রৈখিক বীজগণিত/সারি সমতুল্যতা

টেমপ্লেট:Navigation আমরা এই অনুচ্ছেদ এবং এই অধ্যায়টি শেষ করব প্রমাণ করে যে, প্রতিটি ম্যাট্রিক্স একটি এবং কেবলমাত্র একটি সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সের সাথে সারি সমতুল্য। এখানে যে ধারণাগুলো উপস্থিত হচ্ছে, পরবর্তী অধ্যায়ে তা পুনরাবির্ভূত হবে এবং আরও বিকশিত হবে।

এখানে অন্তর্নিহিত মূলভাবটি হলো, একটি গাণিতিক পরিস্থিতি বোঝার একটি উপায় হলো ঘটতে পারে এমন বিভিন্ন ক্ষেত্রগুলোকে শ্রেণিবদ্ধ করতে পারা। আমরা ইতিমধ্যে এই মূলভাবটির সাথে কয়েকবার পরিচিত হয়েছি। আমরা রৈখিক সিস্টেমগুলোর সমাধান সেটগুলোকে শূন্য-উপাদান, এক-উপাদান, এবং অসীম-অনেক-উপাদান-এর ক্ষেত্রে শ্রেণিবদ্ধ করেছি। আমরা অজানা সংখ্যার সমান সমীকরণ সংখ্যাবিশিষ্ট রৈখিক সিস্টেমগুলোকে অনাবাচক এবং সাংবাচক ক্ষেত্রে শ্রেণিবদ্ধ করেছি। আমরা এই শ্রেণিবিভাগগুলো গ্রহণ করেছি কারণ এগুলো আমাদের তদন্তাধীন পরিস্থিতিগুলো বোঝার একটি উপায় দেয়। এখানে, যেখানে আমরা সারি সমতুল্যতা তদন্ত করছি, আমরা জানি যে সকল ম্যাট্রিক্সের সেট সারি সমতুল্যতার শ্রেণিগুলোতে বিভক্ত হয়। যখন আমরা এখানে প্রমাণ শেষ করব, তখন আমাদের কাছে এই প্রতিটি শ্রেণি বোঝার একটি উপায় থাকবে— এর ম্যাট্রিক্সগুলোকে সেই শ্রেণির অনন্য সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্স থেকে সারি অপারেশন দ্বারা উৎপন্ন হিসেবে ভাবা যেতে পারে।

সারি অপারেশন কীভাবে একটি ম্যাট্রিক্সকে আরেকটিতে রূপান্তরিত করে তা বোঝার জন্য, আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের অংশগুলোর উপর তাদের প্রভাব বিবেচনা করি। গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ হলো যে সারি অপারেশনগুলো সারিগুলোকে রৈখিকভাবে সংযুক্ত করে।

(আমরা ইতিমধ্যে এই বইতে "রৈখিক সংমিশ্রণ" বাক্যাংশটি ব্যবহার করেছি। অর্থ অপরিবর্তিত, কিন্তু পরবর্তী ফলাফলের বিবৃতিটি যথাযথভাবে আরও আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা তৈরি করে।)

এই উপ-অনুচ্ছেদে আমরা সেই রীতি ব্যবহার করব যে, যখন কোনো ম্যাট্রিক্সের নাম বড় হাতের রোমান অক্ষরে দেওয়া হয়, তখন সংশ্লিষ্ট ছোট হাতের গ্রিক অক্ষরটি সারিগুলোর নামকরণ করে।

$A=\left(\begin{array}{c}\cdots {\alpha }_1\cdots \\ \cdots {\alpha }_2\cdots \\ ⋮\\ \cdots {\alpha }_m\cdots \end{array}\right)B=\left(\begin{array}{c}\cdots {\beta }_1\cdots \\ \cdots {\beta }_2\cdots \\ ⋮\\ \cdots {\beta }_m\cdots \end{array}\right)$

নিচের প্রমাণটি একটি ম্যাট্রিক্স থেকে অপরটিতে রূপান্তরের জন্য ব্যবহৃত সারি অপারেশনের সংখ্যার উপর আরোহণ ব্যবহার করে। শুরু করার আগে, এখানে যুক্তিটির একটি রূপরেখা দেওয়া হলো (আরোহণের সাথে অপরিচিত পাঠকরা এই যুক্তিটিকে "$\text{General}=\text{Particular}+\text{Homogeneous}$" প্রমাণে ব্যবহৃত যুক্তিটির সাথে তুলনা করতে পারেন)। প্রথমে, যুক্তিটির ভিত্তি ধাপের জন্য, আমরা যাচাই করব যে যখন শূন্য সারি অপারেশনে রূপান্তর করা যায় তখন প্রস্তাবটি সত্য। দ্বিতীয়ত, আরোহ ধাপের জন্য, আমরা যুক্তি দিব যে যদি প্রথম ম্যাট্রিক্সটিকে $t\ge 0$ সংখ্যক অপারেশনে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা যায় তাহলে বোঝায় যে দ্বিতীয়টির প্রতিটি সারি প্রথমটির সারিগুলোর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ, তাহলে প্রথমটিকে $t+1$ অপারেশনে দ্বিতীয়টিতে রূপান্তর করা গেলেও একই কথা প্রযোজ্য। একত্রে, এই ভিত্তি ধাপ ও আরোহ ধাপ এই ফলাফলটি প্রমাণ করে কারণ ভিত্তি ধাপ অনুসারে শূন্য অপারেশনের ক্ষেত্রে প্রস্তাবটি সত্য, এবং আরোহ ধাপ অনুযায়ী শূন্য অপারেশনের ক্ষেত্রে এটি সত্য হওয়ার অর্থ এই যে এটি এক অপারেশনের ক্ষেত্রেও সত্য, এবং আরোহ ধাপটি আবার প্রয়োগ করলে পাওয়া যায় যে এটি দুই অপারেশনের ক্ষেত্রেও সত্য, ইত্যাদি।

পূর্ববর্তী ফলাফল আমাদের এই অন্তর্দৃষ্টি দেয় যে গাউসের পদ্ধতি সারিগুলোর রৈখিক সংমিশ্রণ নিয়ে কাজ করে। কিন্তু কী উদ্দেশ্যে; কেন আমরা একটি রৈখিক সিস্টেমের বিশেষভাবে সরল বা মৌলিক সংস্করণ হিসেবে সোপান আকারে যাই? উত্তর অবশ্যই, সোপান আকার পশ্চাৎ প্রতিস্থাপনের জন্য উপযুক্ত, কারণ আমরা চলকগুলোকে বিচ্ছিন্ন করেছি। উদাহরণস্বরূপ, এই ম্যাট্রিক্সে

$R=\left(\begin{array}{cccccc}2& 3& 7& 8& 0& 0\\ 0& 0& 1& 5& 1& 1\\ 0& 0& 0& 3& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2& 1\end{array}\right)$

$x_1$ কে $x_5$-এর সমীকরণ থেকে সরিয়ে ফেলা হয়েছে। অর্থাৎ, গাউসের পদ্ধতি $x_5$-এর সারিটিকে $x_1$-এর সারি থেকে স্বাধীন করেছে।

সারি ভেক্টর বা যেকোনো ধরনের ভেক্টরের সংগ্রহের স্বাধীনতা পরবর্তী অধ্যায়ে সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত ও অন্বেষণ করা হবে। কিন্তু এর একটি প্রাথমিক ধারণা হলো আমরা দেখাতে পারি যে, বলুন, উপরের তৃতীয় সারিটি অন্যান্য সারিগুলো দ্বারা গঠিত নয়, যে ${\rho }_3\ne c_1{\rho }_1+c_2{\rho }_2+c_4{\rho }_4$। কারণ, ধরুন $c_1$, $c_2$, এবং $c_4$ এরকম স্কেলার আছে যে এই সম্পর্কটি ধারণ করে।

$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 3& 3& 0\end{array}\right)& =c_1\left(\begin{array}{cccccc}2& 3& 7& 8& 0& 0\end{array}\right)\\ & +c_2\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 1& 5& 1& 1\end{array}\right)\\ & +c_4\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 2& 1\end{array}\right)\end{array}$

প্রথম সারির অগ্রণী ভুক্তিটি প্রথম কলামে এবং উপরের সম্পর্কটির বিবেচনাকে শুধুমাত্র প্রথম কলামের ভুক্তিগুলোর বিবেচনায় সংকুচিত করলে $0=2c_1+0c_2+0c_4$ পাওয়া যায়, যা দেয় $c_1=0$। দ্বিতীয় সারির অগ্রণী ভুক্তিটি তৃতীয় কলামে এবং সেই কলামের ভুক্তিগুলোর সমীকরণ $0=7c_1+1c_2+0c_4$, সাথে $c_1=0$ জানা থাকায় দেয় $c_2=0$। এখন, শেষ করতে, তৃতীয় সারির অগ্রণী ভুক্তিটি চতুর্থ কলামে এবং সেই কলামের ভুক্তিগুলোর সমীকরণ $3=8c_1+5c_2+0c_4$, সাথে $c_1=0$ এবং $c_2=0$, একটি অসম্ভাব্যতা দেয়।

নিম্নলিখিত ফলাফলটি দেখায় যে এই প্রভাব সর্বদা ধারণ করে। এটি দেখায় যে গাউসের রৈখিক বর্জন পদ্ধতি যা বর্জন করে তা হলো সারিগুলোর মধ্যে রৈখিক সম্পর্ক।

আমরা এখন প্রমাণ করতে পারি যে প্রতিটি ম্যাট্রিক্স একটি এবং কেবলমাত্র একটি সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সের সাথে সারি সমতুল্য। যুক্তিটির প্রথম অর্ধেককে একটি প্রারম্ভিক লেমা হিসেবে আলাদা করা আমাদের জন্য সুবিধাজনক হবে। প্রথমত, এটি যে কোনো সোপান ফর্মের জন্যই ধারণ করে, শুধু সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম নয়।

প্রমাণের জন্য আমরা ফলাফলটিকে আরও পারিভাষিক ভাষায় প্রকাশ করি। টেমপ্লেট:Anchorএকটি $m\times n$ ম্যাট্রিক্সের ফর্ম সংজ্ঞায়িত করি ক্রম $⟨{\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_m⟩$ যেখানে ${\ell }_i$ হলো সারি $i$-তে অগ্রণী ভুক্তির কলাম নম্বর এবং ${\ell }_i=\mathrm{\infty }$ যদি সেই সারিতে কোনো অগ্রণী ভুক্তি না থাকে। লেমাটি বলে যে যদি দুটি সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্স সারি সমতুল্য হয় তবে তাদের ফর্ম সমান ক্রম হয়।

এই লেমাটি আমরা যেসব প্রশ্ন তুলেছিলাম তার দুটির উত্তর দেয়: (i) একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সোপান ফর্ম সংস্করণের একই মুক্ত চলক রয়েছে, এবং ফলস্বরূপ, (ii) যেকোনো দুটি সোপান ফর্ম সংস্করণে একই সংখ্যক মুক্ত চলক রয়েছে। এমন কোনো রৈখিক সিস্টেম এবং সারি অপারেশনের কোনো সমন্বয় নেই যাতে, বলতে গেলে, আমরা সিস্টেমটি একভাবে সমাধান করে $y$ এবং $z$ মুক্ত পাই কিন্তু অন্যভাবে সমাধান করে $y$ এবং $w$ মুক্ত পাই, বা একভাবে সমাধান করে দুটি মুক্ত চলক পাই যেখানে অন্যভাবে সমাধান করলে তিনটি পাওয়া যায়।

আমরা এখন সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে বিশেষীকরণ করে শেষ করি।

আমরা একটি সারসংক্ষেপ দিয়ে শেষ করছি। গাউসের পদ্ধতিতে আমরা একটি ম্যাট্রিক্স দিয়ে শুরু করি এবং তারপর অন্যান্য ম্যাট্রিক্সের একটি ক্রম উৎপন্ন করি। আমরা দুটি ম্যাট্রিক্সকে সম্পর্কিত সংজ্ঞায়িত করেছিলাম যদি একটি থেকে অপরটি উৎপন্ন করা যায়। সেই সম্পর্কটি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক, যাকে সারি সমতুল্যতা বলা হয়, এবং তাই সকল ম্যাট্রিক্সের সেটকে সারি সমতুল্যতার শ্রেণিতে বিভাজিত করে।

(চিত্রিত শ্রেণিতে অসীম সংখ্যক ম্যাট্রিক্স আছে, কিন্তু আমাদের কেবল দুটি দেখানোর জায়গা আছে।) আমরা প্রমাণ করেছি যে প্রতিটি সারি সমতুল্য শ্রেণিতে একটি এবং কেবলমাত্র একটি সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্স আছে। টেমপ্লেট:Anchorসুতরাং সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম হলো সারি সমতুল্যতার জন্য একটি আদর্শ ফর্ম : সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সগুলো শ্রেণিগুলোর প্রতিনিধি।

আমরা শ্রেণিগুলো সম্পর্কে প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি সেগুলোকে প্রতিনিধিদের সম্পর্কে প্রশ্নে অনুবাদ করে।

অনুশীলনী

/Solutions/

তথ্যসূত্র

• টেমপ্লেট:Citation
• টেমপ্লেট:Citation