লজিক গেট/এক্স-নর গেট

এক্স-নর গেট হলো ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের একটি গুরুত্বপূর্ণ লজিক গেট। এক্স-নর কথাটি এসেছে এক্সক্লুসিভ-নর থেকে, অর্থাৎ এক্স-অর গেটের আউটপুটকে নট করলে এক্স-নর গেট পাওয়া যায়। এটি মূলত এক্স-অর গেট এবং নট গেটের সমন্বয়।

এক্স-নর গেটকে সমতা গেট বলা হয়, কারণ ইনপুটগুলো পরস্পর সমান হলেই কেবল আউটপুট $\text{১}$ হয়। অর্থাৎ এক্স-নর গেট আসলে বলে দেয় দুটি ইনপুট একই কিনা। এই বিশেষ বৈশিষ্ট্যের কারণে তুলনাকারী সার্কিট, ত্রুটি শনাক্তকরণ এবং ডিজিটাল সমতা পরীক্ষায় এক্স-নর গেট ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

বাস্তব জীবনের সাথে তুলনা

এক্স-নর গেটের ধারণাটি অনেকটা এভাবে ব্যাখ্যা করা যায়। ধরো দুজন বিচারক একটি প্রতিযোগিতায় নম্বর দিচ্ছেন। যদি দুজনেই একমত হন, অর্থাৎ উভয়ে পাস বলেন বা উভয়ে ফেল বলেন, তাহলেই কেবল ফলাফল চূড়ান্ত হয়। দুজনের মত আলাদা হলে ফলাফল অনিশ্চিত থাকে। এটি এক্স-নর গেটের মতো আচরণ।

বাস্তব জীবনে এক্স-নর অপারেশনের উদাহরণ

পরিস্থিতি	শর্ত $A$	শর্ত $B$	ফলাফল
দুই বিচারকের রায়	প্রথম বিচারক পাস দিলেন	দ্বিতীয় বিচারক পাস দিলেন	উভয়ে একমত হলেই চূড়ান্ত রায় দেওয়া যায়
পাসওয়ার্ড যাচাই	প্রবেশ করা পাসওয়ার্ডের বিট	সংরক্ষিত পাসওয়ার্ডের বিট	উভয় বিট একই হলেই সঠিক বলে গণ্য হবে
ডেটা তুলনা	প্রেরিত ডেটার বিট	গৃহীত ডেটার বিট	একই হলে ত্রুটিমুক্ত, আলাদা হলে ত্রুটি আছে
দুই সেন্সরের পাঠ	প্রথম সেন্সর চালু	দ্বিতীয় সেন্সর চালু	উভয় সেন্সর একই অবস্থায় থাকলে স্বাভাবিক সংকেত

বুলিয়ান রাশি

দুটি ইনপুট $A$ ও $B$ এবং আউটপুট $Y$ এর জন্য এক্স-নর গেটের বুলিয়ান রাশি:

$Y=\overline{A\oplus B}$

$\odot$ চিহ্ন ব্যবহার করে সংক্ষেপে লেখা যায়:

$Y=A\odot B$

বিস্তারিত রূপে লেখা যায়:

$Y=AB+\overline{A}\overline{B}$

এর অর্থ হলো আউটপুট $\text{১}$ হবে যখন:

• $A=\text{১}$ এবং $B=\text{১}$, অর্থাৎ $AB$, অথবা
• $A=\text{০}$ এবং $B=\text{০}$, অর্থাৎ $\overline{A}\overline{B}$

তিনটি ও চারটি ইনপুটের ক্ষেত্রে:

$Y=\overline{A\oplus B\oplus C}$

$Y=\overline{A\oplus B\oplus C\oplus D}$

এক্স-নর গেটের রাশিটিকে দুটি ধাপে ভাঙা যায়:

1. প্রথমে এক্স-অর: $A\oplus B$
2. তারপর নট: $\overline{A\oplus B}$

প্রতীক

এক্স-নর গেটের প্রতীক

এক্স-নর গেটের প্রতীক হলো এক্স-অর গেটের প্রতীকের মতোই, তবে আউটপুট প্রান্তে একটি ছোট বৃত্ত যোগ করা হয়। এই ছোট বৃত্তটি নট বা ইনভার্শন নির্দেশ করে, ঠিক যেমন ন্যান্ড গেটে অ্যান্ড গেটের আউটপুটে বৃত্ত থাকে।

সত্যক সারণী

দুই ইনপুটের এক্স-নর গেট

দুই ইনপুটের এক্স-নর গেটের সত্যক সারণী

$A$	$B$	$A\oplus B$	$Y=\overline{A\oplus B}$	ব্যাখ্যা
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	উভয় ইনপুট একই ($\text{০}$), তাই আউটপুট $\text{১}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	ইনপুট দুটি আলাদা, তাই আউটপুট $\text{০}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	ইনপুট দুটি আলাদা, তাই আউটপুট $\text{০}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	উভয় ইনপুট একই ($\text{১}$), তাই আউটপুট $\text{১}$

লক্ষ করো, এক্স-নর গেটের আউটপুট এক্স-অর গেটের ঠিক বিপরীত। চারটি সারির মধ্যে দুটিতে আউটপুট $\text{১}$ এবং দুটিতে $\text{০}$।

তিন ইনপুটের এক্স-নর গেট

তিন ইনপুটের এক্স-নর গেটের সত্যক সারণী

$A$	$B$	$C$	$Y=\overline{A\oplus B\oplus C}$	$\text{১}$-এর সংখ্যা
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	শূন্যটি (জোড়)
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	একটি (বিজোড়)
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	একটি (বিজোড়)
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	দুটি (জোড়)
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	একটি (বিজোড়)
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	দুটি (জোড়)
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	দুটি (জোড়)
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	তিনটি (বিজোড়)

তিন ইনপুটের ক্ষেত্রে স্পষ্ট দেখা যাচ্ছে যে ইনপুটে জোড় সংখ্যক $\text{১}$ থাকলেই (শূন্যসহ) আউটপুট $\text{১}$ হয়। এই কারণে এক্স-নর গেটকে জোড় ফাংশনও বলা হয়।

ইনপুট সংখ্যা অনুযায়ী আউটপুটের হার

ইনপুট সংখ্যা	মোট সারি	আউটপুট $\text{১}$ সারি	আউটপুট $\text{০}$ সারি	$\text{১}$ এর হার
$\text{২}$	$\text{৪}$	$\text{২}$	$\text{২}$	$\text{৫০}\mathrm{\%}$
$\text{৩}$	$\text{৮}$	$\text{৪}$	$\text{৪}$	$\text{৫০}\mathrm{\%}$
$\text{৪}$	$\text{১৬}$	$\text{৮}$	$\text{৮}$	$\text{৫০}\mathrm{\%}$

এক্স-অর গেটের মতোই, যেকোনো সংখ্যক ইনপুটের জন্য এক্স-নর গেটেও সবসময় ঠিক $\text{৫০}\mathrm{\%}$ সারিতে আউটপুট $\text{১}$ হয়।

বিশেষ ইনপুট অবস্থা

বিশেষ ইনপুট অবস্থা

অবস্থা	রাশি	ফলাফল	ব্যাখ্যা
এক ইনপুট সবসময় $\text{০}$	$A\odot \text{০}$	$\overline{A}$	গেটটি নট গেটের মতো আচরণ করে
এক ইনপুট সবসময় $\text{১}$	$A\odot \text{১}$	$A$	গেটটি বাফারের মতো কাজ করে, ইনপুট হুবহু আউটপুটে আসে
উভয় ইনপুট একই চলক	$A\odot A$	$\text{১}$	সবসময় $\text{১}$, কারণ দুটি ইনপুট সবসময় একই
ইনপুট পরস্পর পূরক	$A\odot \overline{A}$	$\text{০}$	সবসময় $\text{০}$, কারণ দুটি ইনপুট সবসময় আলাদা
তিনবার একই চলক	$A\odot A\odot A$	$\overline{A}$	দুটি $A$ মিলে $\text{১}$ দেয়, তারপর $\text{১}\odot A=\overline{A}$

এক্স-অর ও এক্স-নর গেটের তুলনা

এক্স-অর বনাম এক্স-নর গেট

বৈশিষ্ট্য	এক্স-অর গেট	এক্স-নর গেট
বুলিয়ান রাশি	$Y=A\oplus B$	$Y=\overline{A\oplus B}=A\odot B$
বিস্তারিত রাশি	$A\overline{B}+\overline{A}B$	$AB+\overline{A}\overline{B}$
আউটপুট $\text{১}$ যখন	ইনপুট আলাদা হলে	ইনপুট একই হলে
আউটপুট $\text{০}$ যখন	ইনপুট একই হলে	ইনপুট আলাদা হলে
অন্য নাম	বিজোড় ফাংশন	জোড় ফাংশন বা সমতা গেট
প্রতীক	$\oplus$	$\odot$
সম্পর্ক	—	এক্স-অর এর পূরক
দুই ইনপুটে $\text{১}$ এর হার	$\text{৫০}\mathrm{\%}$	$\text{৫০}\mathrm{\%}$

বুলিয়ান বীজগণিতে এক্স-নর

এক্স-নর অপারেশন কিছু বিশেষ বীজগাণিতিক ধর্ম মেনে চলে।

বিনিময় ধর্ম

$A\odot B=B\odot A$

সংযোজন ধর্ম

$(A\odot B)\odot C=A\odot (B\odot C)$

স্ব-সমতা ধর্ম

$A\odot A=\text{১}$

$A\odot \overline{A}=\text{০}$

শূন্য ও একের সাথে

$A\odot \text{০}=\overline{A}$

$A\odot \text{১}=A$

দ্বৈত পূরক ধর্ম

$\overline{A\odot B}=A\oplus B$

এক্স-নরের পূরক হলো এক্স-অর, এবং এক্স-অরের পূরক হলো এক্স-নর।

এক্স-অরের সাথে সম্পর্ক

$A\odot B=\overline{A\oplus B}$

$A\oplus B=\overline{A\odot B}$

ভৌত বাস্তবায়ন

ন্যান্ড গেট দিয়ে এক্স-নর গেট

পাঁচটি ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে এক্স-নর গেট তৈরি করা যায়। প্রথম চারটি ন্যান্ড দিয়ে এক্স-অর তৈরি করা হয়, তারপর পঞ্চম ন্যান্ড দিয়ে নট করা হয়।

ধাপগুলো:

1. প্রথম ন্যান্ড: $P=\overline{AB}$
2. দ্বিতীয় ন্যান্ড: $Q=\overline{A\cdot P}$
3. তৃতীয় ন্যান্ড: $R=\overline{B\cdot P}$
4. চতুর্থ ন্যান্ড (এক্স-অর): $S=\overline{Q\cdot R}=A\oplus B$
5. পঞ্চম ন্যান্ড (নট): $Y=\overline{S\cdot S}=\overline{A\oplus B}=A\odot B$

প্রয়োজনীয় ন্যান্ড গেট: ৫টি

বিকল্প পদ্ধতি: সরাসরি রাশি থেকে

বিস্তারিত রাশি $Y=AB+\overline{A}\overline{B}$ থেকে সরাসরি বাস্তবায়ন করা যায়:

1. নট গেট দিয়ে $\overline{A}$ ও $\overline{B}$ তৈরি
2. প্রথম অ্যান্ড গেট: $AB$
3. দ্বিতীয় অ্যান্ড গেট: $\overline{A}\overline{B}$
4. অর গেট: $AB+\overline{A}\overline{B}$

বিভিন্ন গেট দিয়ে এক্স-নর তৈরি

পদ্ধতি	প্রয়োজনীয় গেট সংখ্যা	মন্তব্য
ন্যান্ড গেট	$\text{৫}$	এক্স-অর + একটি অতিরিক্ত নট
নর গেট	$\text{৫}$	ন্যান্ড পদ্ধতির সমতুল্য
অ্যান্ড, অর, নট	$\text{৪}$	সরাসরি রাশি: $AB+\overline{A}\overline{B}$
এক্স-অর + নট	$\text{২}$	সহজতম পদ্ধতি, প্রস্তুত-তৈরি চিপ ব্যবহারে
বিশেষ এক্স-নর চিপ (৭৪২৬৬)	$\text{১}$	প্রস্তুত-তৈরি চিপ, সরাসরি ব্যবহারযোগ্য

বাস্তব জীবনে প্রয়োগ

এক্স-নর গেটের ব্যবহারিক প্রয়োগ

প্রয়োগক্ষেত্র	বিস্তারিত বিবরণ
বিট তুলনাকারী	দুটি বিট সমান কিনা তা যাচাই করতে ব্যবহৃত হয়; সমান হলে আউটপুট $\text{১}$, আলাদা হলে $\text{০}$
ডিজিটাল তুলনাকারী সার্কিট	দুটি বহু-বিটের সংখ্যা সমান কিনা যাচাইয়ে প্রতিটি বিট জোড়ার জন্য এক্স-নর ব্যবহার করা হয়
প্যারিটি যাচাই	জোড় প্যারিটি পরীক্ষায় এক্স-নর গেট ব্যবহৃত হয়; ত্রুটিমুক্ত ডেটায় আউটপুট $\text{১}$ হওয়া উচিত
পাসওয়ার্ড যাচাই সার্কিট	প্রবেশ করা পাসওয়ার্ড ও সংরক্ষিত পাসওয়ার্ডের বিট তুলনায় এক্স-নর গেট ব্যবহৃত হয়
এনকোডার-ডিকোডার	এনকোড করা ডেটা সঠিকভাবে ডিকোড হয়েছে কিনা তা যাচাইয়ে
ফাজি লজিক সার্কিট	দুটি সংকেতের মিল পরিমাপ করতে
এআরএম প্রসেসর	স্থিতি পতাকা (ফ্ল্যাগ) তুলনায় এক্স-নর গেট ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়

বিট তুলনাকারী: এক্স-নর গেটের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ

এক্স-নর গেটের সবচেয়ে সরাসরি ব্যবহার হলো দুটি বিট তুলনা করা।

দুটি $n$-বিটের সংখ্যা $A$ ও $B$ সমান কিনা যাচাই করতে প্রতিটি বিট জোড়ার জন্য একটি করে এক্স-নর গেট ব্যবহার করা হয়, তারপর সব আউটপুট একটি অ্যান্ড গেটে দেওয়া হয়।

দুই বিটের তুলনাকারীর জন্য:

$Y=(A_1\odot B_1)\cdot (A_0\odot B_0)$

দুই বিটের তুলনাকারীর সত্যক সারণী (কিছু উদাহরণ)

$A_1$	$A_0$	$B_1$	$B_0$	$A_1\odot B_1$	$A_0\odot B_0$	$Y$ (সমান?)	ব্যাখ্যা
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$A=B=\text{০০}$, সমান
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$A=B=\text{০১}$, সমান
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$A=\text{১০},B=\text{০১}$, আলাদা
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$A=B=\text{১১}$, সমান

উদাহরণ

উদাহরণ ১: মান নির্ণয়

$A=\text{১},B=\text{১}$ হলে $Y=A\odot B$ এর মান নির্ণয় করো।

উভয় ইনপুট একই, তাই:

$A\oplus B=\text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$

$Y=\overline{A\oplus B}=\overline{\text{০}}=\text{১}$

উদাহরণ ২: মান নির্ণয়

$A=\text{১},B=\text{০}$ হলে $Y=A\odot B$ এর মান নির্ণয় করো।

ইনপুট দুটি আলাদা, তাই:

$A\oplus B=\text{১}\oplus \text{০}=\text{১}$

$Y=\overline{A\oplus B}=\overline{\text{১}}=\text{০}$

বিস্তারিত রাশি দিয়ে যাচাই:

$Y=AB+\overline{A}\overline{B}=\text{১}\cdot \text{০}+\overline{\text{১}}\cdot \overline{\text{০}}=\text{০}+\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}+\text{০}=\text{০}$

উদাহরণ ৩: বিশেষ ধর্ম যাচাই

$A=\text{১}$ হলে যাচাই করো যে $A\odot \text{০}=\overline{A}$ সত্য।

বামপক্ষ: $A\odot \text{০}=\text{১}\odot \text{০}$

$=\overline{\text{১}\oplus \text{০}}=\overline{\text{১}}=\text{০}$

ডানপক্ষ: $\overline{A}=\overline{\text{১}}=\text{০}$

বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ $=\text{০}$

উদাহরণ ৪: তিন চলকের এক্স-নর

$A=\text{১},B=\text{০},C=\text{১}$ হলে $Y=\overline{A\oplus B\oplus C}$ এর মান নির্ণয় করো।

$A\oplus B=\text{১}\oplus \text{০}=\text{১}$

$(A\oplus B)\oplus C=\text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$

$Y=\overline{\text{০}}=\text{১}$

ইনপুটে $\text{১}$ এর সংখ্যা দুটি (জোড়), তাই এক্স-নর গেটের আউটপুট $\text{১}$

উদাহরণ ৫: স্ব-সমতা ধর্ম যাচাই

$A=\text{০}$ হলে যাচাই করো যে $A\odot A=\text{১}$ সত্য।

$A\odot A=\text{০}\odot \text{০}=\overline{\text{০}\oplus \text{০}}=\overline{\text{০}}=\text{১}$

উদাহরণ ৬: রাশি সরলীকরণ

$Y=\overline{(A\odot B)\oplus \text{০}}$ সরল করো।

$(A\odot B)\oplus \text{০}=A\odot B$ (শূন্যের সাথে এক্স-অর করলে অপরিবর্তিত থাকে)

$Y=\overline{A\odot B}=A\oplus B$ (এক্স-নরের পূরক হলো এক্স-অর)

উদাহরণ ৭: বিট তুলনাকারী প্রয়োগ

$A=\text{১০১}$ ও $B=\text{১০১}$ (৩ বিট) সমান কিনা এক্স-নর দিয়ে যাচাই করো।

বিট ২: $A_2\odot B_2=\text{১}\odot \text{১}=\text{১}$

বিট ১: $A_1\odot B_1=\text{০}\odot \text{০}=\text{১}$

বিট ০: $A_0\odot B_0=\text{১}\odot \text{১}=\text{১}$

চূড়ান্ত অ্যান্ড: $Y=\text{১}\cdot \text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

$A=B=\text{১০১}$, সুতরাং তারা সমান

অনুশীলনী

1. $A=\text{০},B=\text{০}$ হলে $Y=A\odot B$ এর মান কত?
2. $A\odot A$ এর মান সর্বদা কত এবং কেন?
3. $A=\text{১},B=\text{১},C=\text{০}$ হলে $Y=\overline{A\oplus B\oplus C}$ এর মান নির্ণয় করো।
4. $Y=A\odot \text{০}$ রাশিটি কোন মৌলিক গেটের সমতুল্য?
5. $A=\text{১},B=\text{০}$ হলে যাচাই করো যে $A\odot B=AB+\overline{A}\overline{B}$ সত্য।
6. $Y=\overline{A\odot B}$ সরল করো।
7. দুটি ৪-বিটের সংখ্যা তুলনা করতে কতটি এক্স-নর গেট ও কতটি অ্যান্ড গেট প্রয়োজন?

উত্তর:

1. $Y=\text{০}\odot \text{০}=\overline{\text{০}\oplus \text{০}}=\overline{\text{০}}=\text{১}$; উভয় ইনপুট একই তাই $\text{১}$
2. সর্বদা $\text{১}$; কারণ দুটি ইনপুট সবসময় একই, এক্স-নর গেট তখন $\text{১}$ দেয়
3. $A\oplus B=\text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$; $\text{০}\oplus C=\text{০}\oplus \text{০}=\text{০}$; $Y=\overline{\text{০}}=\text{১}$; দুটি $\text{১}$ আছে (জোড়) তাই $Y=\text{১}$
4. নট গেটের সমতুল্য; $A\odot \text{০}=\overline{A}$
5. বামপক্ষ: $\text{১}\odot \text{০}=\overline{\text{১}\oplus \text{০}}=\overline{\text{১}}=\text{০}$; ডানপক্ষ: $\text{১}\cdot \text{০}+\overline{\text{১}}\cdot \overline{\text{০}}=\text{০}+\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$
6. $\overline{A\odot B}=A\oplus B$; এক্স-নরের পূরক হলো এক্স-অর
7. ৪টি এক্স-নর গেট (প্রতিটি বিট জোড়ার জন্য একটি) এবং ৩টি অ্যান্ড গেট (চারটি আউটপুট একসাথে অ্যান্ড করতে)

[[টেমপ্লেট:BOOKCATEGORY]]