রৈখিক বীজগণিত/সমাধান সেট বর্ণনা

টেমপ্লেট:Navigation একটি অনন্য সমাধান বিশিষ্ট লিনিয়ার সিস্টেমের সমাধান সেটে একটি মাত্র উপাদান থাকে। যে লিনিয়ার সিস্টেমের কোনো সমাধান নেই, তার সমাধান সেট ফাঁকা। এই ক্ষেত্রগুলোতে সমাধান সেট বর্ণনা করা সহজ। সমাধান সেট বর্ণনা করা কেবল তখনই চ্যালেঞ্জিং হয়ে দাঁড়ায় যখন সেটিতে অনেক উপাদান থাকে।

উপরের উদাহরণে প্রাপ্ত একলন ফর্মের সিস্টেমে $x$ এবং $y$ হলো লিডিং চলক এবং $z$ হলো একটি স্বাধীন চলক।

টেমপ্লেট:Anchor সমাধানের একটি পরিবারকে বর্ণনা করতে যে চলক ব্যবহার করা হয়, তাকে আমরা একটি প্যারামিটার বলি এবং আমরা বলি যে উপরের সেটটি $y$ এবং $w$ দ্বারা প্যারামিটারাইজড করা হয়েছে। ("প্যারামিটার" এবং "ফ্রি ভ্যারিয়েবল" বা "স্বাধীন চলক" শব্দ দুটি এক অর্থ প্রকাশ করে না। উপরে, $y$ এবং $w$ হলো স্বাধীন চলক কারণ একলন ফর্মের সিস্টেমে তারা কোনো সারির শুরুতে নেই বা কোনো সারিকে লিড করে না। আবার তারা প্যারামিটারও কারণ সমাধান সেটের বর্ণনায় তাদের ব্যবহার করা হয়েছে। আমরা এর পরিবর্তে দ্বিতীয় সমীকরণটিকে $w=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}z$ হিসেবে পুনর্লিখন করে $y$ এবং $z$ দ্বারাও প্যারামিটারাইজড করতে পারতাম। সেই ক্ষেত্রে, স্বাধীন চলকগুলো তখনও $y$ এবং $w$ ই থাকত কিন্তু প্যারামিটারগুলো হতো $y$ এবং $z$। লক্ষ্য করুন যে, আমরা $x$ এবং $y$ দ্বারা এটিকে প্যারামিটারাইজড করতে পারতাম না, তাই আমাদের কখনো কখনো প্যারামিটার নির্বাচনের ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধতা থাকে। "প্যারামিটার" এবং "স্বাধীন" পদ দুটি পরস্পর সম্পর্কিত কারণ আমরা এই অধ্যায়ের শেষের দিকে দেখাব যে, একটি সিস্টেমের সমাধান সেটকে সর্বদা এর স্বাধীন চলকগুলো দ্বারা প্যারামিটারাইজড করা যায়। ফলস্বরূপ, আমরা আমাদের সমস্ত বর্ণনাকে এই পদ্ধতিতেই প্যারামিটারাইজড করব।)

আমরা লিনিয়ার সিস্টেম এবং তাদের সমাধান সেটগুলোর জন্য এমন কিছু প্রতীক বা নোটেশন (notation) তৈরির মাধ্যমে এই উপবিভাগটি শেষ করব, যা আমরা এই বইয়ের বাকি অংশে ব্যবহার করব।

ম্যাট্রিক্সগুলোকে সাধারণত ইংরেজি বড় হাতের অক্ষর (যেমন: $A$) দ্বারা নামকরণ করা হয়। প্রতিটি ভুক্তিকে তার অনুরূপ ছোট হাতের অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেমন: $a_{i,j}$ হলো ওই বিন্যাসের $i$-তম সারি এবং $j$-তম কলামের সংখ্যাটি। উদাহরণস্বরূপ,

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2.2& 5\\ 3& 4& -7\end{array}\right)$

এই ম্যাট্রিক্সটির দুটি সারি এবং তিনটি কলাম রয়েছে। তাই এটি একটি $2\times 3$ ম্যাট্রিক্স (এটিকে "টু-বাই-থ্রি" পড়তে হবে; সারির সংখ্যাটি সবসময় প্রথমে উল্লেখ করা হয়)। এর দ্বিতীয় সারি এবং প্রথম কলামের ভুক্তিটি হলো $a_{2,1}=3$। লক্ষ্য করুন যে, সাবস্ক্রিপ্ট বা সূচকের ক্রমটি এখানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ: $a_{1,2}\ne a_{2,1}$, কারণ $a_{1,2}=2.2$ (বিন্যাসটির দুই পাশের বন্ধনীগুলো মূলত টাইপোগ্রাফিক বা মুদ্রণশৈলীর একটি কৌশল, যাতে দুটি ম্যাট্রিক্স পাশাপাশি থাকলে আমরা বুঝতে পারি যে কোথায় একটি শেষ হয়েছে এবং অন্যটি শুরু হয়েছে)।

এই বইয়ের সর্বত্র ম্যাট্রিক্সের ব্যবহার রয়েছে। আমরা $n\times m$ আকারের ম্যাট্রিক্সের সংগ্রহ বা সেটকে প্রকাশ করতে ${ℳ}_{n\times m}$ প্রতীকটি ব্যবহার করব।

সমাধান সেটের বর্ণনাগুলোকে আরও স্পষ্ট ও সহজবোধ্য করতেও আমরা এই বিন্যাস বা অ্যারে নোটেশন ব্যবহার করব। উদাহরণ ২.৩ এ প্রাপ্ত $\{(2-2z+2w,-1+z-w,z,w)|z,w\in ℝ\}$ এর মতো বর্ণনাগুলো পড়া বেশ কঠিন। তাই আমরা এটিকে পুনর্লিখন করব, যেখানে সমস্ত ধ্রুবকগুলোকে একসাথে $z$ এর সমস্ত সহগগুলোকে একসাথে এবং $w$ এর সমস্ত সহগগুলোকে একসাথে দলভুক্ত করা হবে। আমরা এগুলোকে এক কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সে উল্লম্বভাবে লিখব।

$\{\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)z+\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right)w|z,w\in ℝ\}$

উদাহরণস্বরূপ, এর শীর্ষ বা প্রথম সারিটি নির্দেশ করে যে $x=2-2z+2w$। পরবর্তী অনুচ্ছেদে একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া হয়েছে, যা সমাধান সেটগুলোকে এভাবে লেখা হলে তা মনে মনে বা চিত্রে কল্পনা করতে আমাদের সাহায্য করবে।

ম্যাট্রিক্সকে ইংরেজি বড় হাতের অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করার সাধারণ নিয়মের ক্ষেত্রে ভেক্টরগুলো একটি ব্যতিক্রম। ভেক্টর প্রকাশের জন্য আমরা ছোট হাতের ইংরেজি বা গ্রিক অক্ষরের ওপর তীর চিহ্ন ব্যবহার করি: যেমন $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ... অথবা $\overrightarrow{\alpha },\overrightarrow{\beta }$ ... (ভোল্ডফেস বা গাঢ় অক্ষরের ব্যবহারও বেশ প্রচলিত: যেমন $𝐚$ বা $𝜶$)। উদাহরণস্বরূপ, নিচে একটি কলাম ভেক্টর দেওয়া হলো যার তৃতীয় উপাংশটি হলো $7$।

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 7\end{array}\right)$

সমাধান সেট বর্ণনার যে শৈলী বা স্টাইল আমরা ব্যবহার করি, তাতে ভেক্টরগুলোর যোগ করার পাশাপাশি সেগুলোকে বাস্তব সংখ্যা (যেমন $z$ এবং $w$) দ্বারা গুণ করার প্রয়োজন পড়ে। আমাদের এই অপারেশন বা প্রক্রিয়াগুলোর সংজ্ঞা নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

স্কেলার গুণনকে যেকোনো ক্রমে লেখা যেতে পারে: $r\cdot \overrightarrow{v}$ অথবা $\overrightarrow{v}\cdot r$ কিংবা "$\cdot$" প্রতীকটি ছাড়াও লেখা যায়: $r\overrightarrow{v}$। (স্কেলার গুণনকে "স্কেলার প্রোডাক্ট" বা "স্কেলার গুণফল" হিসেবে উল্লেখ করবেন না কারণ ওই নামটি সম্পূর্ণ ভিন্ন একটি অপারেশনের ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়।)

লক্ষ্য করুন যে, ভেক্টর যোগ এবং স্কেলার গুণনের সংজ্ঞাদুটি যেখানে একে অপরের সাথে মিলে যায় সেখানে তাদের ফলাফল একই হয়; যেমন— $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{v}$।

প্রতীক বা নোটেশনগুলোর সংজ্ঞা নির্ধারণ করার পর, আমরা এখন লিনিয়ার সিস্টেমগুলোকে এমন পদ্ধতিতে সমাধান করতে পারব যা আমরা এই বইয়ের বাকি অংশ জুড়ে ব্যবহার করব।

অনুশীলনীতে যাওয়ার আগে, আমরা এমন কিছু বিষয় উল্লেখ করার জন্য একটু থামব যা আমাদের এখনও করা বাকি রয়েছে।

প্রথম দুটি উপবিভাগ মূলত গাউসের পদ্ধতির কার্যপ্রণালী বা মেকানিক্সের ওপর কেন্দ্র করে সাজানো হয়েছিল। একটি মাত্র ফলাফল—উপপাদ্য ১.৪ ব্যতীত (যা ছাড়া এই পদ্ধতিটি তৈরি করার কোনো অর্থই হয় না, কারণ এটি নিশ্চিত করে যে পদ্ধতিটি সঠিক উত্তর দেয়) — আমরা এর থেকে উত্থাপিত কোনো আকর্ষণীয় প্রশ্ন নিয়ে গভীরভাবে ভাবার জন্য থামিনি।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা কি সমাধান সেটগুলোকে সর্বদা ওপরের মতো করে বর্ণনা করতে পারি, যেখানে একটি বিশেষ সমাধান ভেক্টরের সাথে অন্য কিছু ভেক্টরের অবাধ রৈখিক সমাবেশ যোগ করা থাকবে? আমরা যে সমাধান সেটগুলোকে অবাধ বা মুক্ত প্যারামিটার দিয়ে বর্ণনা করেছি, সেগুলোর যে অসংখ্য সমাধান রয়েছে তা সহজেই বোঝা গিয়েছিল। তাই এই প্রশ্নের উত্তরটি আমাদের সমাধান সেটের আকার বা পরিধি সম্পর্কে ধারণা দিতে পারে। সেই উত্তরটি আমাদের ${ℝ}^2$ অথবা ${ℝ}^3$ ইত্যাদিতে সমাধান সেটগুলোকে মনে মনে বা চিত্রে কল্পনা করতেও সাহায্য করতে পারে।

গাউসের পদ্ধতি একের অধিক উপায়ে করা সম্ভব—এই পর্যবেক্ষণটি থেকে অনেক প্রশ্ন উঁকি দেয় (যেমন, সারি বিনিময়ের বা সোয়াপ করার সময় কোন সারির সাথে বিনিময় করা হবে, সে বিষয়ে আমাদের একাধিক পছন্দ থাকতে পারে)। উপপাদ্য ১.৪ বলে যে, আমরা যে পথেই অগ্রসর হই না কেন, সমাধান সেট সর্বদা একই আসবে। কিন্তু আমরা যদি দুটি ভিন্ন উপায়ে গাউসের পদ্ধতিটি সম্পন্ন করি তবে উভয় ক্ষেত্রেই কি আমরা সমান সংখ্যক স্বাধীন চলক পাব? অর্থাৎ, যেকোনো দুটি সমাধান সেটের বর্ণনায় কি প্যারামিটারের সংখ্যা সবসময় একই হবে? আবার চলকগুলোও কি হুবহু একই হতে হবে? (উদাহরণস্বরূপ, এমনটি হওয়া কি অসম্ভব যে — একটি উপায়ে সমাধান করতে গিয়ে $y$ ও $w$ স্বাধীন চলক হিসেবে পাওয়া গেল এবং আর অন্য উপায়ে সমাধান করে $y$ ও $z$ স্বাধীন চলক হিসেবে পাওয়া গেল?)

এই অধ্যায়ের বাকি অংশে আমরা এই প্রশ্নগুলোর উত্তর দেব। এর প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর হলো "হ্যাঁ"। প্রথম প্রশ্নটির উত্তর দেওয়া হয়েছে এই সেকশনের শেষ উপবিভাগে। দ্বিতীয় সেকশনে আমরা সমাধান সেটগুলোর একটি জ্যামিতিক বর্ণনা তুলে ধরব। আর এই অধ্যায়ের শেষ সেকশনে আমরা সর্বশেষ প্রশ্নগুলোর মুখোমুখি হব। ফলস্বরূপ, প্রথম অধ্যায়ের শেষে আমরা কেবল গাউসের পদ্ধতির বাস্তব প্রয়োগেই একটি মজবুত ভিত্তি লাভ করব না বরং এর তাত্ত্বিক দিক থেকেও আমাদের ভিত্তি অত্যন্ত সুদৃঢ় হবে। একটি রিডাকশন বা হ্রাসের প্রক্রিয়ায় কী ঘটতে পারে এবং কী ঘটতে পারে না সে বিষয়ে আমরা নিশ্চিত হতে পারব।