লজিক গেট/ডি মর্গানের উপপাদ্য

ডি মর্গানের উপপাদ্য বুলিয়ান বীজগণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যগুলোর একটি। গণিতবিদ অগাস্টাস ডি মর্গান (১৮০৬–১৮৭১) এই উপপাদ্য দুটি প্রতিষ্ঠা করেন। ডিজিটাল সার্কিট ডিজাইনে এই উপপাদ্য ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, বিশেষত একটি গেটকে সমতুল্য অন্য গেট দিয়ে প্রতিস্থাপন করার ক্ষেত্রে।

পটভূমি ও ইতিহাস

অগাস্টাস ডি মর্গান ছিলেন একজন ব্রিটিশ গণিতবিদ ও যুক্তিবিদ। তিনি ১৮০৬ সালে ভারতের মাদুরাইতে জন্মগ্রহণ করেন এবং ১৮৭১ সালে লন্ডনে মৃত্যুবরণ করেন। তাঁর সবচেয়ে বিখ্যাত অবদান হলো এই দুটি উপপাদ্য, যা পরবর্তীতে আধুনিক ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্স ও কম্পিউটার বিজ্ঞানের ভিত্তি গড়ে তুলেছে।

যদিও ডি মর্গান এই উপপাদ্য মূলত যুক্তিবিদ্যার প্রেক্ষাপটে প্রতিষ্ঠা করেছিলেন, পরবর্তীকালে জর্জ বুলের বীজগণিতের সাথে মিলিয়ে এটি ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের অপরিহার্য হাতিয়ার হয়ে ওঠে। আজকের কম্পিউটার প্রসেসর, মেমোরি চিপ এবং যেকোনো ডিজিটাল সার্কিটে এই উপপাদ্যের প্রত্যক্ষ প্রয়োগ রয়েছে।

বুলিয়ান বীজগণিতের মূল ধারণা

ডি মর্গানের উপপাদ্য বোঝার আগে বুলিয়ান বীজগণিতের মূল বিষয়গুলো ভালোভাবে জানা দরকার।

বুলিয়ান বীজগণিতে মাত্র দুটি মান থাকে: ০ (মিথ্যা/False) এবং ১ (সত্য/True)। এই বীজগণিতে তিনটি মূল অপারেশন হলো:

• অর (অর, +): দুটির মধ্যে যেকোনো একটি সত্য হলে ফলাফল সত্য। যেমন, আলো জ্বলবে যদি সুইচ A অথবা সুইচ B চালু থাকে।
• অ্যান্ড (অ্যান্ড, ·): দুটি একসাথে সত্য হলেই কেবল ফলাফল সত্য। যেমন, দরজা খুলবে শুধু যদি কী-কার্ড A এবং পাসওয়ার্ড B উভয়ই সঠিক হয়।
• নট (নট, ওভারলাইন): সত্যকে মিথ্যা, মিথ্যাকে সত্য করে, অর্থাৎ পূরক বা বিপরীত মান দেয়। যেমন, আলো বন্ধ থাকলে "আলো নেই" সত্য হয়।

এই তিনটি অপারেশনের সত্যক সারণী নিচে দেওয়া হলো:

অর অপারেশনের সত্যক সারণী (A + B)

A	B	A + B
০	০	০
০	১	১
১	০	১
১	১	১

অ্যান্ড অপারেশনের সত্যক সারণী (A · B)

A	B	A · B
০	০	০
০	১	০
১	০	০
১	১	১

নট অপারেশনের সত্যক সারণী

A	Ā
০	১
১	০

দৈনন্দিন জীবনে বুলিয়ান অপারেশন

বুলিয়ান অপারেশনের ধারণাটি আসলে আমাদের দৈনন্দিন কথাবার্তার মধ্যেই লুকিয়ে আছে:

• অর → "চা অথবা কফি খাবে?", যেকোনো একটি পেলেই চলে।
• অ্যান্ড → "পরীক্ষায় পাস করেছ এবং উপস্থিতি ঠিক আছে, তাহলে সার্টিফিকেট পাবে।", দুটোই লাগবে।
• নট → "আজ বৃষ্টি নেই।", বিপরীত অবস্থা।

ডি মর্গানের উপপাদ্য এই তিনটি অপারেশনের মধ্যে একটি গভীর সম্পর্ক দেখায়: কোনো রাশির পূরক বের করতে গেলে শুধু প্রতিটি চলকের পূরক নেওয়াই যথেষ্ট নয়, বরং মাঝের অপারেটরটিও পাল্টাতে হয়।

উপপাদ্য দুটি

ডি মর্গানের দুটি উপপাদ্য নিম্নরূপ:

প্রথম উপপাদ্য

$\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$

অর্থাৎ, দুটি চলকের অর-এর পূরক সমান প্রতিটি চলকের পূরকের অ্যান্ড।

সহজ ভাষায়: "A বা B", এই কথাটির উল্টো হলো "A নয় এবং B নয়"।

উদাহরণ: "বৃষ্টি হচ্ছে অথবা রোদ আছে", এই কথাটি যদি মিথ্যা হয়, তাহলে অর্থ হলো "বৃষ্টিও নেই এবং রোদও নেই"। অর্থাৎ দুটোর কোনোটিই নেই, মেঘলা আকাশ।

আরেকটি উদাহরণ: "এই ঘরে বিড়াল বা কুকুর আছে", এটি মিথ্যা হলে মানে হলো "এই ঘরে বিড়ালও নেই এবং কুকুরও নেই।"

দ্বিতীয় উপপাদ্য

$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$

অর্থাৎ, দুটি চলকের অ্যান্ড-এর পূরক সমান প্রতিটি চলকের পূরকের অর।

সহজ ভাষায়: "A এবং B উভয়ই সত্য", এই কথাটির উল্টো হলো "A মিথ্যা অথবা B মিথ্যা (বা উভয়ই)"।

উদাহরণ: "পরীক্ষায় পাস করেছি এবং ভালো ফলাফল করেছি", এটি যদি মিথ্যা হয়, তাহলে হয় পাস করিনি, অথবা ভালো ফলাফল হয়নি (বা দুটোই হয়নি)।

আরেকটি উদাহরণ: "আমি প্রতিদিন ব্যায়াম করি এবং সঠিক খাবার খাই", এটি মিথ্যা হলে মানে হলো "আমি প্রতিদিন ব্যায়াম করি না, অথবা সঠিক খাবার খাই না।"

উপপাদ্য দুটির পাশাপাশি তুলনা

দুটি উপপাদ্যের পাশাপাশি তুলনা

বিষয়	প্রথম উপপাদ্য	দ্বিতীয় উপপাদ্য
গাণিতিক রূপ	$\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$	$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$
ভেতরের অপারেটর	অর (+)	অ্যান্ড (·)
পরিবর্তিত অপারেটর	অ্যান্ড (·)	অর (+)
সহজ অর্থ	"A বা B নয়" = "A নয় এবং B নয়"	"A এবং B নয়" = "A নয় বা B নয়"
গেট রূপান্তর	Nঅর গেট → ন্যান্ড গেটে দুই নট	ন্যান্ড গেট → Nঅর গেটে দুই নট

সহজে মনে রাখার উপায়

ডি মর্গানের উপপাদ্য প্রয়োগ করতে মাত্র দুটি কাজ করতে হয়:

1. পূরক বার বা ওভারলাইনটি ভেঙে ভেতরে নিয়ে প্রতিটি চলকের উপর আলাদাভাবে বসাও।
2. মাঝের অপারেটর পরিবর্তন করো: অর ($+$) হলে অ্যান্ড ($\cdot$), আর অ্যান্ড ($\cdot$) হলে অর ($+$)।

একটি সহজ স্মৃতিসহায়ক: "বার ভাঙো, অপারেটর বদলাও"। এই দুটি ধাপ মনে রাখলেই উপপাদ্য দুটি প্রয়োগ করা যাবে।

আরেকটি উপায়ে মনে রাখা যায়: ডি মর্গানের উপপাদ্যে সবসময় দুটি পরিবর্তন একসাথে হয়, একটিও বাদ দেওয়া যাবে না। শুধু বার ভাঙলে ভুল, শুধু অপারেটর বদলালেও ভুল। দুটো একসাথে করতে হবে।

ধাপে ধাপে ডি মর্গান প্রয়োগ

রাশি	ধাপ ১: বার ভাঙো	ধাপ ২: অপারেটর বদলাও	চূড়ান্ত ফলাফল
$\overline{A+B}$	$\overline{A}[?]\overline{B}$	+ বদলে · হয়	$\overline{A}\cdot \overline{B}$
$\overline{A\cdot B}$	$\overline{A}[?]\overline{B}$	· বদলে + হয়	$\overline{A}+\overline{B}$
$\overline{A+B+C}$	$\overline{A}[?]\overline{B}[?]\overline{C}$	+ বদলে · হয়	$\overline{A}\cdot \overline{B}\cdot \overline{C}$
$\overline{A\cdot B\cdot C}$	$\overline{A}[?]\overline{B}[?]\overline{C}$	· বদলে + হয়	$\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}$

সত্যক সারণীর মাধ্যমে প্রমাণ

সত্যক সারণী হলো সব সম্ভাব্য ইনপুট মানের জন্য আউটপুটের একটি তালিকা। দুটি চলক A এবং B থাকলে মোট ২² = ৪টি সম্ভাব্য সমন্বয় হয়: (০,০), (০,১), (১,০), (১,১)। যদি দুটি রাশির সত্যক সারণীর সব মান মিলে যায়, তাহলে রাশি দুটি সমতুল্য প্রমাণিত হয়।

সত্যক সারণীর মাধ্যমে প্রমাণ করা হলো সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য পদ্ধতি, কারণ এখানে সব সম্ভাব্য ইনপুটের জন্য আউটপুট যাচাই করা হয়। যদি বাম পক্ষ ও ডান পক্ষের মান সব সারিতে মিলে যায়, তাহলে উপপাদ্য প্রমাণিত।

প্রথম উপপাদ্যের প্রমাণ: $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$

প্রথম উপপাদ্যের সত্যক সারণী

$A$	$B$	$A+B$	$\overline{A+B}$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A}\cdot \overline{B}$	উভয় পক্ষ কি সমান?
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	হ্যাঁ
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	হ্যাঁ
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	হ্যাঁ
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	হ্যাঁ

সারণী বিশ্লেষণ, প্রতিটি সারি আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করা হলো:

সারি ১

A=০, B=০

বাম পক্ষ: A+B = ০+০ = ০। তার পূরক = ১।

ডান পক্ষ: Ā=১, B̄=১। এদের অ্যান্ড = ১·১ = ১।

উভয় পক্ষ = ১। মিলে গেছে।

সারি ২

A=০, B=১

বাম পক্ষ: A+B = ০+১ = ১। তার পূরক = ০।

ডান পক্ষ: Ā=১, B̄=০। এদের অ্যান্ড = ১·০ = ০।

উভয় পক্ষ = ০। মিলে গেছে।

সারি ৩

A=১, B=০

বাম পক্ষ: A+B = ১+০ = ১। তার পূরক = ০।

ডান পক্ষ: Ā=০, B̄=১। এদের অ্যান্ড = ০·১ = ০।

উভয় পক্ষ = ০। মিলে গেছে।

সারি ৪

A=১, B=১

বাম পক্ষ: A+B = ১+১ = ১। তার পূরক = ০।

ডান পক্ষ: Ā=০, B̄=০। এদের অ্যান্ড = ০·০ = ০।

উভয় পক্ষ = ০। মিলে গেছে।

চতুর্থ কলাম ($\overline{A+B}$) এবং সপ্তম কলাম ($\overline{A}\cdot \overline{B}$) সম্পূর্ণ একই, উভয় কলামে ১, ০, ০, ০, সুতরাং প্রথম উপপাদ্য প্রমাণিত।

দ্বিতীয় উপপাদ্যের প্রমাণ: $\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$

দ্বিতীয় উপপাদ্যের সত্যক সারণী

$A$	$B$	$A\cdot B$	$\overline{A\cdot B}$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A}+\overline{B}$	উভয় পক্ষ কি সমান?
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	হ্যাঁ
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	হ্যাঁ
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	হ্যাঁ
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	হ্যাঁ

সারণী বিশ্লেষণ, প্রতিটি সারি আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করা হলো:

সারি ১

A=০, B=০

বাম পক্ষ: A·B = ০·০ = ০। তার পূরক = ১।

ডান পক্ষ: Ā=১, B̄=১। এদের অর = ১+১ = ১।

উভয় পক্ষ = ১। মিলে গেছে।

সারি ২

A=০, B=১

বাম পক্ষ: A·B = ০·১ = ০। তার পূরক = ১।

ডান পক্ষ: Ā=১, B̄=০। এদের অর = ১+০ = ১।

উভয় পক্ষ = ১। মিলে গেছে।

সারি ৩

A=১, B=০

বাম পক্ষ: A·B = ১·০ = ০। তার পূরক = ১।

ডান পক্ষ: Ā=০, B̄=১। এদের অর = ০+১ = ১।

উভয় পক্ষ = ১। মিলে গেছে।

সারি ৪

A=১, B=১

বাম পক্ষ: A·B = ১·১ = ১। তার পূরক = ০।

ডান পক্ষ: Ā=০, B̄=০। এদের অর = ০+০ = ০।

উভয় পক্ষ = ০। মিলে গেছে।

অ্যান্ড গেটের আউটপুট কেবল তখনই ১ হয় যখন A এবং B উভয়ই ১। তাই A=১ এবং B=১ ছাড়া বাকি সব ক্ষেত্রে অ্যান্ড=০ এবং তার পূরক=১। চতুর্থ কলাম ($\overline{A\cdot B}$) এবং সপ্তম কলাম ($\overline{A}+\overline{B}$) সম্পূর্ণ একই, উভয় কলামে ১, ১, ১, ০, সুতরাং দ্বিতীয় উপপাদ্য প্রমাণিত।

তিনটি চলকের ক্ষেত্রে সম্প্রসারণ

ডি মর্গানের উপপাদ্য শুধু দুটি চলকের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়। তিন বা ততোধিক চলকের ক্ষেত্রেও একইভাবে প্রযোজ্য। নিয়মটা একই থাকে, বার ভাঙো, অপারেটর বদলাও।

$\overline{A+B+C}=\overline{A}\cdot \overline{B}\cdot \overline{C}$

$\overline{A\cdot B\cdot C}=\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}$

উদাহরণ, ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:

$\overline{A+B+C}$ বের করতে হলে:

1. বার ভেঙে প্রতিটি চলকের উপর বসাও: $\overline{A},\overline{B},\overline{C}$
2. অর (+) পরিবর্তন হয়ে অ্যান্ড (·) হয়: $\overline{A}\cdot \overline{B}\cdot \overline{C}$

দৈনন্দিন ভাষায় ব্যাখ্যা: "আজ স্কুলে গেছি অথবা বাজারে গেছি অথবা অফিসে গেছি", এই বাক্যটি যদি মিথ্যা হয়, তাহলে অর্থ হলো "স্কুলেও যাইনি, বাজারেও যাইনি, অফিসেও যাইনি।" তিনটির একটিতেও যাইনি।

সাধারণভাবে $n$টি চলকের ক্ষেত্রে:

$\overline{A_1+A_2+\cdots +A_n}={\overline{A}}_1\cdot {\overline{A}}_2\cdots {\overline{A}}_n$

$\overline{A_1\cdot A_2\cdots A_n}={\overline{A}}_1+{\overline{A}}_2+\cdots +{\overline{A}}_n$

অর্থাৎ যত বেশি চলকই থাকুক না কেন, একই দুটি ধাপ, বার ভাঙা ও অপারেটর বদলানো, বারবার প্রয়োগ করলেই উপপাদ্য কাজ করবে।

তিন চলকের প্রথম উপপাদ্যের সত্যক সারণী

তিনটি চলক থাকলে মোট ২³ = ৮টি সম্ভাব্য সমন্বয় হয়।

তিন চলকের প্রথম উপপাদ্য: $\overline{A+B+C}=\overline{A}\cdot \overline{B}\cdot \overline{C}$

A	B	C	A+B+C	$\overline{A+B+C}$	Ā	B̄	C̄	$\overline{A}\cdot \overline{B}\cdot \overline{C}$
০	০	০	০	১	১	১	১	১
০	০	১	১	০	১	১	০	০
০	১	০	১	০	১	০	১	০
০	১	১	১	০	১	০	০	০
১	০	০	১	০	০	১	১	০
১	০	১	১	০	০	১	০	০
১	১	০	১	০	০	০	১	০
১	১	১	১	০	০	০	০	০

পঞ্চম এবং নবম কলাম সম্পূর্ণ একই, শুধুমাত্র প্রথম সারিতে ১, বাকি সব সারিতে ০। এটি প্রমাণ করে যে তিন চলকের ক্ষেত্রেও প্রথম উপপাদ্য সঠিক।

লজিক সার্কিটে প্রয়োগ

ডি মর্গানের উপপাদ্যের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহারিক প্রয়োগ হলো এক ধরনের গেটকে অন্য ধরনের গেট দিয়ে প্রতিস্থাপন করা। বাস্তব সার্কিট তৈরিতে অনেক সময় কিছু গেটের চিপ সহজলভ্য থাকে, অন্যগুলো নাও থাকতে পারে। ডি মর্গানের উপপাদ্য ব্যবহার করে কম সংখ্যক ধরনের গেট দিয়ে পুরো সার্কিট তৈরি করা যায়, যা উৎপাদন খরচ কমায় এবং ডিজাইন সহজ করে।

বিশেষভাবে উল্লেখযোগ্য যে, শুধুমাত্র ন্যান্ড (ন্যান্ড) গেট বা শুধুমাত্র নর (Nঅর) গেট দিয়ে যেকোনো বুলিয়ান ফাংশন তৈরি করা সম্ভব। এ কারণে এই গেট দুটিকে সর্বজনীন গেট (Universal Gate) বলা হয়।

লজিক গেটগুলোর পরিচয়

ডিজিটাল সার্কিটে ব্যবহৃত প্রধান গেটগুলো হলো:

প্রধান লজিক গেটের সারসংক্ষেপ

গেটের নাম	প্রতীক	বুলিয়ান রাশি	সহজ ব্যাখ্যা
অ্যান্ড	·	A · B	উভয়ই ১ হলে আউটপুট ১
অর	+	A + B	যেকোনো একটি ১ হলে আউটপুট ১
নট	ওভারলাইন	Ā	ইনপুটের বিপরীত
ন্যান্ড	·̄	$\overline{A\cdot B}$	অ্যান্ড-এর বিপরীত
Nঅর	+̄	$\overline{A+B}$	অর-এর বিপরীত

নর গেট দিয়ে অ্যান্ড গেট তৈরি

দ্বিতীয় উপপাদ্য অনুযায়ী:

$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$

উভয়পক্ষের পূরক নিলে:

$A\cdot B=\overline{\overline{A}+\overline{B}}$

এর মানে হলো: প্রথমে A এবং B কে আলাদাভাবে নট করো, তারপর সেই দুটি পূরক মানকে একটি নর গেটে ইনপুট হিসেবে দাও। নর গেটের আউটপুট হবে ঠিক যা একটি অ্যান্ড গেট দিত।

অর্থাৎ: নট(A) → Nঅর ← নট(B) = অ্যান্ড গেটের সমান।

ধাপে ধাপে বোঝার চেষ্টা করা যাক

ধরা যাক A=১, B=১।

নট(A) = ০, নট(B) = ০।

Nঅর(০, ০) = ০+০ = ০ এর পূরক = ১।

অ্যান্ড(১, ১) = ১। মিলে গেছে!

ধরা যাক A=১, B=০।

নট(A) = ০, নট(B) = ১।

Nঅর(০, ১) = ০+১ = ১ এর পূরক = ০।

অ্যান্ড(১, ০) = ০। মিলে গেছে!

ন্যান্ড গেট দিয়ে অর গেট তৈরি

প্রথম উপপাদ্য অনুযায়ী:

$\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$

উভয়পক্ষের পূরক নিলে:

$A+B=\overline{\overline{A}\cdot \overline{B}}$

এর মানে হলো: প্রথমে A এবং B কে আলাদাভাবে নট করো, তারপর সেই দুটি পূরক মানকে একটি ন্যান্ড গেটে ইনপুট হিসেবে দাও। ন্যান্ড গেটের আউটপুট হবে ঠিক যা একটি অর গেট দিত।

অর্থাৎ: নট(A) → ন্যান্ড ← নট(B) = অর গেটের সমান।

ধাপে ধাপে বোঝার চেষ্টা

ধরা যাক A=০, B=০।

নট(A) = ১, নট(B) = ১।

ন্যান্ড(১, ১) = ১·১ = ১ এর পূরক = ০।

অর(০, ০) = ০। মিলে গেছে!

ধরা যাক A=১, B=০।

নট(A) = ০, নট(B) = ১।

ন্যান্ড(০, ১) = ০·১ = ০ এর পূরক = ১।

অর(১, ০) = ১। মিলে গেছে!

গেট রূপান্তরের সারসংক্ষেপ

ডি মর্গান ব্যবহার করে গেট রূপান্তর

মূল গেট	সমতুল্য রূপ	বুলিয়ান রাশি	কোন উপপাদ্য
অর গেট	ন্যান্ড গেটে দুটি নট ইনপুট	$A+B=\overline{\overline{A}\cdot \overline{B}}$	প্রথম উপপাদ্য (উল্টো)
অ্যান্ড গেট	নর গেটে দুটি নট ইনপুট	$A\cdot B=\overline{\overline{A}+\overline{B}}$	দ্বিতীয় উপপাদ্য (উল্টো)
নর গেট	অ্যান্ড গেটে দুটি নট ইনপুট	$\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$	প্রথম উপপাদ্য
ন্যান্ড গেট	অর গেটে দুটি নট ইনপুট	$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$	দ্বিতীয় উপপাদ্য

সর্বজনীন গেট হিসেবে ন্যান্ড

শুধু ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে তিনটি মূল গেট (নট, অ্যান্ড, অর) তৈরি করা যায়:

ন্যান্ড দিয়ে নট তৈরি

একটি ন্যান্ড গেটের দুটি ইনপুটে একই সংকেত A দিলে:

$\overline{A\cdot A}=\overline{A}$

ফলাফল হলো নট গেট।

ন্যান্ড দিয়ে অ্যান্ড তৈরি

একটি ন্যান্ড গেটের পর একটি নট গেট লাগালে:

$\overline{\stackrel{‾}{A\cdot B}}=A\cdot B$

ফলাফল হলো অ্যান্ড গেট।

ন্যান্ড দিয়ে অর তৈরি

ডি মর্গানের প্রথম উপপাদ্য ব্যবহার করে (উপরে আলোচিত):

$A+B=\overline{\overline{A}\cdot \overline{B}}$

অর্থাৎ দুটি ন্যান্ড-নট সংমিশ্রণ এবং একটি ন্যান্ড গেট।

বুলিয়ান রাশি সরলীকরণে প্রয়োগ

ডি মর্গানের উপপাদ্য ব্যবহার করে জটিল বুলিয়ান রাশিকে সহজ আকারে প্রকাশ করা যায়। নিচের উদাহরণগুলো ধাপে ধাপে দেখানো হয়েছে।

উদাহরণ ১

$\overline{A+\overline{B}}$ সরল করো।

এখানে পুরো রাশিটির উপর একটি বড় বার আছে। প্রথম উপপাদ্য প্রয়োগ করতে হবে (কারণ ভেতরে + আছে):

ধাপ ১

ভেতরের অপারেটর দেখো

ভেতরে "+" আছে, তাই প্রথম উপপাদ্য প্রযোজ্য।

ধাপ ২

বার ভাঙো, অপারেটর বদলাও

$\overline{A+\overline{B}}=\overline{A}\cdot \bar{\overline{B}}$

ধাপ ৩

দ্বৈত পরিপূরক সরল করো

$=\overline{A}\cdot B$

(কারণ $\bar{\overline{B}}=B$, একটি চলকের পূরকের পূরক সেই চলকটিই)

চূড়ান্ত উত্তর: $\overline{A}\cdot B$

উদাহরণ ২

$\overline{\overline{A}\cdot B}$ সরল করো।

ধাপ ১

ভেতরের অপারেটর দেখো

ভেতরে "·" আছে, তাই দ্বিতীয় উপপাদ্য প্রযোজ্য।

ধাপ ২

বার ভাঙো, অপারেটর বদলাও

$\overline{\overline{A}\cdot B}=\bar{\overline{A}}+\overline{B}$

ধাপ ৩

দ্বৈত পরিপূরক সরল করো

$=A+\overline{B}$

(কারণ $\bar{\overline{A}}=A$)

চূড়ান্ত উত্তর: $A+\overline{B}$

উদাহরণ ৩

$\overline{AB+CD}$ সরল করো।

এখানে দুটি পদ AB এবং CD একটি অর দিয়ে যুক্ত। বাইরের বার প্রথমে পুরো AB এবং পুরো CD-এর উপর প্রযোজ্য হবে।

ধাপ ১

বাইরের বড় বারে প্রথম উপপাদ্য প্রয়োগ করো

AB এবং CD কে একক পদ ধরে নাও।

$\overline{AB+CD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}$

ধাপ ২

এখন প্রতিটি পদে দ্বিতীয় উপপাদ্য প্রয়োগ করো

$\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}$ (ভেতরে · আছে, তাই অপারেটর + হয়)

$\overline{CD}=\overline{C}+\overline{D}$ (একইভাবে)

ধাপ ৩

একত্রিত করো

$=(\overline{A}+\overline{B})(\overline{C}+\overline{D})$

চূড়ান্ত উত্তর: $(\overline{A}+\overline{B})(\overline{C}+\overline{D})$

লক্ষ্য করো: AB একটি একক পদ, A এবং B-কে আলাদা ধরলে ভুল হবে। প্রথমে বাইরের বারটি ভাঙো, তারপর ভেতরের পদগুলোতে আবার উপপাদ্য প্রয়োগ করো।

উদাহরণ ৪

$\overline{(A+B)(C+D)}$ সরল করো।

এখানে দুটি পদ (A+B) এবং (C+D) একটি অ্যান্ড দিয়ে গুণ করা হয়েছে।

ধাপ ১

বাইরের বড় বারে দ্বিতীয় উপপাদ্য প্রয়োগ করো

(A+B) এবং (C+D) কে একক পদ ধরে নাও।

$\overline{(A+B)(C+D)}=\overline{(A+B)}+\overline{(C+D)}$

ধাপ ২

প্রতিটি পদে প্রথম উপপাদ্য প্রয়োগ করো

$\overline{(A+B)}=\overline{A}\cdot \overline{B}$ (ভেতরে + আছে, তাই অপারেটর · হয়)

$\overline{(C+D)}=\overline{C}\cdot \overline{D}$ (একইভাবে)

ধাপ ৩

একত্রিত করো

$=(\overline{A}\cdot \overline{B})+(\overline{C}\cdot \overline{D})$

চূড়ান্ত উত্তর: $\overline{A}\overline{B}+\overline{C}\overline{D}$

উদাহরণ ৫: মিশ্র রাশি

$\overline{A\overline{B}+\overline{A}C}$ সরল করো।

ধাপ ১

বাইরের বারে প্রথম উপপাদ্য (ভেতরে + আছে)

$=\overline{A\overline{B}}\cdot \overline{\overline{A}C}$

ধাপ ২

প্রতিটি পদে দ্বিতীয় উপপাদ্য (ভেতরে · আছে)

$\overline{A\overline{B}}=\overline{A}+\bar{\overline{B}}=\overline{A}+B$

$\overline{\overline{A}C}=\bar{\overline{A}}+\overline{C}=A+\overline{C}$

ধাপ ৩

একত্রিত করো

$=(\overline{A}+B)(A+\overline{C})$

চূড়ান্ত উত্তর: $(\overline{A}+B)(A+\overline{C})$

সাধারণ ভুল

ডি মর্গানের উপপাদ্য প্রয়োগের সময় নিচের ভুলগুলো প্রায়ই হয়। সবচেয়ে বড় ভুল হলো বার ভাঙার পর অপারেটর না বদলানো:

সাধারণ ভুল ও সঠিক প্রয়োগ

ভুল প্রয়োগ	সঠিক প্রয়োগ	কারণ
$\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}$	$\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$	অপারেটর পরিবর্তন করতে হয়
$\overline{A\cdot B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$	$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$	অপারেটর পরিবর্তন করতে হয়
$\overline{A+BC}=\overline{A}\cdot \overline{B}\overline{C}$	$\overline{A+BC}=\overline{A}\cdot \overline{BC}=\overline{A}(\overline{B}+\overline{C})$	$BC$ একটি সম্পূর্ণ পদ, আলাদাভাবে উপপাদ্য প্রয়োগ করতে হবে
$\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}$	$\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}$	অ্যান্ডের পূরকে অর আসে
$\overline{A+B}=A+B$	$\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$	শুধু ওভারলাইন সরিয়ে দেওয়া যাবে না

মনে রাখার জন্য: বার ভাঙলে অপারেটর না বদলানো মানে হলো ডি মর্গানের উপপাদ্য প্রয়োগ না করে শুধু পূরকটা নেওয়া, এটি সম্পূর্ণ ভুল ফলাফল দেবে। সত্যক সারণী দিয়ে যাচাই করলে বোঝা যাবে দুটি পক্ষ মিলছে না।

ভুল এড়ানোর কৌশল

1. বড় বার আগে, ছোট বার পরে: সবসময় সবচেয়ে বাইরের বার থেকে শুরু করে ভেতরের দিকে এগোও।
2. একটি পদ বনাম আলাদা চলক: AB হলো একটি পদ (দুটি চলকের গুণফল), A এবং B আলাদা নয়। প্রথমে AB-এর উপর বার বসাও, তারপর আবার ভাঙো।
3. সত্যক সারণী দিয়ে যাচাই: সন্দেহ হলে ছোট উদাহরণের জন্য সত্যক সারণী বানিয়ে দেখো।
4. দ্বৈত পরিপূরক ব্যবহার: $\bar{\overline{A}}=A$, এটি ব্যবহার করে রাশি সরল করা যায়।

বিশেষ ক্ষেত্র ও সম্পর্কিত উপপাদ্য

দ্বৈত পরিপূরক উপপাদ্য

$\bar{\overline{A}}=A$

অর্থাৎ কোনো চলকের পূরকের পূরক সেই চলকটিই। এটি ডি মর্গানের উপপাদ্য প্রয়োগের সময় প্রায়ই দরকার হয়।

বুলিয়ান বীজগণিতের অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য

ডি মর্গানের উপপাদ্যের পাশাপাশি বুলিয়ান বীজগণিতে আরো কিছু গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম আছে:

বুলিয়ান বীজগণিতের মূল উপপাদ্যসমূহ

উপপাদ্যের নাম	রাশি
পরিচয় সূত্র	$A+0=A$ এবং $A\cdot 1=A$
শূন্য ও এক সূত্র	$A+1=1$ এবং $A\cdot 0=0$
পরিপূরক সূত্র	$A+\overline{A}=1$ এবং $A\cdot \overline{A}=0$
বিনিময় সূত্র	$A+B=B+A$ এবং $A\cdot B=B\cdot A$
সংযোজন সূত্র	$(A+B)+C=A+(B+C)$
বিতরণ সূত্র	$A(B+C)=AB+AC$
শোষণ সূত্র	$A+AB=A$
দ্বৈত পরিপূরক	$\bar{\overline{A}}=A$
ডি মর্গান ১	$\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$
ডি মর্গান ২	$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$

ব্যবহারিক প্রয়োগের উদাহরণ

কম্পিউটার প্রসেসরে

আধুনিক কম্পিউটার প্রসেসরে বিলিয়নেরও বেশি ট্রানজিস্টর থাকে, যারা মূলত ন্যান্ড এবং Nঅর গেটের বিভিন্ন সমন্বয়ে কাজ করে। ডি মর্গানের উপপাদ্য ব্যবহার করে অ্যান্ড, অর গেট সহ সব ধরনের লজিক তৈরি করা হয়।

সফটওয়্যার প্রোগ্রামিংয়ে

প্রোগ্রামিংয়ে শর্ত সরলীকরণে ডি মর্গানের উপপাদ্য কাজে আসে। উদাহরণস্বরূপ:

প্রোগ্রামিং ভাষায়:

if নট (A অর B)   →   if (নট A) অ্যান্ড (নট B)
if নট (A অ্যান্ড B)  →   if (নট A) অর (নট B)

এই রূপান্তর কোড পড়া সহজ করে এবং অনেক সময় কম্পিউটার দ্রুত কাজ করে।

ডেটাবেজ কুয়েরিতে

SQL বা অন্য ডেটাবেজ কুয়েরিতে ডি মর্গানের উপপাদ্য ব্যবহার হয়। যেমন:

"বয়স ১৮-র কম নয় এবং দেশ বাংলাদেশ নয়" এমন রেকর্ড বাদ দেওয়া

এটিকে সরল করা যায় ডি মর্গানের উপপাদ্য ব্যবহার করে।

অনুশীলনী

ডি মর্গানের উপপাদ্য ব্যবহার করে নিচের রাশিগুলো সরল করো। প্রতিটি ক্ষেত্রে কোন উপপাদ্য প্রযোজ্য তা ভেতরের অপারেটর দেখে বুঝবে, ভেতরে · থাকলে দ্বিতীয় উপপাদ্য, ভেতরে + থাকলে প্রথম উপপাদ্য:

সহজ স্তর

1. $\overline{A\cdot \overline{B}}$
2. $\overline{\overline{A}+\overline{B}}$
3. $\overline{A+B+C}$
4. $\overline{(A+B)\cdot C}$
5. $\overline{AB+\overline{A}B}$

মধ্যম স্তর

6. $\overline{\overline{A}B+A\overline{B}}$
7. $\overline{(A+B)(\overline{A}+C)}$
8. $\overline{ABC+\overline{A}\overline{B}C}$

কঠিন স্তর

9. $\overline{(A+B+C)(A+\overline{B})}$
10. $\overline{\stackrel{‾}{AB}\cdot \stackrel{‾}{CD}}$

উত্তর:

সহজ স্তর:

1. $\overline{A}+B$
2. $A\cdot B$
3. $\overline{A}\cdot \overline{B}\cdot \overline{C}$
4. $(\overline{A}\cdot \overline{B})+\overline{C}$
5. $(\overline{A}+\overline{B})(A+\overline{B})=\overline{B}$

মধ্যম স্তর:

6. $(\overline{A}+\overline{B})(A+B)=A\overline{B}+\overline{A}B$ অর্থাৎ $A\oplus B$ (Xঅর-এর পরিপূরক সমতুল্য নয়, এটি XNঅর)
7. $(\overline{A}\cdot \overline{B})+(A\cdot \overline{C})$
8. $(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C})(A+B+\overline{C})$

কঠিন স্তর:

9. $(\overline{A}\cdot \overline{B}\cdot \overline{C})+(\overline{A}+B)$
10. $AB+CD$ (দ্বৈত পরিপূরক প্রয়োগে সরল হয়)

সারসংক্ষেপ

ডি মর্গানের উপপাদ্য বুলিয়ান বীজগণিতের একটি শক্তিশালী হাতিয়ার। মূল বিষয়গুলো মনে রাখার জন্য:

ডি মর্গানের উপপাদ্যের সারসংক্ষেপ

বিষয়	বিবরণ
প্রথম উপপাদ্য	$\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$: অর-এর পূরক = অ্যান্ড of নটs
দ্বিতীয় উপপাদ্য	$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$: অ্যান্ড-এর পূরক = অর অফ নট
মনে রাখার নিয়ম	বার ভাঙো + অপারেটর বদলাও
n চলকে প্রযোজ্য	হ্যাঁ, যেকোনো সংখ্যক চলকে কাজ করে
ব্যবহার	গেট রূপান্তর, সার্কিট সরলীকরণ, প্রোগ্রামিং শর্ত
প্রমাণ পদ্ধতি	সত্যক সারণী (সব সম্ভাব্য ইনপুট যাচাই)

সহজ ভাষায় বলতে গেলে, ডি মর্গানের উপপাদ্য আমাদের বলে যে একটি যৌগিক শর্তের বিপরীত বের করতে হলে প্রতিটি অংশের বিপরীত নেওয়ার পাশাপাশি "এবং"কে "অথবা" এবং "অথবা"কে "এবং" বদলে নিতে হয়। এই সহজ নিয়মটি ডিজিটাল সার্কিট থেকে শুরু করে কম্পিউটার প্রোগ্রামিং পর্যন্ত সর্বত্র ব্যবহৃত হয়।

[[টেমপ্লেট:BOOKCATEGঅরY]]