লজিক গেট/এক্স-অর গেট

এক্স-অর গেট হলো ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের একটি গুরুত্বপূর্ণ লজিক গেট। এক্স-অর কথাটি এসেছে এক্সক্লুসিভ-অর থেকে, বাংলায় যার অর্থ একচেটিয়া অর। সাধারণ অর গেটের সাথে এর মূল পার্থক্য হলো, উভয় ইনপুট একই সময়ে $\text{১}$ হলে এক্স-অর গেটের আউটপুট $\text{০}$ হয়, কিন্তু সাধারণ অর গেটে তখন আউটপুট $\text{১}$ থাকে।

এক্স-অর গেটকে বিজোড় ফাংশন বলা হয়, কারণ ইনপুটে বিজোড় সংখ্যক $\text{১}$ থাকলেই কেবল আউটপুট $\text{১}$ হয়। এই বিশেষ বৈশিষ্ট্যের কারণে এক্স-অর গেট ত্রুটি শনাক্তকরণ, যোগ সার্কিট, এনক্রিপশন এবং তুলনাকারী সার্কিটে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

বাস্তব জীবনের সাথে তুলনা

এক্স-অর গেটের ধারণাটি অনেকটা এভাবে ব্যাখ্যা করা যায়। ধরো দুজন বন্ধু একসাথে সিনেমায় যেতে চায়। যদি কেবল একজন রাজি থাকে তাহলে তর্ক হয় না এবং সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়। কিন্তু দুজনেই রাজি বা দুজনেই না থাকলে সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় না, অর্থাৎ আউটপুট ভিন্ন হয়।

বাস্তব জীবনে এক্স-অর অপারেশনের উদাহরণ

পরিস্থিতি	শর্ত $A$	শর্ত $B$	ফলাফল
আলোর সুইচ	প্রথম সুইচ চালু	দ্বিতীয় সুইচ চালু	দুটি ভিন্ন অবস্থায় থাকলেই আলো জ্বলে, একই অবস্থায় থাকলে নেভে
দুই দলের ভোটাভুটি	দল ক রাজি	দল খ রাজি	শুধুমাত্র একটি দল রাজি হলেই প্রস্তাব আলোচনার জন্য যায়
চেক সুম যাচাই	ডেটার বিট	প্রেরিত বিট	দুটি ভিন্ন হলেই ত্রুটি ধরা পড়ে
দরজার কোড	প্রথম কোড সঠিক	দ্বিতীয় কোড সঠিক	ঠিক একটি কোড ভুল হলেই সতর্কতা বাজে, দুটোই ভুল বা দুটোই ঠিক হলে নয়

বুলিয়ান রাশি

দুটি ইনপুট $A$ ও $B$ এবং আউটপুট $Y$ এর জন্য এক্স-অর গেটের বুলিয়ান রাশি:

$Y=A\oplus B$

$\oplus$ চিহ্নটি এক্স-অর অপারেশন নির্দেশ করে। বিস্তারিত রূপে লেখা যায়:

$Y=A\overline{B}+\overline{A}B$

এর অর্থ হলো আউটপুট $\text{১}$ হবে যখন:

• $A=\text{১}$ এবং $B=\text{০}$, অর্থাৎ $A\overline{B}$, অথবা
• $A=\text{০}$ এবং $B=\text{১}$, অর্থাৎ $\overline{A}B$

তিনটি ও চারটি ইনপুটের ক্ষেত্রে:

$Y=A\oplus B\oplus C$

$Y=A\oplus B\oplus C\oplus D$

প্রতীক

এক্স-অর গেটের প্রতীক

এক্স-অর গেটের প্রতীক অর গেটের মতোই, তবে ইনপুট প্রান্তের দিকে একটি অতিরিক্ত বাঁকা রেখা যোগ করা হয়। এই বাড়তি রেখাটিই এক্স-অর গেটকে সাধারণ অর গেট থেকে আলাদা করে।

সত্যক সারণী

দুই ইনপুটের এক্স-অর গেট

দুই ইনপুটের এক্স-অর গেটের সত্যক সারণী

$A$	$B$	$Y=A\oplus B$	ব্যাখ্যা
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	উভয় ইনপুট একই ($\text{০}$), তাই আউটপুট $\text{০}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	ইনপুট দুটি আলাদা, তাই আউটপুট $\text{১}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	ইনপুট দুটি আলাদা, তাই আউটপুট $\text{১}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	উভয় ইনপুট একই ($\text{১}$), তাই আউটপুট $\text{০}$

লক্ষ করো, চারটি সারির মধ্যে ঠিক দুটিতে আউটপুট $\text{১}$। এক্স-অর গেট মূলত বলে দেয় দুটি ইনপুট আলাদা কিনা।

তিন ইনপুটের এক্স-অর গেট

তিন ইনপুটের এক্স-অর গেটের সত্যক সারণী

$A$	$B$	$C$	$Y=A\oplus B\oplus C$	$\text{১}$-এর সংখ্যা
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	শূন্যটি (জোড়)
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	একটি (বিজোড়)
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	একটি (বিজোড়)
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	দুটি (জোড়)
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	একটি (বিজোড়)
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	দুটি (জোড়)
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	দুটি (জোড়)
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	তিনটি (বিজোড়)

তিন ইনপুটের ক্ষেত্রে স্পষ্ট দেখা যাচ্ছে যে ইনপুটে বিজোড় সংখ্যক $\text{১}$ থাকলেই আউটপুট $\text{১}$ হয়।

ইনপুট সংখ্যা অনুযায়ী আউটপুটের হার

ইনপুট সংখ্যা	মোট সারি	আউটপুট $\text{১}$ সারি	আউটপুট $\text{০}$ সারি	$\text{১}$ এর হার
$\text{২}$	$\text{৪}$	$\text{২}$	$\text{২}$	$\text{৫০}\mathrm{\%}$
$\text{৩}$	$\text{৮}$	$\text{৪}$	$\text{৪}$	$\text{৫০}\mathrm{\%}$
$\text{৪}$	$\text{১৬}$	$\text{৮}$	$\text{৮}$	$\text{৫০}\mathrm{\%}$

লক্ষণীয় যে যেকোনো সংখ্যক ইনপুটের জন্য এক্স-অর গেটে সবসময় ঠিক $\text{৫০}\mathrm{\%}$ সারিতে আউটপুট $\text{১}$ হয়।

বিশেষ ইনপুট অবস্থা

বিশেষ ইনপুট অবস্থা

অবস্থা	রাশি	ফলাফল	ব্যাখ্যা
এক ইনপুট সবসময় $\text{০}$	$A\oplus \text{০}$	$A$	গেটটি বাফারের মতো কাজ করে, ইনপুট হুবহু আউটপুটে আসে
এক ইনপুট সবসময় $\text{১}$	$A\oplus \text{১}$	$\overline{A}$	গেটটি নট গেটের মতো আচরণ করে
উভয় ইনপুট একই চলক	$A\oplus A$	$\text{০}$	সবসময় $\text{০}$, কারণ দুটি ইনপুট কখনোই আলাদা নয়
ইনপুট পরস্পর পূরক	$A\oplus \overline{A}$	$\text{১}$	সবসময় $\text{১}$, কারণ দুটি ইনপুট সবসময় আলাদা
তিনবার একই চলক	$A\oplus A\oplus A$	$A$	দুটি $A$ বাতিল হয়ে বাকি $A$ থাকে

অর গেট ও এক্স-অর গেটের তুলনা

অর বনাম এক্স-অর গেট

বৈশিষ্ট্য	অর গেট	এক্স-অর গেট
বুলিয়ান রাশি	$Y=A+B$	$Y=A\oplus B=A\overline{B}+\overline{A}B$
আউটপুট $\text{১}$ যখন	যেকোনো একটি বা উভয় ইনপুট $\text{১}$	ঠিক একটি ইনপুট $\text{১}$ (ইনপুট আলাদা হলে)
আউটপুট $\text{০}$ যখন	উভয় ইনপুট $\text{০}$	উভয় ইনপুট একই ($\text{০০}$ বা $\text{১১}$)
$A=\text{১},B=\text{১}$ হলে	$\text{১}$	$\text{০}$
দুই ইনপুটে $\text{১}$ এর হার	$\text{৭৫}\mathrm{\%}$	$\text{৫০}\mathrm{\%}$
ব্যবহার	সাধারণ লজিক	তুলনা, যোগ, এনক্রিপশন

বুলিয়ান বীজগণিতে এক্স-অর

এক্স-অর অপারেশন কিছু বিশেষ বীজগাণিতিক ধর্ম মেনে চলে।

বিনিময় ধর্ম

$A\oplus B=B\oplus A$

সংযোজন ধর্ম

$(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$

বিতরণ ধর্ম

অ্যান্ড অপারেশনের সাথে এক্স-অর বিতরণ ধর্ম মেনে চলে:

$A\cdot (B\oplus C)=(A\cdot B)\oplus (A\cdot C)$

স্ব-পূরক ধর্ম

$A\oplus A=\text{০}$

$A\oplus \overline{A}=\text{১}$

শূন্য ও একের সাথে

$A\oplus \text{০}=A$

$A\oplus \text{১}=\overline{A}$

দ্বৈত পরিপূরক ধর্ম

$A\oplus B\oplus B=A$

এই ধর্মটি এনক্রিপশনে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ: একবার এক্স-অর করলে এনক্রিপ্ট হয়, আবার একই কী দিয়ে এক্স-অর করলে ডিক্রিপ্ট হয়।

ভৌত বাস্তবায়ন

ন্যান্ড গেট দিয়ে এক্স-অর গেট

চারটি ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে এক্স-অর গেট তৈরি করা যায়:

$Y=\overline{A\cdot \stackrel{‾}{AB}}\cdot \overline{B\cdot \stackrel{‾}{AB}}$

ধাপগুলো:

1. প্রথম ন্যান্ড: $P=\overline{AB}$
2. দ্বিতীয় ন্যান্ড: $Q=\overline{A\cdot P}$
3. তৃতীয় ন্যান্ড: $R=\overline{B\cdot P}$
4. চতুর্থ ন্যান্ড: $Y=\overline{Q\cdot R}$

নর গেট দিয়ে এক্স-অর গেট

চারটি নর গেট ব্যবহার করে এক্স-অর গেট তৈরি করা যায়:

ধাপগুলো:

1. প্রথম নর: $P=\overline{A+B}$
2. দ্বিতীয় নর: $Q=\overline{A+P}$
3. তৃতীয় নর: $R=\overline{B+P}$
4. চতুর্থ নর: $Y=\overline{Q+R}$

বিভিন্ন গেট দিয়ে এক্স-অর তৈরি

পদ্ধতি	প্রয়োজনীয় গেট সংখ্যা	মন্তব্য
ন্যান্ড গেট	$\text{৪}$	শিল্পে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত পদ্ধতি
নর গেট	$\text{৪}$	ন্যান্ড পদ্ধতির সমতুল্য
অ্যান্ড, অর, নট	$\text{৩}$	সরাসরি রাশি বাস্তবায়ন: $A\overline{B}+\overline{A}B$
বিশেষ এক্স-অর চিপ (৭৪৮৬)	$\text{১}$	প্রস্তুত-তৈরি চিপ, সরাসরি ব্যবহারযোগ্য

বাস্তব জীবনে প্রয়োগ

এক্স-অর গেটের ব্যবহারিক প্রয়োগ

প্রয়োগক্ষেত্র	বিস্তারিত বিবরণ
হাফ অ্যাডার	দুটি বিটের যোগফলের সাম বিট তৈরিতে এক্স-অর গেট ব্যবহৃত হয়, এটি ডিজিটাল যোগ সার্কিটের মূল উপাদান
ফুল অ্যাডার	তিনটি বিটের যোগফল তৈরিতে দুটি এক্স-অর গেট একসাথে ব্যবহৃত হয়
প্যারিটি চেকিং	ডেটা প্রেরণে ত্রুটি শনাক্তকরণে এক্স-অর গেট দিয়ে প্যারিটি বিট তৈরি ও যাচাই করা হয়
এনক্রিপশন	সহজ কিন্তু কার্যকর এনক্রিপশনে একই কী দিয়ে দুইবার এক্স-অর করলে মূল ডেটা ফিরে আসে
তুলনাকারী সার্কিট	দুটি বিট সমান কিনা তা যাচাই করতে, সমান হলে আউটপুট $\text{০}$ হয়
গ্রে কোড রূপান্তর	বাইনারি থেকে গ্রে কোডে এবং গ্রে কোড থেকে বাইনারিতে রূপান্তরে এক্স-অর গেট ব্যবহৃত হয়
তথ্যের অখণ্ডতা যাচাইয়ে সাইক্লিক রিডান্ডেন্সি চেক সার্কিটে এক্স-অর গেট মূল ভূমিকা পালন করে
ফ্লিপ-ফ্লপ নিয়ন্ত্রণ	টি ফ্লিপ-ফ্লপ সার্কিটে এক্স-অর ব্যবহার করে অবস্থা টগল করা হয়

হাফ অ্যাডার: এক্স-অর গেটের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ

হাফ অ্যাডার হলো সবচেয়ে সহজ যোগ সার্কিট যা দুটি এক-বিট সংখ্যা যোগ করতে পারে।

দুটি বিট $A$ ও $B$ যোগ করলে দুটি আউটপুট পাওয়া যায়:

• সাম ($S$): যোগফলের একক স্থানের বিট, যা এক্স-অর দিয়ে তৈরি হয়
• ক্যারি ($C$): হাতের সংখ্যা, যা অ্যান্ড গেট দিয়ে তৈরি হয়

$S=A\oplus B$

$C=A\cdot B$

হাফ অ্যাডারের সত্যক সারণী

$A$	$B$	সাম $(S=A\oplus B)$	ক্যারি $(C=AB)$	যোগফল
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}+\text{০}=\text{০০}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}+\text{১}=\text{০১}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}+\text{০}=\text{০১}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}+\text{১}=\text{১০}$

লক্ষ করো $\text{১}+\text{১}=\text{১০}$ মানে দশমিক ২-এর বাইনারি রূপ, অর্থাৎ সাম $\text{০}$ এবং ক্যারি $\text{১}$।

উদাহরণ

উদাহরণ ১: মান নির্ণয়

$A=\text{১},B=\text{১}$ হলে $Y=A\oplus B$ এর মান নির্ণয় করো।

উভয় ইনপুট একই, তাই:

$Y=\text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$

উদাহরণ ২: মান নির্ণয়

$A=\text{১},B=\text{০}$ হলে $Y=A\oplus B$ এর মান নির্ণয় করো।

ইনপুট দুটি আলাদা, তাই:

$Y=\text{১}\oplus \text{০}=\text{১}$

বিস্তারিত রাশি দিয়ে যাচাই:

$Y=A\overline{B}+\overline{A}B=\text{১}\cdot \overline{\text{০}}+\overline{\text{১}}\cdot \text{০}=\text{১}\cdot \text{১}+\text{০}\cdot \text{০}=\text{১}+\text{০}=\text{১}$

উদাহরণ ৩: বিশেষ ধর্ম যাচাই

$A=\text{০}$ হলে যাচাই করো যে $A\oplus \text{১}=\overline{A}$ সত্য।

বামপক্ষ: $A\oplus \text{১}=\text{০}\oplus \text{১}=\text{১}$

ডানপক্ষ: $\overline{A}=\overline{\text{০}}=\text{১}$

বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ $=\text{১}$

উদাহরণ ৪: তিন চলকের এক্স-অর

$A=\text{১},B=\text{১},C=\text{১}$ হলে $Y=A\oplus B\oplus C$ এর মান নির্ণয় করো।

$A\oplus B=\text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$

$Y=\text{০}\oplus C=\text{০}\oplus \text{১}=\text{১}$

তিনটি ইনপুটই $\text{১}$, অর্থাৎ বিজোড় সংখ্যক $\text{১}$, তাই আউটপুট $\text{১}$

উদাহরণ ৫: দ্বৈত পরিপূরক ধর্ম যাচাই

$A=\text{১},B=\text{০}$ হলে যাচাই করো যে $A\oplus B\oplus B=A$ সত্য।

$B\oplus B=\text{০}\oplus \text{০}=\text{০}$

$A\oplus \text{০}=\text{১}\oplus \text{০}=\text{১}=A$

উদাহরণ ৬: হাফ অ্যাডার প্রয়োগ

$A=\text{১},B=\text{১}$ হলে হাফ অ্যাডারে সাম ও ক্যারি নির্ণয় করো।

সাম: $S=A\oplus B=\text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$

ক্যারি: $C=A\cdot B=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

তাহলে $\text{১}+\text{১}=\text{১০}$ (বাইনারিতে), যা দশমিকে ২ এর সমান

উদাহরণ ৭: রাশি সরলীকরণ

$Y=(A\oplus B)\oplus B$ সরল করো।

$Y=(A\oplus B)\oplus B$

$=A\oplus (B\oplus B)$ (সংযোজন ধর্ম)

$=A\oplus \text{০}$ (স্ব-পূরক ধর্ম)

$=A$

এক্স-অর ও এক্স-নর গেটের সম্পর্ক

এক্স-অর বনাম এক্স-নর গেট

বৈশিষ্ট্য	এক্স-অর গেট	এক্স-নর গেট
বুলিয়ান রাশি	$Y=A\oplus B$	$Y=\overline{A\oplus B}=A\odot B$
বিস্তারিত রাশি	$A\overline{B}+\overline{A}B$	$AB+\overline{A}\overline{B}$
আউটপুট $\text{১}$ যখন	ইনপুট আলাদা হলে	ইনপুট একই হলে
আউটপুট $\text{০}$ যখন	ইনপুট একই হলে	ইনপুট আলাদা হলে
সম্পর্ক	—	এক্স-অর এর পূরক
প্রতীক	$\oplus$	$\odot$

এক্স-নর গেটকে সমতা গেট বলা হয়, কারণ এটি দুটি ইনপুট সমান কিনা তা যাচাই করে।

অনুশীলনী

1. $A=\text{০},B=\text{১}$ হলে $Y=A\oplus B$ এর মান কত?
2. $A\oplus A$ এর মান সর্বদা কত এবং কেন?
3. $A=\text{১},B=\text{০},C=\text{১}$ হলে $Y=A\oplus B\oplus C$ এর মান নির্ণয় করো।
4. $Y=A\oplus \text{১}$ রাশিটি কোন মৌলিক গেটের সমতুল্য?
5. হাফ অ্যাডারে $A=\text{০},B=\text{১}$ হলে সাম ও ক্যারির মান কত?
6. $Y=(A\oplus A)\oplus B$ সরল করো।
7. এক্স-অর গেটের কোন বৈশিষ্ট্যটি এনক্রিপশনে ব্যবহৃত হয় এবং কেন?

উত্তর:

1. $Y=\text{০}\oplus \text{১}=\text{১}$; ইনপুট আলাদা তাই আউটপুট $\text{১}$
2. সর্বদা $\text{০}$; কারণ দুটি ইনপুট সবসময় একই, তাই আউটপুট $\text{০}$
3. $A\oplus B=\text{১}\oplus \text{০}=\text{১}$; তারপর $\text{১}\oplus C=\text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$
4. নট গেটের সমতুল্য; $A\oplus \text{১}=\overline{A}$
5. সাম: $S=\text{০}\oplus \text{১}=\text{১}$; ক্যারি: $C=\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$
6. $(A\oplus A)\oplus B=\text{০}\oplus B=B$
7. দ্বৈত পরিপূরক ধর্ম ($A\oplus B\oplus B=A$); কারণ একই কী দিয়ে দুইবার এক্স-অর করলে মূল ডেটা ফিরে আসে

[[টেমপ্লেট:BOOKCATEGORY]]