রৈখিক বীজগণিত/রৈখিক অনির্ভরশীলতার সংজ্ঞা ও উদাহরণ

বিস্তৃতি সেট এবং রৈখিক স্বাধীনতা

রৈখিক বীজগণিতের এই ধাপে আমরা প্রথমেই গাণিতিকভাবে এটি বোঝার চেষ্টা করব যে—ঠিক কোন অবস্থায় একটি সেট থেকে কোনো ভেক্টরকে সরিয়ে নিলেও সেই সেটের বিস্তৃতি বা 'স্প্যান' (span) একদম একই থাকে।

টেমপ্লেট:TextBox

উপরে বর্ণিত লেমাটি আমাদের এই শিক্ষা দেয় যে, যদি আমাদের কাছে একটি বিস্তৃতি সেট বা স্প্যানিং সেট থাকে, তবে আমরা সেখান থেকে একটি ভেক্টর $\vec{v}$ সরিয়ে নিয়ে একটি নতুন সেট $S$ গঠন করতে পারি যার বিস্তৃতি অপরিবর্তিত থাকবে। এটি কেবল তখনই সম্ভব যদি এবং কেবল যদি $\vec{v}$ ভেক্টরটি $S$ সেটের ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ হয়। সুতরাং, উপরে বর্ণিত দ্বিতীয় ধারণা অনুযায়ী, একটি বিস্তৃতি সেটকে তখনই 'ন্যূনতম' (minimal) বলা যাবে যদি এবং কেবল যদি এতে এমন কোনো ভেক্টর না থাকে যা ওই সেটেরই অন্যান্য ভেক্টরের রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়। গাণিতিক পরিভাষায় এই অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যটির একটি নির্দিষ্ট নাম রয়েছে।

টেমপ্লেট:TextBox

এই প্রসঙ্গে একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ নিচে তুলে ধরা হলো:

{\vec{s}}_{0} = c_{1} {\vec{s}}_{1} + c_{2} {\vec{s}}_{2} + \dots + c_{n} {\vec{s}}_{n}

যদিও একটি ভেক্টরকে অন্য ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশ (combination) হিসেবে প্রকাশ করার এই পদ্ধতিটি দৃশ্যত ${\vec{s}}_{0}$ -কে অন্যান্য ভেক্টর থেকে আলাদা করে উপস্থাপন করে, তবে বীজগণিতীয় বা গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে ওই সমীকরণে ${\vec{s}}_{0}$ -এর বিশেষ কোনো অনন্য বৈশিষ্ট্য নেই। প্রকৃতপক্ষে, যদি কোনো ভেক্টর ${\vec{s}}_{i}$ -এর সহগ $c_{i}$ অশূন্য (nonzero) হয়, তবে আমরা সেই গাণিতিক সম্পর্কটিকে এমনভাবে আবার সাজিয়ে লিখতে পারি যাতে ${\vec{s}}_{i}$ ভেক্টরটি সমীকরণের একপাশে এককভাবে অবস্থান করে এবং বাকি ভেক্টরগুলো অন্যপাশে চলে যায়।

{\vec{s}}_{i} = (1 / c_{i}) {\vec{s}}_{0} + (- c_{1} / c_{i}) {\vec{s}}_{1} + \dots + (- c_{n} / c_{i}) {\vec{s}}_{n}

টেমপ্লেট:Anchorযখন আমরা সমীকরণের একপাশে কোনো নির্দিষ্ট ভেক্টরকে আলাদাভাবে না লিখে বরং সবগুলোকে একত্রে বিবেচনা করতে চাই, তখন আমরা বলি যে ${\vec{s}}_{0}, {\vec{s}}_{1}, \dots, {\vec{s}}_{n}$ ভেক্টরগুলো একটি রৈখিক সম্পর্ক বা লিনিয়ার রিলেশনশিপ (linear relationship)-এর মধ্যে রয়েছে। এক্ষেত্রে আমরা সমীকরণের একই পাশে সমস্ত ভেক্টরকে বিন্যস্ত করে সম্পর্কটি প্রকাশ করি। পরবর্তী ফলাফলটি রৈখিক অনির্ভরশীলতার (linear independence) সংজ্ঞাকে এই বিশেষ শৈলীতে নতুনভাবে ব্যাখ্যা করে। কোনো একটি সসীম সেট (finite set) রৈখিকভাবে নির্ভরশীল নাকি অনির্ভরশীল, তা গাণিতিকভাবে নির্ণয় করার জন্য এটিই সাধারণত সবচেয়ে সহজ ও কার্যকর পদ্ধতি হিসেবে বিবেচিত হয়।

টেমপ্লেট:TextBox

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে এটি স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয় যে, $c_{1}$ এবং $c_{2}$ উভয় ধ্রুবকের মানই শূন্য। এর ফলশ্রুতিতে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, প্রদত্ত সারি ভেক্টর (row vectors) দুটির মধ্যে বিদ্যমান একমাত্র রৈখিক সম্পর্কটি হলো তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল সম্পর্ক (trivial relationship)।

একই ভেক্টর জগতের (vector space) প্রেক্ষাপটে বিবেচনা করলে দেখা যায় যে, ${(\begin{matrix} 40 & 15 \end{matrix}), (\begin{matrix} 20 & 7.5 \end{matrix})}$ সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল । এর কারণ হলো, আমরা নিচের সমীকরণটি সিদ্ধ করতে সক্ষম হই:

c_{1} (\begin{matrix} 40 & 15 \end{matrix}) + c_{2} \cdot (\begin{matrix} 20 & 7.5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix})

এখানে $c_{1} = 1$ এবং $c_{2} = - 2$ মানগুলো গ্রহণ করলে সমীকরণটি সঠিকভাবে মিলে যায়, যা প্রমাণ করে যে ভেক্টরগুলো একে অপরের ওপর নির্ভরশীল। }}

টেমপ্লেট:TextBox

উপরের উদাহরণগুলো, বিশেষ করে উদাহরণ ১.৫, এই পরিচ্ছেদের শুরুতে করা আলোচনাগুলোকে আরও জোরালোভাবে প্রতিষ্ঠিত করে। পরবর্তী ফলাফলটি আমাদের জানায় যে, কোনো সসীম সেট দেওয়া থাকলে, মন্তব্য ১.৬-এ উল্লিখিত তথাকথিত "পুনরাবৃত্তি" (repeats) বা অতিরিক্ত উপাদানগুলো বর্জন করার মাধ্যমে আমরা একটি রৈখিক অনির্ভরশীল উপসেট তৈরি করতে পারি।

টেমপ্লেট:TextBox

S_{1} = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})}

এই প্রক্রিয়াটি স্প্যান বা ব্যাপ্তিকে অপরিবর্তিত রাখে, অর্থাৎ গাণিতিকভাবে $[S_{1}] = [S]$ । এখন লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে, $S_{1}$ সেটের তৃতীয় ভেক্টরটি আসলে প্রথম দুটি ভেক্টরের একটি রৈখিক সমাবেশ (linear combination) হিসেবে বিদ্যমান, এবং এর ফলে আমরা পাই:

S_{2} = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})}

এই নতুন সেটটির স্প্যান বা ব্যাপ্তি $S_{1}$ -এর মতোই রয়ে গেছে, এবং ফলস্বরূপ এটি মূল সেট $S$ -এর স্প্যানের সাথেও অভিন্ন। তবে এখানে একটি মৌলিক পার্থক্য বিদ্যমান। $S_{2}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন বা লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট (এটি খুব সহজেই যাচাই করা সম্ভব), এবং এর ফলে এই সেটের যেকোনো একটি উপাদানকে বর্জন বা বাদ দিলে এর স্প্যান বা ব্যাপ্তি সংকুচিত হয়ে যাবে। }}

রৈখিক স্বাধীনতা এবং উপসেট সম্পর্ক

উপপাদ্য ১.১২-তে মূলত উপসেট গ্রহণের মাধ্যমে বা সেটকে সংকুচিত করার মাধ্যমে কীভাবে একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট তৈরি করা যায়, তার গাণিতিক বর্ণনা প্রদান করা হয়েছে। আমরা এই উপ-অনুচ্ছেদটি শেষ করব রৈখিক স্বাধীনতা এবং রৈখিক নির্ভরশীলতা—যা মূলত সেট বা সংকলনের বিশেষ বৈশিষ্ট্য—সেগুলোর সাথে সেটের উপসেট সম্পর্কের পারস্পরিক ক্রিয়া-প্রতিক্রিয়া পর্যালোচনার মাধ্যমে।

টেমপ্লেট:TextBox

অন্যভাবে পুনরুল্লেখ করলে বলা যায় যে, উপসেট প্রক্রিয়ার মাধ্যমে রৈখিক স্বাধীনতা সংরক্ষিত থাকে এবং সুপারসেট বা অধি-সেট প্রক্রিয়ার মাধ্যমে রৈখিক নির্ভরশীলতা সংরক্ষিত হয়।

আমরা যে চারটি সম্ভাব্য পারস্পরিক সম্পর্কের কথা বিবেচনা করতে পারি, তার মধ্যে এগুলো হলো দুটি ক্ষেত্র। তৃতীয় ক্ষেত্রটি হলো—উপসেট প্রক্রিয়ার মাধ্যমে রৈখিক নির্ভরশীলতা সংরক্ষিত হয় কি না। এই বিষয়টি মূলত উদাহরণ ১.১৩-তে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে, যেখানে একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট $S$ -এর এমন একটি উপসেট $S_{1}$ দেখানো হয়েছে যা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, আবার অন্য একটি উপসেট $S_{2}$ দেখানো হয়েছে যা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

এর ফলে আর একটি মাত্র ক্ষেত্র বাকি থাকে, তা হলো—সুপারসেট বা অধি-সেট প্রক্রিয়ার মাধ্যমে রৈখিক স্বাধীনতা সংরক্ষিত হয় কি না। পরবর্তী উদাহরণটি এই বিশেষ ক্ষেত্রে কী ঘটতে পারে তা স্পষ্টভাবে প্রদর্শন করে।

{{TextBox|1=

উদাহরণ ১.১৫টেমপ্লেট:Anchor

নিচের তিনটি অনুচ্ছেদের প্রতিটিতেই উপসেট $S$ রৈখিকভাবে স্বাধীন হিসেবে বিবেচিত হয়েছে।

নিম্নোক্ত সেটটির ক্ষেত্রে:

S = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}

এর স্প্যান বা ব্যাপ্তি $[S]$ হলো ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার $x$ অক্ষ। এখানে $S$ -এর দুটি সুপারসেট বা অধি-সেট দেখানো হলো, যার একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং অন্যটি রৈখিকভাবে স্বাধীন।

নির্ভরশীল (dependent): ${(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}$ স্বাধীন (independent): ${(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}$

এই সেটগুলোর নির্ভরশীলতা বা স্বাধীনতা যাচাই করা অত্যন্ত সহজসাধ্য কাজ।

আবার, নিচের সেটটির ক্ষেত্রে:

S = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}

এখানে স্প্যান বা বিস্তার $[S]$ হলো মূলত $x y$ সমতল। নিচে এর দুটি সুপারসেট বা অধি-সেট (superset) উদাহরণ হিসেবে উপস্থাপন করা হলো।

নির্ভরশীল (dependent): ${(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})}$ স্বাধীন (independent): ${(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}$

ধরা যাক, যদি সেটটি এমন হয় যে:

S = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}

তবে এই ক্ষেত্রে সেটটির স্প্যান হবে সমগ্র ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় জগত বা $[S] = ℝ^{3}$ । এই সেটের একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সুপারসেট নিচে দেখানো হলো:

নির্ভরশীল (dependent): ${(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})}$

কিন্তু লক্ষ্যণীয় বিষয় হলো, $S$ -এর এমন কোনো সুপারসেট বা অধি-সেট নেই যা রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে পারে। এর গাণিতিক কারণটি হলো, একটি সুপারসেট তৈরি করার জন্য আমরা যে ভেক্টরটিই যোগ করি না কেন, রৈখিক নির্ভরশীলতার সমীকরণটি নিম্নরূপ হবে:

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + c_{2} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + c_{3} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

এই সমীকরণটির সর্বদা একটি সুনির্দিষ্ট সমাধান থাকবে যেখানে $c_{1} = x$ , $c_{2} = y$ , এবং $c_{3} = z$ । অর্থাৎ, নতুন ভেক্টরটি সর্বদা পূর্ববর্তী ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশিত হবে।

সুতরাং, সাধারণভাবে বলা যায় যে, একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের এমন একটি সুপারসেট থাকতে পারে যা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। আবার, ক্ষেত্রবিশেষে একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের এমন সুপারসেটও থাকতে পারে যা নিজেও রৈখিকভাবে স্বাধীন। একটি সুপারসেট কখন স্বাধীন হবে আর কখন নির্ভরশীল হবে, সেই বৈশিষ্ট্যকে আমরা গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি।

টেমপ্লেট:TextBox

(এই ফলাফলটিকে লেমা ১.১-এর সাথে তুলনা করা যেতে পারে। স্থূলভাবে বলতে গেলে, উভয় ক্ষেত্রেই এটি নির্দেশ করা হয়েছে যে, যদি $\vec{v}$ ভেক্টরটি $S$ সেটের স্প্যানের (span) অন্তর্ভুক্ত হয়, তবে সেটিকে একটি "পুনরাবৃত্তি" (repeat) হিসেবে গণ্য করা হয়। তবে এখানে একটি বিশেষ বিষয় লক্ষণীয় যে, বর্তমান আলোচনায় রৈখিক স্বাধীনতার (linear independence) একটি অতিরিক্ত শর্ত বা অনুমিতি যুক্ত করা হয়েছে।)

টেমপ্লেট:TextBox

লেমা ১.১৬-কে রৈখিক নির্ভরশীলতার পরিবর্তে রৈখিক স্বাধীনতার প্রেক্ষাপটে নতুনভাবে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। যদি $S$ একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট হয় এবং $\vec{v} \in̸ S$ হয়, তবে বর্ধিত সেট $S \cup {\vec{v}}$ তখনই রৈখিকভাবে স্বাধীন থাকবে যদি এবং কেবল যদি $\vec{v}$ ভেক্টরটি $S$ -এর স্প্যান বা $[S]$ -এর অন্তর্ভুক্ত না হয়। আবার লেমা ১.১ প্রয়োগ করে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, যদি $S$ রৈখিকভাবে স্বাধীন হয় এবং $\vec{v} \in̸ S$ হয়, তবে $S \cup {\vec{v}}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হওয়ার জন্য অপরিহার্য শর্ত হলো $[S \cup {\vec{v}}] \neq [S]$ হওয়া। সংক্ষেপে বলতে গেলে, যখন আমরা কোনো সেট $S$ থেকে তার একটি সুপারসেট (superset) $S_{1}$ -এ উন্নীত হই, তখন রৈখিক স্বাধীনতা বজায় রাখার জন্য আমাদের অবশ্যই ভেক্টরগুলোর স্প্যানকে প্রসারিত করতে হবে, অর্থাৎ $[S_{1}] \supset [S]$ হতে হবে।

উদাহরণ ১.১৫ থেকে এটি স্পষ্ট হয় যে, কিছু রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট 'ম্যাক্সিমাল' (maximal) বা সর্বোচ্চ পর্যায়ের হয়ে থাকে। এর অর্থ হলো, ওই সেটগুলোতে সম্ভাব্য সর্বোচ্চ সংখ্যক উপাদান বিদ্যমান এবং এমন কোনো সুপারসেট গঠন করা সম্ভব নয় যা একইসাথে রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের যুক্তি অনুযায়ী, একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট তখনই ম্যাক্সিমাল হবে যদি এবং কেবল যদি সেটি সমগ্র ভেক্টর জগতকে স্প্যান করতে সক্ষম হয়। কারণ সেক্ষেত্রে এমন কোনো ভেক্টর অবশিষ্ট থাকে না যা ইতিমধ্যে ওই স্প্যানের অন্তর্ভুক্ত নয়।

নিচের এই সারণিটি রৈখিক স্বাধীনতা ও নির্ভরশীলতার বৈশিষ্ট্যের সাথে উপসেট (subset) এবং সুপারসেটের (superset) পারস্পরিক সম্পর্কের একটি সংক্ষিপ্ত সারসংক্ষেপ উপস্থাপন করছে।

S_{1} \subset S

S_{1} \supset S

$S$ অনির্ভরশীল

$S_{1}$ অবশ্যই অনির্ভরশীল হবে	$S_{1}$ যেকোনোটি হতে পারে
$S_{1}$ যেকোনোটি হতে পারে	$S_{1}$ অবশ্যই নির্ভরশীল হবে

$S$ নির্ভরশীল

এই সারণিটি প্রস্তুত করার মাধ্যমে আমরা রৈখিক অনির্ভরশীলতা (linear independence) এবং স্প্যান (span)-এর মধ্যে বিদ্যমান একটি অত্যন্ত নিবিড় ও গভীর সম্পর্ক উন্মোচন করতে সক্ষম হয়েছি। একটি স্প্যানিং সেট বা বিস্তারকারী সেট তখনই ন্যূনতম (minimal) হিসেবে গণ্য হয় যদি এবং কেবল যদি সেটি রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল হয়—এই প্রতিষ্ঠিত গাণিতিক সত্যটির পরিপূরক হিসেবে আমরা এখানে দেখতে পাই যে, একটি রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল সেট তখনই সর্বোচ্চ বা গরিষ্ঠ (maximal) হয় যদি এবং কেবল যদি সেটি সংশ্লিষ্ট ভেক্টর জগতকে (space) স্প্যান বা বিস্তার করে। মূলত এই দুটি ধারণা একে অপরের সাথে ওতপ্রোতভাবে জড়িত।

সারসংক্ষেপ হিসেবে বলা যায় যে, একটি স্প্যানিং সেটের ন্যূনতম হওয়ার গাণিতিক ধারণাটিকে একটি সুনির্দিষ্ট ও আনুষ্ঠানিক রূপ দেওয়ার উদ্দেশ্যেই আমরা রৈখিক অনির্ভরশীলতার সংজ্ঞাটি এখানে বিস্তারিতভাবে উপস্থাপন করেছি। এই মৌলিক ধারণার ওপর ভিত্তি করে আমরা রৈখিক বীজগণিতের বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক বৈশিষ্ট্য ও ধর্মাবলি বিশ্লেষণ করেছি। এগুলোর মধ্যে সবচেয়ে তাৎপর্যপূর্ণ ও উল্লেখযোগ্য হলো লেমা ১.১৬ (Lemma 1.16); এই লেমাটি আমাদের স্পষ্টভাবে এই শিক্ষা প্রদান করে যে, একটি রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল সেট তখনই গরিষ্ঠতা বা পূর্ণতা লাভ করে যখন এটি সমগ্র জগতটিকে স্প্যান করতে বা বিস্তার করতে সক্ষম হয়।