাহরণ ১.২ এ আমরা কেবল এটি লক্ষ্য করেছিলাম যে, প্রতিটি $x, y$ এর জন্য এমন $c_{1}, c_{2}$ বিদ্যমান থাকে — অর্থাৎ একটি সমাবেশ পাওয়া সম্ভব। তবে প্রকৃতপক্ষে, এই গণনাটি এটিও দেখায় যে সেই সমাবেশটি অনন্য: $c_{1}$ অবশ্যই $(y - x) / 2$ এবং $c_{2}$ অবশ্যই $2 x - y$ হতে হবে।

সহজ কথায়, প্রথম গণনাটি আসলে দ্বিতীয়টির একটি বিশেষ ক্ষেত্র মাত্র। পরবর্তী ফলাফলটি এটিই বলছে যে, একটি স্প্যানিং সেটের জন্য এটি সাধারণভাবে সত্য। শূন্য ভেক্টরের সমান হওয়া রৈখিক সমাবেশটি কেবল তখনই অনন্য হবে যদি এবং কেবল যদি স্পেসের অন্য যেকোনো ভেক্টরের সমান হওয়া সমাবেশটিও অনন্য হয়।

টেমপ্লেট:TextBox

দুটি সমাবেশকে আমরা একই বলে গণ্য করি যদি তাদের মধ্যে পার্থক্য কেবল উপাদানগুলোর ক্রমবিন্যাসে থাকে অথবা যদি " $0 \cdot \vec{β}$ " আকারের পদ যোগ বা বিয়োগ করা হয়।

টেমপ্লেট:TextBox

c_{1} {\vec{β}}_{1} + c_{2} {\vec{β}}_{2} + \dots + c_{n} {\vec{β}}_{n} = d_{1} {\vec{β}}_{1} + d_{2} {\vec{β}}_{2} + \dots + d_{n} {\vec{β}}_{n}

কেবল তখনই সত্য হয় যদি এবং কেবল যদি

(c_{1} - d_{1}) {\vec{β}}_{1} + \dots + (c_{n} - d_{n}) {\vec{β}}_{n} = \vec{0}

সত্য হয়। এবং নিচের সমীকরণের প্রতিটি সহগ শূন্য হওয়ার দাবি করা আর প্রতিটি $i$ এর জন্য $c_{i} = d_{i}$ হওয়ার দাবি করা একই কথা। }}

টেমপ্লেট:TextBox

আমরা পরবর্তীতে এমন সব ক্ষেত্রে উপস্থাপনা করব যেখানে একাধিক ভিত্তি জড়িত থাকবে। হিসাবের সুবিধার্থে আমরা প্রায়শই কলাম ভেক্টরের সাথে একটি সাবস্ক্রিপ্ট হিসেবে $B$ যুক্ত করব।

টেমপ্লেট:TextBox

উপস্থাপনার প্রধান ব্যবহার আমরা তৃতীয় অধ্যায়ে দেখতে পাব। সংজ্ঞাটি এখানে দেওয়ার কারণ হলো—প্রতিটি ভেক্টরকে একটি ভিত্তির ভেক্টরসমূহের অনন্য রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়, যা ভিত্তির একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য। এছাড়া দুটি পয়েন্ট স্পষ্ট করাও এর উদ্দেশ্য। প্রথমত, আমরা একটি ভিত্তির উপাদানগুলোর ক্রম সুনির্দিষ্ট করি যাতে স্থানাঙ্কগুলো সেই ক্রমানুসারে উল্লেখ করা যায়। দ্বিতীয়ত, স্থানাঙ্ক গণনা এবং অন্যান্য কাজের সুবিধার জন্য আমরা কেবল সসীম সংখ্যক উপাদান বিশিষ্ট ভিত্তি আছে এমন স্পেসগুলোর মধ্যেই আমাদের আলোচনা সীমাবদ্ধ রাখব। আমরা পরবর্তী উপ-বিভাগে এটি দেখতে পাব।