রৈখিক বীজগণিত/ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক পরিচিতি

ডিটারমিনেন্ট হলো একটি ফাংশন যা একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের সাথে যে ক্ষেত্রের উপর এটি সংজ্ঞায়িত তার একটি উপাদান যুক্ত করতে পারে। (সাধারণত বাস্তব বা জটিল সংখ্যা)।

ম্যাট্রিক্স

ম্যাট্রিক্সের সংগঠন

একটি m×n ম্যাট্রিক্স (বহুবচনে matrices) হলো একটি আয়তাকার সারণি যার উপাদানগুলো একটি ক্ষেত্র থেকে নেওয়া হয় (অর্থাৎ প্রতিটি উপাদান সেই ক্ষেত্রের একটি উপাদান)। এখানে m হলো সারির সংখ্যা এবং n হলো কলামের সংখ্যা। যারা ক্ষেত্রের ধারণার সাথে অপরিচিত, তারা এখনকার জন্য ধরে নিতে পারেন যে বৈশিষ্ট্য ০-এর ক্ষেত্র (যাকে আমরা F দিয়ে সূচিত করব) বলতে জটিল সংখ্যার একটি নির্দিষ্ট উপসেটকে বোঝানো হয়েছে।

একটি m×n ম্যাট্রিক্স (m বাই n ম্যাট্রিক্স হিসেবে পড়া হয়) সাধারণত এভাবে লেখা হয়:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$

i-তম সারিটি $F^n$-এর একটি উপাদান, যা nটি উপাদান $\left(\begin{array}{ccc}{a}_{i1}& a_{i2}& \cdots a_{in}\end{array}\right)$ দেখায়। একইভাবে j-তম কলামটি $F^m$-এর একটি উপাদান, যা mটি উপাদান $\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right)$ দেখায়।

এখানে m এবং n কে ম্যাট্রিক্সের মাত্রা (dimensions) বলা হয়। ম্যাট্রিক্সের মাত্রা সবসময় প্রথমে সারির সংখ্যা, তারপর কলামের সংখ্যা দিয়ে দেওয়া হয়। এটিকে m বাই n ম্যাট্রিক্সের ক্রম (order) m×n বলা হয়।

একটি m×n ম্যাট্রিক্স M হলো একটি ফাংশন $M:A\to F$ যেখানে A = {1,2...m} × {1,2...n} এবং F হলো বিবেচ্য ক্ষেত্র। একটি ম্যাট্রিক্সকে ফাংশন হিসেবে না দেখে আয়তাকার সারণি (বা অ্যারে) হিসেবে কল্পনা করা অনেক ভালো।

যে ম্যাট্রিক্সের শুধুমাত্র একটি সারি আছে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স (বা সারি ভেক্টর) বলা হয় এবং যে ম্যাট্রিক্সের শুধুমাত্র একটি কলাম আছে তাকে কলাম ম্যাট্রিক্স (বা কলাম ভেক্টর) বলা হয়। একই ক্রমের দুটি ম্যাট্রিক্স যাদের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলো সমান, সেগুলোকে সমান বলে বিবেচনা করা হয়। ম্যাট্রিক্সের (i,j)-উপাদান (প্রায়শই $A_{ij}$ বা $A_{i,j}$ হিসেবে লেখা হয়) হলো i-তম সারি (উপর থেকে) এবং j-তম কলাম (বাম থেকে)-এর ছেদবিন্দুর উপাদান।

উদাহরণস্বরূপ,

$\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 8\\ 2& 7& 11\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

এটি একটি ৩×৩ ম্যাট্রিক্স (৩ বাই ৩ বলা হয়)। ২য় সারিটি $\left(\begin{array}{ccc}2& 7& 11\end{array}\right)$ এবং ৩য় কলামটি $\left(\begin{array}{c}8\\ 11\\ 1\end{array}\right)$। (২,৩) উপাদান হলো ২য় সারি ও ৩য় কলামের ছেদবিন্দুর উপাদান, অর্থাৎ ১১।

কিছু বিশেষ ধরনের ম্যাট্রিক্স:

• বর্গাকার ম্যাট্রিক্স: যে ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলামের সংখ্যা সমান। ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স যে ম্যাট্রিক্সের মূল ডায়াগোনাল (অর্থাৎ $A_{i,i}$ অবস্থান) ছাড়া অন্য সব উপাদান শূন্য।
• একক ম্যাট্রিক্স বা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স $I_n$ হলো সেই ম্যাট্রিক্স যার ডায়াগোনাল উপাদানগুলো ১ এবং অন্য সব উপাদান ০। গাণিতিকভাবে, আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের $I_{i,j}$ (যা সাধারণত ${\delta }_{i,j}$ হিসেবে লেখা হয় এবং ক্রোনেকার ডেলটা বলা হয়) হলো:

${\delta }_{i,j}=\{\begin{array}{cc}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

উদাহরণস্বরূপ, যদি n = ৩ হয়:

$I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$

• ট্রান্সপোজ: একটি m×n ম্যাট্রিক্স A-এর ট্রান্সপোজ $A^T$ হলো n×m ম্যাট্রিক্স যা সারিগুলোকে কলামে এবং কলামগুলোকে সারিতে রূপান্তর করে গঠিত হয়। অর্থাৎ $A_{i,j}=A_{j,i}^T\mathrm{\forall }i,j$।

উদাহরণ:

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

• সমমিত ম্যাট্রিক্স: যে বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নিজের সমান ($A^T=A$)। উদাহরণ:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& -5\\ 3& -5& 6\end{array}\right]$

• বিপরীত-সমমিত ম্যাট্রিক্স: যে বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নিজের ঋণাত্মকের সমান ($A^T=-A$)। উদাহরণ:

$\left[\begin{array}{ccc}0& -3& 4\\ 3& 0& -5\\ -4& 5& 0\end{array}\right]$

ডিটারমিনেন্ট

n ক্রমের একটি ডিটারমিনেন্ট সংজ্ঞায়িত করতে, ধরুন একটি ক্ষেত্রের $n^2$টি উপাদান $s_{ij}$ আছে যেখানে i এবং j n-এর সমান বা কম। নিম্নলিখিত ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করুন:

S(a₁,a₂,...,aₙ) = বিপর্যয়ের সংখ্যা (যতবার aₙ₁ > aₙ₂ হয়)।

ধরুন ১ থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার একটি বিন্যাস {a₁,a₂,...,aₙ}। তাহলে ডিটারমিনেন্টের একটি পদ হবে (-1)^{S(a₁,a₂,...,aₙ)} s_{1a₁} s_{2a₂} ... s_{naₙ}। সব সম্ভাব্য পদের যোগফলকে (অর্থাৎ সব সম্ভাব্য বিন্যাসের মাধ্যমে) ডিটারমিনেন্ট বলা হয়।

উপপাদ্য

একটি ম্যাট্রিক্স এবং তার ট্রান্সপোজের ডিটারমিনেন্ট সমান:

$det(A^{\mathrm{\top }})=det(A).$

প্রমাণ

সব পদ একই এবং পদগুলোর চিহ্নও অপরিবর্তিত থাকে। সুতরাং যোগফল একই।

উপপাদ্য

দুটি সারি (বা কলাম) পরস্পর বিনিময় করলে ডিটারমিনেন্টের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়:

$det\left[\begin{array}{c}\cdots \\ \text{row A}\\ \cdots \\ \text{row B}\\ \cdots \end{array}\right]=-det\left[\begin{array}{c}\cdots \\ \text{row B}\\ \cdots \\ \text{row A}\\ \cdots \end{array}\right]$.

প্রমাণ

দুটি সারি (বা কলাম) বিনিময় করলে প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। দূরবর্তী সারি বিনিময়ের ক্ষেত্রে একাধিক সংলগ্ন বিনিময়ের মাধ্যমে দেখানো যায় যে মোট বিপর্যয়ের সংখ্যা বিজোড় হয়, ফলে সামগ্রিক চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।

অনুসিদ্ধান্ত

যদি দুটি সারি (বা কলাম) একই হয়, তাহলে ডিটারমিনেন্টের মান ০ হয়।

উপপাদ্য

ডিটারমিনেন্ট সারি ও কলামের উপর রৈখিক:

$det\left[\begin{array}{ccc}\ddots & ⋮& \dots \\ \lambda a_1+\mu b_1& \cdots & \lambda a_n+\mu b_n\\ \cdots & ⋮& \ddots \end{array}\right]=\lambda det\left[\begin{array}{ccc}\ddots & ⋮& \cdots \\ a_1& \cdots & a_n\\ \cdots & ⋮& \ddots \end{array}\right]+\mu det\left[\begin{array}{ccc}\ddots & ⋮& \cdots \\ b_1& \cdots & b_n\\ \cdots & ⋮& \ddots \end{array}\right]$

অনুসিদ্ধান্ত

একটি সারি (বা কলাম)কে অন্য সারি (বা কলাম) এর গুণিতক যোগ করলে ডিটারমিনেন্টের মান অপরিবর্তিত থাকে।

এছাড়া:

• $det(r{I}_n)=r^n$ এবং $det(rA)=r^{n}det(A)$
• একটি ম্যাট্রিক্স বিপর্যয়যোগ্য (invertible) যদি এবং কেবল যদি তার ডিটারমিনেন্ট শূন্য না হয়।
• $det(A^{-1})=det(A{)}^{-1}$
• জটিল ম্যাট্রিক্স এবং তার সংযোগ ট্রান্সপোজের ডিটারমিনেন্ট পরস্পরের সংযোগ:

$det(A^{\ast })=det(A{)}^{\ast }.$