রৈখিক বীজগণিত/সেট বর্ণনার তুলনা

টেমপ্লেট:Navigation

এই উপবিভাগটি সম্পূর্ণ ঐচ্ছিক হিসেবে ধরা যেতে পারে। পরবর্তী পাঠ্যক্রমের বিষয়গুলো বোঝার জন্য এখানে আলোচনা করা গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলো সরাসরি জানার কোনো প্রয়োজন নেই।

সেট বর্ণনার তুলনা

গণিতশাস্ত্রে একটি নির্দিষ্ট সেটকে বহুবিধ উপায়ে বর্ণনা বা সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। নিচে একটি মাত্র সেটের দুটি ভিন্নধর্মী গাণিতিক বর্ণনা উপস্থাপন করা হলো:

{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) z | z \in ℝ} এবং {(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) w | w \in ℝ} .

উদাহরণস্বরূপ বলা যেতে পারে যে, আলোচ্য এই সেটটির অভ্যন্তরে নিচের ভেক্টরটি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:

(\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ 15 \end{matrix})

(এক্ষেত্রে যদি আমরা $z = 5$ এবং $w = 5 / 2$ হিসেবে গ্রহণ করি তবে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়) তবে এটি নিচের ভেক্টরটিকে কোনোভাবেই ধারণ করে না:

(\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 11 \end{matrix})

(এখানে প্রথম উপাদানটি বিশ্লেষণ করলে আমরা $z = 4$ পাই, কিন্তু এই মানটি তৃতীয় উপাদানের সাথে সরাসরি সাংঘর্ষিক বা অমিল তৈরি করে; একইভাবে প্রথম উপাদান থেকে $w = 2$ পাওয়া গেলেও তৃতীয় উপাদানটি সম্পূর্ণ ভিন্ন একটি ফলাফল প্রদান করে)। পাঠকদের সুবিধার্থে একই সেটের একটি তৃতীয় বিকল্প বর্ণনা এখানে প্রদান করা হলো:

{(\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{matrix}) y | y \in ℝ} .

আমাদের এখন এটি সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারণ করা প্রয়োজন যে, ঠিক কোন পরিস্থিতিতে দুটি ভিন্ন গাণিতিক বর্ণনা প্রকৃতপক্ষে একই সেটকে নির্দেশ করে। বিষয়টিকে যদি আরও ব্যবহারিক বা প্রায়োগিক দৃষ্টিকোণ থেকে ব্যাখ্যা করা হয়, তবে প্রশ্ন জাগে—একজন শিক্ষার্থী কীভাবে নিশ্চিতভাবে বুঝতে পারবেন যে তার সমাধানকৃত বাড়ির কাজের (homework) উত্তরটি পাঠ্যবইয়ের উত্তরপত্রে প্রদত্ত সেটের বর্ণনার সাথে হুবহু মিলে যাচ্ছে কি না?

সেটের সমতা

দুটি সেটকে তখনই এবং কেবল তখনই সমান বলা যাবে, যদি তাদের অন্তর্গত প্রতিটি সদস্য বা উপাদান একে অপরের সাথে হুবহু মিলে যায় অর্থাৎ তারা অভিন্ন হয়। টেমপ্লেট:Anchorদুটি নির্দিষ্ট সেট, যেমন $S_{1}$ এবং $S_{2}$ , যে একে অপরের সমান তা প্রমাণ করার একটি অত্যন্ত সাধারণ ও কার্যকর পদ্ধতি হলো তাদের 'পারস্পরিক অন্তর্ভুক্তি' (mutual inclusion) প্রদর্শন করা: অর্থাৎ, $S_{1}$ -এর যেকোনো সদস্য অবশ্যই $S_{2}$ -এর অন্তর্ভুক্ত হতে হবে এবং একইভাবে $S_{2}$ -এর প্রতিটি সদস্যকেও $S_{1}$ -এর অন্তর্ভুক্ত হতে হবে।^[১]

টেমপ্লেট:TextBox

একইভাবে, আমরা যদি $c = 2$ এবং $d = - 1$ মানগুলো বিবেচনা করি, তবে $S_{1}$ সেটের অন্তর্ভুক্ত ফলাফলস্বরূপ প্রাপ্ত সদস্যটি যে $S_{2}$ সেটেরও একটি অংশ হবে, তা প্রমাণ করার জন্য আমাদের এমন $m$ এবং $n$ এর মান খুঁজে বের করতে হবে যাতে নিচের সমীকরণটি সিদ্ধ হয়:

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) m + (\begin{matrix} - 1 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) n = (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix})

অর্থাৎ, গাণিতিক ভাষায় এই সম্পর্কটি বজায় থাকে:

\begin{matrix} 4 m & - & n & = & 3 \\ 1 m & - & 3 n & = & - 3 \\ 0 & = & 0 \end{matrix}

সাধারণ প্রেক্ষাপটে বিবেচনা করলে, $S_{1}$ সেটের যেকোনো ভেক্টর যে $S_{2}$ সেটেরও একজন সদস্য, তা প্রদর্শন করার জন্য আমাদের এটি প্রমাণ করতে হবে যে, $c$ এবং $d$ এর যেকোনো মানের জন্যই উপযুক্ত $m$ এবং $n$ এর মান বিদ্যমান রয়েছে। আমরা পূর্ববর্তী উদাহরণগুলোর ধারা অনুসরণ করে অগ্রসর হব; ধরা যাক, $S_{1}$ এর একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর হলো:

(\begin{matrix} c + d \\ - c + d \\ 0 \end{matrix}) \in S_{1}

এবং এখন আমাদের এমন $m$ ও $n$ এর মান অনুসন্ধান করতে হবে যাতে নিচের সমীকরণটি সত্য প্রমাণিত হয়:

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) m + (\begin{matrix} - 1 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) n = (\begin{matrix} c + d \\ - c + d \\ 0 \end{matrix})

সহজ কথায়, নিচের এই গাণিতিক সম্পর্কটি সঠিক হতে হবে:

\begin{matrix} 4 m & - & n & = & c + d \\ m & - & 3 n & = & - c + d \\ 0 & = & 0 \end{matrix}

এখানে গাউসের পদ্ধতি (Gauss' method) প্রয়োগ করার মাধ্যমে আমরা পাই:

\begin{matrix} \begin{matrix} 4 m & - & n & = & c + d \\ m & - & 3 n & = & - c + d \end{matrix} & \to_{}^{- (1 / 4) ρ_{1} + ρ_{2}} & \begin{matrix} 4 m & - & n & = & c + d \\ - (11 / 4) n & = & - (5 / 4) c + (3 / 4) d \end{matrix} \end{matrix}

এই সমাধান প্রক্রিয়া থেকে $n = (5 / 11) c - (3 / 11) d$ এবং $m = (4 / 11) c + (2 / 11) d$ মানগুলো পাওয়া যায়। এই ফলাফলটি স্পষ্টভাবে নির্দেশ করে যে, $c$ এবং $d$ এর যেকোনো পছন্দের মানের জন্যই যথাযথ $m$ এবং $n$ এর মান খুঁজে পাওয়া সম্ভব। সুতরাং আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, $S_{1}$ সেটের যেকোনো সদস্যই প্রকৃতপক্ষে $S_{2}$ সেটেরও অন্তর্ভুক্ত, কারণ সেটিকে নিচের গাণিতিক উপায়ে পুনরায় বিন্যস্ত করে লেখা সম্ভব:

(\begin{matrix} c + d \\ - c + d \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) ((4 / 11) c + (2 / 11) d) + (\begin{matrix} - 1 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) ((5 / 11) c - (3 / 11) d) .

বিপরীতমুখী অন্তর্ভুক্তির ক্ষেত্রে, অর্থাৎ $S_{2} \subseteq S_{1}$ প্রমাণ করার জন্য আমাদের ঠিক এর উল্টো প্রক্রিয়াটি অনুসরণ করতে হবে। এক্ষেত্রে আমাদের লক্ষ্য হলো এটি দেখানো যে, $m$ এবং $n$ এর যেকোনো মানের সাপেক্ষে উপযুক্ত $c$ এবং $d$ এর মান বিদ্যমান থাকে। তাই $m$ এবং $n$ কে নির্দিষ্ট ধরে নিয়ে আমরা $c$ এবং $d$ এর মান নির্ণয়ের জন্য সমাধান করি: