লজিক গেট/পূর্ণযোগকারী

পূর্ণযোগকারী হলো ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের একটি মৌলিক সমন্বয় সার্কিট যা তিনটি বাইনারি বিটের যোগ সম্পাদন করে। এই তিনটি ইনপুট হলো দুটি মূল বিট ($A$ এবং $B$) এবং একটি ক্যারি-ইন বিট ($C_{in}$)। পূর্ণযোগকারী দুটি আউটপুট তৈরি করে: একটি যোগফল ($S$) এবং একটি ক্যারি-আউট ($C_{out}$)।

পূর্ণযোগকারীকে ফুল অ্যাডার বলা হয় কারণ এটি অর্ধযোগকারী (হাফ অ্যাডার) এর চেয়ে সম্পূর্ণ, এটি আগের ধাপ থেকে আসা ক্যারি বিটও গ্রহণ করতে পারে। বহু-বিটের সংখ্যার যোগ করতে একাধিক পূর্ণযোগকারী পরস্পর সংযুক্ত করে রিপল ক্যারি অ্যাডার তৈরি করা হয়, যা আধুনিক কম্পিউটার আর্কিটেকচারের ভিত্তি।

বাস্তব জীবনের সাথে তুলনা

পূর্ণযোগকারীর ধারণাটি আমাদের দৈনন্দিন হাতে-কলমে যোগের সাথে তুলনা করা যায়। ধরো তুমি দুটি তিন সংখ্যার সংখ্যা কলমে যোগ করছো। প্রতিটি কলামে তুমি দুটি অঙ্ক এবং আগের কলাম থেকে আসা একটি হাতি (ক্যারি) যোগ করো। ফলাফলের এককের অঙ্কটি হলো যোগফল এবং দশকের অঙ্কটি হলো পরের কলামের ক্যারি। পূর্ণযোগকারী ঠিক এই কাজটিই বাইনারি পদ্ধতিতে করে।

বাস্তব জীবনে পূর্ণযোগকারী অপারেশনের উদাহরণ

পরিস্থিতি	ইনপুট $A$	ইনপুট $B$	ক্যারি-ইন	ফলাফল
কলামে যোগ	প্রথম অঙ্ক	দ্বিতীয় অঙ্ক	আগের কলামের হাতি	যোগফল ও পরের হাতি
ক্যাশ গণনা	প্রথম ব্যক্তির টাকা	দ্বিতীয় ব্যক্তির টাকা	আগে জমানো অতিরিক্ত	মোট ও উপচে পড়া পরিমাণ
ব্যাগ ভরা	প্রথম স্তূপের বস্তু	দ্বিতীয় স্তূপের বস্তু	আগে থেকে থাকা বস্তু	ব্যাগে রাখা ও বাইরে যা রইল
ভোট গণনা	প্রথম বাক্সের ভোট	দ্বিতীয় বাক্সের ভোট	আগের রাউন্ডের অতিরিক্ত	মোট ও পরের রাউন্ডে যাওয়া

বুলিয়ান রাশি

তিনটি ইনপুট $A$, $B$, $C_{in}$ এবং দুটি আউটপুট $S$ ও $C_{out}$ এর জন্য পূর্ণযোগকারীর বুলিয়ান রাশি:

যোগফলের জন্য:

$S=A\oplus B\oplus C_{in}$

ক্যারি-আউটের জন্য:

$C_{out}=AB+B{C}_{in}+A{C}_{in}$

ক্যারি-আউটের রাশিটি বিকল্পভাবে লেখা যায়:

$C_{out}=AB+C_{in}(A\oplus B)$

এর অর্থ:

• যোগফল $S$ হলো তিনটি ইনপুটের এক্স-অর।
• ক্যারি-আউট $C_{out}$ হয় যখন যেকোনো দুটি বা তিনটি ইনপুট $\text{১}$।

অর্ধযোগকারী থেকে পূর্ণযোগকারী

পূর্ণযোগকারী তৈরি করা যায় দুটি অর্ধযোগকারী এবং একটি অর গেট দিয়ে।

অর্ধযোগকারীর রাশি:

$S_{half}=A\oplus B$

$C_{half}=AB$

পূর্ণযোগকারী তৈরির ধাপ:

1. প্রথম অর্ধযোগকারী: $S_1=A\oplus B$, $C_1=AB$
2. দ্বিতীয় অর্ধযোগকারী: $S=S_1\oplus C_{in}$, $C_2=S_1\cdot C_{in}$
3. অর গেট: $C_{out}=C_1+C_2$

অর্ধযোগকারী বনাম পূর্ণযোগকারী

বৈশিষ্ট্য	অর্ধযোগকারী	পূর্ণযোগকারী
ইনপুট সংখ্যা	$\text{২}$ ($A,B$)	$\text{৩}$ ($A,B,C_{in}$)
আউটপুট সংখ্যা	$\text{২}$ ($S,C_{out}$)	$\text{২}$ ($S,C_{out}$)
ক্যারি-ইন গ্রহণ	না	হ্যাঁ
বহু-বিট যোগে ব্যবহার	শুধু সর্বনিম্ন বিটে	সব বিটে
সার্কিট জটিলতা	সহজ	তুলনামূলক জটিল

সত্যক সারণী

পূর্ণযোগকারীর সম্পূর্ণ সত্যক সারণী

পূর্ণযোগকারীর সত্যক সারণী

$A$	$B$	$C_{in}$	$S$	$C_{out}$	ব্যাখ্যা
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$0+0+0=0$, যোগফল ০, ক্যারি ০
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$0+0+1=1$, যোগফল ১, ক্যারি ০
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$0+1+0=1$, যোগফল ১, ক্যারি ০
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$0+1+1=10_2$, যোগফল ০, ক্যারি ১
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$1+0+0=1$, যোগফল ১, ক্যারি ০
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$1+0+1=10_2$, যোগফল ০, ক্যারি ১
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$1+1+0=10_2$, যোগফল ০, ক্যারি ১
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$1+1+1=11_2$, যোগফল ১, ক্যারি ১

লক্ষ করো:

• যোগফল $S$ তখনই $\text{১}$ হয় যখন বিজোড় সংখ্যক ইনপুট $\text{১}$, এটি এক্স-অর আচরণ।
• ক্যারি-আউট $C_{out}$ তখনই $\text{১}$ হয় যখন দুই বা তিনটি ইনপুট $\text{১}$।

আউটপুট বিশ্লেষণ

যোগফল ও ক্যারির প্যাটার্ন

তিনটি ইনপুটে $\text{১}$ এর সংখ্যা	$S$ (যোগফল)	$C_{out}$ (ক্যারি)	বাইনারি যোগ
০টি	$\text{০}$	$\text{০}$	$00_2$
১টি	$\text{১}$	$\text{০}$	$01_2$
২টি	$\text{০}$	$\text{১}$	$10_2$
৩টি	$\text{১}$	$\text{১}$	$11_2$

ভৌত বাস্তবায়ন

ন্যান্ড গেট দিয়ে পূর্ণযোগকারী

নয়টি ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে পূর্ণযোগকারী তৈরি করা যায়।

প্রথম অর্ধযোগকারী অংশ (চারটি ন্যান্ড):

1. $G_1=\overline{AB}$
2. $G_2=\overline{A\cdot G_1}$
3. $G_3=\overline{B\cdot G_1}$
4. $S_1=\overline{G_2\cdot G_3}=A\oplus B$

দ্বিতীয় অর্ধযোগকারী অংশ (চারটি ন্যান্ড):

1. $G_5=\overline{S_1\cdot C_{in}}$
2. $G_6=\overline{S_1\cdot G_5}$
3. $G_7=\overline{C_{in}\cdot G_5}$
4. $S=\overline{G_6\cdot G_7}=S_1\oplus C_{in}$

ক্যারি-আউট অংশ (একটি ন্যান্ড):

1. $C_{out}=\overline{G_1\cdot G_5}$

প্রয়োজনীয় ন্যান্ড গেট: ৯টি

বিভিন্ন পদ্ধতিতে বাস্তবায়ন

বিভিন্ন গেট দিয়ে পূর্ণযোগকারী তৈরি

পদ্ধতি	প্রয়োজনীয় গেট সংখ্যা	মন্তব্য
ন্যান্ড গেট	$\text{৯}$	সবচেয়ে প্রচলিত পদ্ধতি
নর গেট	$\text{৯}$	ন্যান্ড পদ্ধতির সমতুল্য
অ্যান্ড, অর, নট	$\text{৮}$	সরাসরি বুলিয়ান রাশি থেকে
দুটি অর্ধযোগকারী + অর	$\text{৫}$ (অর্ধযোগকারী হিসেবে)	সহজে বোধগম্য কাঠামো
এক্স-অর, অ্যান্ড, অর	$\text{৫}$	$2$টি এক্স-অর, $2$টি অ্যান্ড, $1$টি অর
বিশেষ FA চিপ (৭৪২৮৩)	$\text{১}$	প্রস্তুত-তৈরি ৪-বিট অ্যাডার চিপ

রিপল ক্যারি অ্যাডার

একাধিক পূর্ণযোগকারী পর পর সংযুক্ত করে বহু-বিটের সংখ্যার যোগ করা যায়। এই কাঠামোকে রিপল ক্যারি অ্যাডার বলে, কারণ ক্যারি এক ধাপ থেকে পরের ধাপে "ঢেউয়ের মতো" (রিপল) ছড়িয়ে যায়।

$n$-বিটের রিপল ক্যারি অ্যাডারের জন্য $n$টি পূর্ণযোগকারী প্রয়োজন। সর্বনিম্ন বিটের পূর্ণযোগকারীর $C_{in}$ সবসময় $\text{০}$ থাকে।

৪-বিট রিপল ক্যারি অ্যাডারের উদাহরণ

$A=1011_2=11$ এবং $B=0110_2=6$ এর যোগ:

৪-বিট রিপল ক্যারি অ্যাডারের ধাপ

বিট অবস্থান	$A_i$	$B_i$	$C_{in}$	$S_i$	$C_{out}$
বিট ০ (LSB)	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$
বিট ১	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$
বিট ২	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$
বিট ৩ (MSB)	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$

ফলাফল: $S=10001_2=17$, যা সঠিক ($11+6=17$)।

বাস্তব জীবনে প্রয়োগ

পূর্ণযোগকারীর ব্যবহারিক প্রয়োগ

প্রয়োগক্ষেত্র	বিস্তারিত বিবরণ
ALU (অ্যারিথমেটিক লজিক ইউনিট)	প্রসেসরের মূল যোগ সার্কিট হিসেবে; CPU-তে যোগ, বিয়োগ, তুলনা সবই পূর্ণযোগকারীর মাধ্যমে সম্পন্ন হয়
বাইনারি গণনাকারী	ডিজিটাল ঘড়ি, ক্যালকুলেটর ও কম্পিউটারে সংখ্যা গণনার মূল ভিত্তি
ডিজিটাল সংকেত প্রক্রিয়াকরণ	অডিও ও ভিডিও প্রক্রিয়াকরণে ফিল্টার এবং ট্রান্সফর্ম হিসাবকে দ্রুত করতে
ফ্লোটিং পয়েন্ট ইউনিট	দশমিক সংখ্যার গণনায় এক্সপোনেন্ট ও ম্যান্টিসা যোগে
মেমরি ঠিকানা গণনা	RAM অ্যাক্সেসের সময় পয়েন্টার ও অফসেট যোগে
ক্রিপ্টোগ্রাফি সার্কিট	এনক্রিপশন অ্যালগরিদমে মডুলার অ্যারিথমেটিক সম্পাদনে
গ্রাফিক্স প্রসেসর	পিক্সেলের রঙ মান যোগ ও মিশ্রণে

বিশেষ ক্ষেত্র ও ধর্ম

বিশেষ ইনপুট অবস্থা

অবস্থা	$A$	$B$	$C_{in}$	$S$	$C_{out}$	ব্যাখ্যা
সব শূন্য	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$0+0+0=0$
শুধু ক্যারি	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	ক্যারি সরাসরি যোগফলে যায়
সর্বোচ্চ	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$1+1+1=11_2$
$A=B=\text{১}$, ক্যারি ০	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$1+1=10_2$
$A=B$, $C_{in}$ যাই হোক	$X$	$X$	$C_{in}$	$C_{in}$	$X$	$A\oplus A=0$, তাই $S=C_{in}$

কার্নো মানচিত্র

যোগফল $S$ এর কার্নো মানচিত্র

যোগফলের ক্ষেত্রে কার্নো মানচিত্রে কোনো গোষ্ঠী তৈরি করা যায় না, কারণ এক্স-অর ফাংশনের প্রকৃতিই এরকম।

$S$ এর কার্নো মানচিত্র

$AB\mathrm{\setminus }{C}_{in}$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{০০}$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{০১}$	$\text{১}$	$\text{০}$
$\text{১১}$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{১০}$	$\text{১}$	$\text{০}$

ক্যারি-আউট $C_{out}$ এর কার্নো মানচিত্র

$C_{out}$ এর কার্নো মানচিত্র

$AB\mathrm{\setminus }{C}_{in}$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{০০}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{০১}$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{১১}$	$\text{১}$	$\text{১}$
$\text{১০}$	$\text{০}$	$\text{১}$

কার্নো মানচিত্র থেকে তিনটি গোষ্ঠী পাওয়া যায়:

• $AB$ গোষ্ঠী: তৃতীয় কলামের দুটি ঘর
• $B{C}_{in}$ গোষ্ঠী: দ্বিতীয় ও তৃতীয় সারির ডান কলাম
• $A{C}_{in}$ গোষ্ঠী: তৃতীয় ও চতুর্থ সারির ডান কলাম

সরলীকৃত রাশি: $C_{out}=AB+B{C}_{in}+A{C}_{in}$

উদাহরণ

উদাহরণ ১: মৌলিক মান নির্ণয়

$A=\text{১},B=\text{১},C_{in}=\text{০}$ হলে $S$ ও $C_{out}$ নির্ণয় করো।

যোগফল:

$S=A\oplus B\oplus C_{in}=\text{১}\oplus \text{১}\oplus \text{০}=\text{০}\oplus \text{০}=\text{০}$

ক্যারি-আউট:

$C_{out}=AB+B{C}_{in}+A{C}_{in}=\text{১}\cdot \text{১}+\text{১}\cdot \text{০}+\text{১}\cdot \text{০}=\text{১}+\text{০}+\text{০}=\text{১}$

বাইনারি যোগ: $1+1+0=10_2$, অর্থাৎ যোগফল $\text{০}$ এবং ক্যারি $\text{১}$

উদাহরণ ২: তিনটি ১ এর যোগ

$A=\text{১},B=\text{১},C_{in}=\text{১}$ হলে $S$ ও $C_{out}$ নির্ণয় করো।

যোগফল:

$S=\text{১}\oplus \text{১}\oplus \text{১}=\text{০}\oplus \text{১}=\text{১}$

ক্যারি-আউট:

$C_{out}=\text{১}\cdot \text{১}+\text{১}\cdot \text{১}+\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}+\text{১}+\text{১}=\text{১}$

বাইনারি যোগ: $1+1+1=11_2$, অর্থাৎ যোগফল $\text{১}$ এবং ক্যারি $\text{১}$

উদাহরণ ৩: বিকল্প রাশি দিয়ে যাচাই

$A=\text{১},B=\text{০},C_{in}=\text{১}$ হলে বিকল্প রাশি $C_{out}=AB+C_{in}(A\oplus B)$ দিয়ে যাচাই করো।

$A\oplus B=\text{১}\oplus \text{০}=\text{১}$

$AB=\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

$C_{out}=\text{০}+\text{১}\cdot \text{১}=\text{০}+\text{১}=\text{১}$

যোগফল: $S=\text{১}\oplus \text{০}\oplus \text{১}=\text{০}$

বাইনারি যোগ: $1+0+1=10_2$, অর্থাৎ যোগফল $\text{০}$ এবং ক্যারি $\text{১}$

উদাহরণ ৪: দুই-বিটের যোগ

দুটি পূর্ণযোগকারী ব্যবহার করে $A=11_2$ ও $B=01_2$ যোগ করো।

বিট ০:

$S_0=\text{১}\oplus \text{১}\oplus \text{০}=\text{০}$

$C_0=\text{১}\cdot \text{১}+\text{১}\cdot \text{০}+\text{১}\cdot \text{০}=\text{১}$

বিট ১:

$S_1=\text{১}\oplus \text{০}\oplus \text{১}=\text{০}$

$C_1=\text{১}\cdot \text{০}+\text{০}\cdot \text{১}+\text{১}\cdot \text{১}=\text{০}+\text{০}+\text{১}=\text{১}$

ফলাফল: $C_1{S}_1{S}_0=100_2=4$, যা সঠিক ($3+1=4$)

উদাহরণ ৫: অর্ধযোগকারী দিয়ে পূর্ণযোগকারী যাচাই

$A=\text{১},B=\text{১},C_{in}=\text{১}$ হলে দুটি অর্ধযোগকারীর মাধ্যমে পূর্ণযোগকারী যাচাই করো।

প্রথম অর্ধযোগকারী:

$S_1=A\oplus B=\text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$

$C_1=A\cdot B=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

দ্বিতীয় অর্ধযোগকারী:

$S=S_1\oplus C_{in}=\text{০}\oplus \text{১}=\text{১}$

$C_2=S_1\cdot C_{in}=\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$

চূড়ান্ত ক্যারি:

$C_{out}=C_1+C_2=\text{১}+\text{০}=\text{১}$

ফলাফল: $S=\text{১}$, $C_{out}=\text{১}$, যা সত্যক সারণীর শেষ সারির সাথে মিলছে

উদাহরণ ৬: ডিকোডার দিয়ে বাস্তবায়ন

একটি $3\times 8$ ডিকোডার এবং অর গেট ব্যবহার করে পূর্ণযোগকারী তৈরি করা যায়।

যোগফল $S=\text{১}$ হয় মিনটার্ম ১, ২, ৪, ৭ এ:

$S=m_1+m_2+m_4+m_7$

ক্যারি-আউট $C_{out}=\text{১}$ হয় মিনটার্ম ৩, ৫, ৬, ৭ এ:

$C_{out}=m_3+m_5+m_6+m_7$

পূর্ণযোগকারী ও অর্ধযোগকারীর তুলনা

পূর্ণযোগকারী বনাম অর্ধযোগকারী

বৈশিষ্ট্য	অর্ধযোগকারী	পূর্ণযোগকারী
যোগফলের রাশি	$A\oplus B$	$A\oplus B\oplus C_{in}$
ক্যারি-আউটের রাশি	$AB$	$AB+B{C}_{in}+A{C}_{in}$
ইনপুট সংখ্যা	২	৩
সত্যক সারণীর সারি	৪	৮
ন্যান্ড গেট প্রয়োজন	৫	৯
ক্যারি গ্রহণের ক্ষমতা	নেই	আছে
বহু-বিট যোগে অবস্থান	সর্বনিম্ন বিট (বা একক বিট)	সব বিট
ব্যবহারিক গুরুত্ব	সীমিত	অত্যন্ত বেশি

অনুশীলনী

1. $A=\text{০},B=\text{১},C_{in}=\text{১}$ হলে $S$ ও $C_{out}$ এর মান নির্ণয় করো।
2. পূর্ণযোগকারীর যোগফল আউটপুট কোন মৌলিক লজিক ফাংশনের সমতুল্য?
3. একটি ৮-বিট রিপল ক্যারি অ্যাডার তৈরিতে কতটি পূর্ণযোগকারী প্রয়োজন?
4. $A=\text{১},B=\text{০},C_{in}=\text{০}$ হলে $C_{out}=AB+C_{in}(A\oplus B)$ রাশির মান নির্ণয় করো।
5. দুটি অর্ধযোগকারী ও একটি অর গেট দিয়ে পূর্ণযোগকারী তৈরির ধাপগুলো ব্যাখ্যা করো।
6. $A=101_2$ ও $B=011_2$ যোগ করতে তিনটি পূর্ণযোগকারী ব্যবহার করে ধাপে ধাপে ফলাফল বের করো।
7. পূর্ণযোগকারীতে যদি $A=B$ হয় তাহলে $S$ ও $C_{out}$ কীভাবে সরলীকৃত হয়?

উত্তর:

1. $S=\text{০}\oplus \text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$; $C_{out}=\text{০}\cdot \text{১}+\text{১}\cdot \text{১}+\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}+\text{১}+\text{০}=\text{১}$
2. তিন ইনপুটের এক্স-অর ফাংশনের সমতুল্য; $S=A\oplus B\oplus C_{in}$
3. ৮টি পূর্ণযোগকারী; প্রতিটি বিটের জন্য একটি করে
4. $A\oplus B=\text{১}\oplus \text{০}=\text{১}$; $C_{out}=\text{১}\cdot \text{০}+\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}+\text{০}=\text{০}$
5. ধাপ ১: প্রথম অর্ধযোগকারী $A,B$ থেকে $S_1=A\oplus B$ ও $C_1=AB$ তৈরি করে; ধাপ ২: দ্বিতীয় অর্ধযোগকারী $S_1,C_{in}$ থেকে $S=S_1\oplus C_{in}$ ও $C_2=S_1\cdot C_{in}$ তৈরি করে; ধাপ ৩: অর গেট $C_{out}=C_1+C_2$ দেয়
6. বিট ০: $1\oplus 1\oplus 0=0$, $C=1$; বিট ১: $0\oplus 1\oplus 1=0$, $C=1$; বিট ২: $1\oplus 0\oplus 1=0$, $C=1$; ফলাফল: $1000_2=8$ ($5+3=8$)
7. $A=B$ হলে $A\oplus B=0$, তাই $S=C_{in}$; এবং $C_{out}=A^2+A{C}_{in}+A{C}_{in}=A+A{C}_{in}=A(1+C_{in})=A$; অর্থাৎ $S=C_{in}$ ও $C_{out}=A$

[[টেমপ্লেট:BOOKCATEGORY]]