রৈখিক বীজগণিত/স্ট্রিং

এই উপবিভাগটি ঐচ্ছিক, এবং এর জন্য ঐচ্ছিক ডিরেক্ট সাম উপবিভাগ থেকে উপাদানের প্রয়োজন।

পূর্ববর্তী উপবিভাগে দেখানো হয়েছে যে $j$ বৃদ্ধির সাথে সাথে $ℛ(t^j)$-এর মাত্রা হ্রাস পায় যেখানে $𝒩(t^j)$-এর মাত্রা বৃদ্ধি পায়, এমনভাবে যে এই র‍্যাঙ্ক এবং নালিটি $V$-এর মাত্রাকে বিভক্ত করে। আমরা কি আরও কিছু বলতে পারি; এই দুটি কি একটি ভিত্তিকে বিভক্ত করে— অর্থাৎ $V=ℛ(t^j)\oplus 𝒩(t^j)$ কি?

সবচেয়ে ছোট ঘাত $j=0$-এর জন্য উত্তরটি হলো হ্যাঁ, কারণ $V=ℛ(t^0)\oplus 𝒩(t^0)=V\oplus \{\overrightarrow{0}\}$। অন্য প্রান্তের ক্ষেত্রেও উত্তরটি হ্যাঁ।

$j=0$ এবং $j=n$ ক্ষেত্রগুলোর বিপরীতে, মধ্যবর্তী ঘাতগুলোর জন্য $V$ স্পেসটি $ℛ(t^j)$ এবং $𝒩(t^j)$-এর ডিরেক্ট সাম নাও হতে পারে। পরবর্তী উদাহরণটি দেখায় যে এই দুটির একটি ননট্রিভিয়াল ছেদ থাকতে পারে।

এই তিনটি উদাহরণে সমস্ত ভেক্টর শেষ পর্যন্ত শূন্যতে রূপান্তরিত হয়।

সমস্ত নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সই এমন হয় না যে সাবডায়াগোনাল একগুলোর ব্লকগুলো বাদে বাকি সব শূন্য হবে।

এই উপবিভাগের লক্ষ্য হলো উপপাদ্য ২.১৩, যা দেখায় যে পূর্ববর্তী উদাহরণটি প্রোটোটাইপিক্যাল, এই অর্থে যে প্রতিটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স এমন একটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ যার সাবডায়াগোনাল একগুলোর ব্লকগুলো বাদে বাকি সবই শূন্য।

আমরা দেখাব যে প্রতিটি নিলপোটেন্ট ম্যাপের সাথে একটি স্ট্রিং ভিত্তি যুক্ত থাকে। তাহলে আমাদের লক্ষ্য উপপাদ্যটি, যে প্রতিটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স এমন একটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ যার সাবডায়াগোনাল একগুলোর ব্লকগুলো বাদে বাকি সবই শূন্য, তা সরাসরি প্রমাণিত হয়, যেমনটি উদাহরণ ২.৫-এ দেখা গেছে।

একটি বিপরীত উদাহরণ খোঁজার চেষ্টা করলে, যেমন একটি নিলপোটেন্ট ম্যাপ যার সাথে যুক্ত স্ট্রিং ভিত্তিটি নিশ্ছেদ নয়, তা প্রমাণের ধারণা দেবে। এই ক্রিয়ার সাথে যুক্ত ম্যাপ $t:{ℂ}^5\to {ℂ}^5$ বিবেচনা করি।

                 ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{{ℰ}_5,{ℰ}_5}(t)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

এমনকি শূন্য ভেক্টরটিকে বাদ দেওয়ার পরেও, এই তিনটি স্ট্রিং নিশ্ছেদ নয়, তবে এটি একটি $t$-স্ট্রিং ভিত্তি খুঁজে পাওয়ার আশাকে শেষ করে দেয় না। এর অর্থ কেবল এই যে ${ℰ}_5$ স্ট্রিং ভিত্তির জন্য কাজ করবে না।

যে ভিত্তিটি কাজ করবে তা খুঁজে পেতে, আমরা প্রথমে এর স্ট্রিংগুলোর সংখ্যা এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। যেহেতু $t$-এর নিলপোটেন্সি সূচক দুই, লেমা ২.১২ বলে যে ভিত্তির অন্তত একটি স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্য দুই। সুতরাং ম্যাপটিকে একটি স্ট্রিং ভিত্তির উপর এই দুটি উপায়ের যেকোনো একটিতে কাজ করতে হবে।

$\begin{array}{ccccc}{\overrightarrow{\beta }}_1& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_2& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_3& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_4& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_5& \mapsto & \overrightarrow{0}\end{array}$                $\begin{array}{ccccc}{\overrightarrow{\beta }}_1& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_2& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_3& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_4& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_5& \mapsto & \overrightarrow{0}\end{array}$

এখন, মূল বিষয়টি হলো। বাম-দিকের ক্রিয়াসহ একটি রূপান্তরের নালস্পেসের মাত্রা তিন, কারণ ঠিক এই সংখ্যক ভিত্তি ভেক্টরকে শূন্যতে পাঠানো হয়। ডান-দিকের ক্রিয়াসহ একটি রূপান্তরের নালস্পেসের মাত্রা চার। উপরের ম্যাট্রিক্স রূপায়ণটি ব্যবহার করে, $t$-এর নালস্পেসের গণনা

$𝒩(t)=\{\left(\begin{array}{c}x\\ -x\\ z\\ 0\\ r\end{array}\right)|x,z,r\in ℂ\}$

দেখায় যে এটি ত্রিমাত্রিক, অর্থাৎ আমরা বাম-দিকের ক্রিয়াটি চাই।

একটি স্ট্রিং ভিত্তি তৈরি করতে, প্রথমে $ℛ(t)\cap 𝒩(t)$ থেকে ${\overrightarrow{\beta }}_2$ এবং ${\overrightarrow{\beta }}_4$ বেছে নিই

${\overrightarrow{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right){\overrightarrow{\beta }}_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

(অন্যান্য পছন্দও সম্ভব, শুধু নিশ্চিত করতে হবে যে $\{{\overrightarrow{\beta }}_2,{\overrightarrow{\beta }}_4\}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন)। ${\overrightarrow{\beta }}_5$-এর জন্য $𝒩(t)$ থেকে এমন একটি ভেক্টর বেছে নিই যা $\{{\overrightarrow{\beta }}_2,{\overrightarrow{\beta }}_4\}$-এর স্প্যানের অন্তর্ভুক্ত নয়।

${\overrightarrow{\beta }}_5=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

সবশেষে, ${\overrightarrow{\beta }}_1$ এবং ${\overrightarrow{\beta }}_3$ এমনভাবে নিই যাতে $t({\overrightarrow{\beta }}_1)={\overrightarrow{\beta }}_2$ এবং $t({\overrightarrow{\beta }}_3)={\overrightarrow{\beta }}_4$ হয়।

${\overrightarrow{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right){\overrightarrow{\beta }}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

এখন, $B=⟨{\overrightarrow{\beta }}_1,\dots ,{\overrightarrow{\beta }}_5⟩$-এর সাপেক্ষে, $t$-এর ম্যাট্রিক্সটি আশানুরূপ।

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,B}(t)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

এটি প্রমাণটিকে ব্যাখ্যা করে। ভিত্তি ভেক্টরগুলোকে ধরন $1$, ধরন $2$ এবং ধরন $3$-এ শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে। এগুলোকে বর্গক্ষেত্র বা বৃত্ত হিসেবেও দেখানো হয়েছে, নির্ভর করে সেগুলো নালস্পেসে আছে কি না তার উপর।

এই রূপটি এই অর্থে অদ্বিতীয় যে, যদি একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স এমন দুটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ হয় তবে সেই দুটির ব্লকগুলো কেবল ভিন্নভাবে সাজানো থাকে। সুতরাং নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সগুলোর সাদৃশ্য শ্রেণীর জন্য এটি একটি ক্যানোনিকাল ফর্ম, যদি আমরা ব্লকগুলোকে, ধরা যাক, সবচেয়ে দীর্ঘ থেকে সবচেয়ে ছোট অনুসারে সাজাই।

অনুশীলনী

/সমাধান/