লজিক গেট/বুলিয়ান উপপাদ্য

প্রচলিত বীজগণিতের মতই বুলিয়ান বীজগণিতেও বেশ কিছু উপপাদ্য রয়েছে, যাদেরকে বুলিয়ান উপপাদ্য বলা হয়। বুলিয়ান বীজগণিতে যেহুতু কেবল {০, ১} সেট দিয়ে তৈরি তাই চলকের মান একবার ০ এবং আরেকবার ১ বসিয়ে উপপাদ্য গুল সহজেই প্রমান করা যায়। নিচে কিছু গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য দেখানো হলঃ

বুলিয়ান উপপাদ্য

উপপাদ্যের নাম	গাণিতিক রূপ
দ্বৈত পরিপূরক	$\overline{\stackrel{‾}{x}}=x$
অপরিবর্তনীয় উপপাদ্য	$x+x=x,x\cdot x=x$
পরিচিতি উপপাদ্য	$x+0=x,x\cdot 1=x$
কর্তৃত্ব উপপাদ্য	$x+1=1,x\cdot 0=0$
পরিপূরক উপপাদ্য	$x+\overline{x}=1,x\cdot \overline{x}=0$
বিনিময় উপপাদ্য	$x+y=y+x,xy=yx$
অনুষঙ্গ উপপাদ্য	$x+(y+z)=(x+y)+z,x(yz)=(xy)z$
বিভাজন উপপাদ্য	$x+yz=(x+y)(x+z),x(y+z)=xy+xz$
ডি মরগান উপপাদ্য	$\overline{x+y}=\overline{x}\cdot \overline{y},\overline{x\cdot y}=\overline{x}+\overline{y}$
সহায়ক উপপাদ্য	$x+xy=x,x(x+y)=x$
ঐকমত্য উপপাদ্য	$xy+\overline{x}z+yz=xy+\overline{x}z$

এখানে বেশ কিছু উপপাদ্য আমাদের প্রচলিত বীজগণিতের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ এবং বেশ কিছু উপপাদ্যের প্রচলিত উপপাদ্যের সাথে মিল নেই।

দ্বৈততার নীতি

বুলিয়ান বীজগণিতে দ্বৈততার নীতি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই নীতি অনুযায়ী, যেকোনো বুলিয়ান উপপাদ্যের দ্বৈত রূপ পেতে নিচের পরিবর্তনগুলো করতে হয়:

• অ্যান্ড (·) কে অর (+) দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে
• অর (+) কে অ্যান্ড (·) দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে
• ০ কে ১ দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে
• ১ কে ০ দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে

উদাহরণস্বরূপ, পরিচিতি উপপাদ্যের $x+0=x$ এর দ্বৈত রূপ হলো $x\cdot 1=x$। টেবিলে প্রতিটি উপপাদ্যের ক্ষেত্রে ক এবং খ অংশ পরস্পরের দ্বৈত রূপ।

বুলিয়ান বীজগণিতের ভূমিকা

বুলিয়ান বীজগণিত হলো গণিত এবং যুক্তিশাস্ত্রের একটি শাখা, যেখানে চলকগুলোর মান সত্য অথবা মিথ্যা হতে পারে। সাধারণত সত্যকে ১ এবং মিথ্যাকে ০ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এটি প্রচলিত বীজগণিতের থেকে সম্পূর্ণ আলাদা, কারণ প্রচলিত বীজগণিতে চলকগুলো যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, কিন্তু বুলিয়ান বীজগণিতে চলকের মান কেবল মাত্র দুটি অবস্থার মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে।

১৮৫৪ সালে বিখ্যাত গণিতবিদ জর্জ বুল তার একটি যুগান্তকারী বইয়ে এই বীজগণিতের ধারণা প্রথম প্রকাশ করেন। পরবর্তীতে ১৯৩৮ সালে ক্লড শ্যানন প্রমাণ করেন যে, ইলেকট্রনিক সার্কিটের নকশা তৈরি করতে এবং বিশ্লেষণ করতে বুলিয়ান বীজগণিত ব্যবহার করা সম্ভব। আধুনিক ডিজিটাল কম্পিউটার, মাইক্রোপ্রসেসর এবং বিভিন্ন ডিজিটাল যন্ত্রপাতির মূলে রয়েছে এই বুলিয়ান বীজগণিত।

বুলিয়ান ধ্রুবক ও চলক

বুলিয়ান বীজগণিতে যে রাশির মান সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না, তাকে বুলিয়ান ধ্রুবক বলে। ধ্রুবক কেবল দুটি হতে পারে: ০ এবং ১। অন্যদিকে, যে রাশির মান সময়ের সাথে পরিবর্তিত হতে পারে, তাকে বুলিয়ান চলক বলে। একটি বুলিয়ান চলক যেকোনো সময় হয় ০ অথবা ১ মান ধারণ করতে পারে।

মৌলিক যৌক্তিক ক্রিয়া

বুলিয়ান বীজগণিতে সমস্ত গাণিতিক কাজ মূলত তিনটি মৌলিক ক্রিয়ার মাধ্যমে সম্পন্ন করা হয়:

• যৌক্তিক যোগ বা অর অপারেশন: একে যোগ চিহ্ন (+) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
• যৌক্তিক গুণ বা অ্যান্ড অপারেশন: একে গুণ চিহ্ন (·) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
• যৌক্তিক পূরক বা নট অপারেশন: একে চলকের উপরে একটি দাগ বা বার দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বুলিয়ান উপপাদ্যসমূহ

প্রচলিত বীজগণিতের মতই বুলিয়ান বীজগণিতেও বেশ কিছু উপপাদ্য রয়েছে, যাদেরকে বুলিয়ান উপপাদ্য বলা হয়। বুলিয়ান বীজগণিতে যেহেতু কেবল {০, ১} সেট দিয়ে তৈরি, তাই চলকের মান একবার ০ এবং আরেকবার ১ বসিয়ে উপপাদ্যগুলো সহজেই প্রমাণ করা যায়। নিচে কিছু গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য দেখানো হলো:

বুলিয়ান উপপাদ্য

উপপাদ্যের নাম	গাণিতিক রূপ
দ্বৈত পরিপূরক	$\overline{\stackrel{‾}{x}}=x$
অপরিবর্তনীয় উপপাদ্য	$x+x=x,x\cdot x=x$
পরিচিতি উপপাদ্য	$x+0=x,x\cdot 1=x$
কর্তৃত্ব উপপাদ্য	$x+1=1,x\cdot 0=0$
পরিপূরক উপপাদ্য	$x+\overline{x}=1,x\cdot \overline{x}=0$
বিনিময় উপপাদ্য	$x+y=y+x,xy=yx$
অনুষঙ্গ উপপাদ্য	$x+(y+z)=(x+y)+z,x(yz)=(xy)z$
বিভাজন উপপাদ্য	$x+yz=(x+y)(x+z),x(y+z)=xy+xz$
ডি মরগান উপপাদ্য	$\overline{x+y}=\overline{x}\cdot \overline{y},\overline{x\cdot y}=\overline{x}+\overline{y}$
সহায়ক উপপাদ্য	$x+xy=x,x(x+y)=x$
ঐকমত্য উপপাদ্য	$xy+\overline{x}z+yz=xy+\overline{x}z$

এখানে বেশ কিছু উপপাদ্য আমাদের প্রচলিত বীজগণিতের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ এবং বেশ কিছু উপপাদ্যের প্রচলিত উপপাদ্যের সাথে মিল নেই।

দ্বৈততার নীতি

বুলিয়ান বীজগণিতে দ্বৈততার নীতি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই নীতি অনুযায়ী, যেকোনো বুলিয়ান সমীকরণ বা উপপাদ্যের দ্বৈত রূপ পেতে নিচের পরিবর্তনগুলো করতে হয়:

• অ্যান্ড (·) কে অর (+) দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে
• অর (+) কে অ্যান্ড (·) দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে
• ০ কে ১ দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে
• ১ কে ০ দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে
• চলকগুলোর কোনো পরিবর্তন করা যাবে না

উদাহরণস্বরূপ, পরিচিতি উপপাদ্যের $x+0=x$ এর দ্বৈত রূপ হলো $x\cdot 1=x$। টেবিলে প্রতিটি উপপাদ্যের ক্ষেত্রে প্রথম এবং দ্বিতীয় অংশ পরস্পরের দ্বৈত রূপ। এই নীতির সবচেয়ে বড় সুবিধা হলো, যদি কোনো একটি উপপাদ্য সত্য বলে প্রমাণিত হয়, তবে তার দ্বৈত রূপটিও স্বয়ংক্রিয়ভাবে সত্য বলে ধরে নেওয়া যায়।

বুলিয়ান ও প্রচলিত বীজগণিতের তুলনা

বুলিয়ান বনাম প্রচলিত বীজগণিত

বৈশিষ্ট্য	প্রচলিত বীজগণিত	বুলিয়ান বীজগণিত
চলকের মান	যেকোনো বাস্তব সংখ্যা	কেবল ০ বা ১
যোগের নিয়ম	$1+1=2$	$1+1=1$
$x+x$	$2x$	$x$
$x\cdot x$	$x^2$	$x$
$x+1$	$x+1$	$1$
$x\cdot 0$	$0$	$0$
বিভাজন	প্রযোজ্য নয়	$x+yz=(x+y)(x+z)$
পরিপূরক চলক	নেই	$x+\overline{x}=1,x\overline{x}=0$

বুলিয়ান উপপাদ্যসমূহের প্রমাণ

বুলিয়ান বীজগণিতের মৌলিক নিয়মাবলী ব্যবহার করে টেবিলের উপপাদ্যগুলোর প্রমাণ নিচে দেওয়া হলো:

১. দ্বৈত পরিপূরক

$\overline{\stackrel{‾}{x}}=x$

• ব্যাখ্যা: কোনো চলককে দুইবার ইনভার্ট করলে বা উল্টে দিলে আগের মান পাওয়া যায়। যদি $x=0$ হয়, তবে $\overline{x}=1$ এবং $\overline{\stackrel{‾}{x}}=0$। অর্থাৎ, $\overline{\stackrel{‾}{x}}=x$।

২. পরিচিতি উপপাদ্য

• ক. $x+0=x$
• খ. $x\cdot 1=x$
• প্রমাণ (ক):

যদি $x=0$ হয়, তবে $0+0=0=x$

যদি $x=1$ হয়, তবে $1+0=1=x$

• প্রমাণ (খ):

যদি $x=0$ হয়, তবে $0\cdot 1=0=x$

যদি $x=1$ হয়, তবে $1\cdot 1=1=x$

৩. কর্তৃত্ব উপপাদ্য

• ক. $x+1=1$
• খ. $x\cdot 0=0$
• প্রমাণ (ক):

$x+1=(x+1)\cdot 1$ (পরিচিতি উপপাদ্য থেকে)

$=(x+1)(x+\overline{x})$ (পরিপূরক উপপাদ্য: $x+\overline{x}=1$)

$=x+1\cdot \overline{x}$ (বিভাজন উপপাদ্য থেকে)

$=x+\overline{x}=1$ (প্রমাণিত)

৪. অপরিবর্তনীয় উপপাদ্য

• ক. $x+x=x$
• খ. $x\cdot x=x$
• প্রমাণ (ক):

$x+x=(x+x)\cdot 1$ (পরিচিতি উপপাদ্য)

$=(x+x)(x+\overline{x})$ (পরিপূরক উপপাদ্য)

$=x+x\overline{x}$ (বিভাজন উপপাদ্য)

$=x+0=x$ (প্রমাণিত)

৫. পরিপূরক উপপাদ্য

• ক. $x+\overline{x}=1$
• খ. $x\cdot \overline{x}=0$
• প্রমাণ (ক):

যদি $x=0$ হয়, তবে $\overline{x}=1$, সুতরাং $x+\overline{x}=0+1=1$

যদি $x=1$ হয়, তবে $\overline{x}=0$, সুতরাং $x+\overline{x}=1+0=1$

৬. বিনিময় উপপাদ্য

• ক. $x+y=y+x$
• খ. $xy=yx$
• প্রমাণ (ক): সত্যক সারণির মাধ্যমে:

x	y	x + y	y + x
০	০	০	০
০	১	১	১
১	০	১	১
১	১	১	১

উভয় কলামের মান সমান, সুতরাং $x+y=y+x$ প্রমাণিত।

৭. অনুষঙ্গ উপপাদ্য

• ক. $x+(y+z)=(x+y)+z$
• খ. $x(yz)=(xy)z$

৮. বিভাজন উপপাদ্য

• ক. $x+yz=(x+y)(x+z)$
• খ. $x(y+z)=xy+xz$
• প্রমাণ (ক):

ডানপক্ষ $=(x+y)(x+z)$

$=x\cdot x+x\cdot z+y\cdot x+y\cdot z$ (সাধারণ গুণ)

$=x+xz+xy+yz$ (অপরিবর্তনীয় ও বিনিময় উপপাদ্য থেকে)

$=x(1+z)+xy+yz$

$=x\cdot 1+xy+yz=x+xy+yz$

$=x(1+y)+yz=x\cdot 1+yz=x+yz$ (বামপক্ষ)

৯. ডি মরগান উপপাদ্য

ফরাসি গণিতবিদ ডি মরগান বুলিয়ান অ্যালজেব্রার জন্য দুটি যুগান্তকারী উপপাদ্য আবিষ্কার করেন।

• প্রথম উপপাদ্য: যেকোনো সংখ্যক চলকের যৌক্তিক যোগের পরিপূরক, ঐ চলকগুলোর নিজ নিজ পরিপূরকের যৌক্তিক গুণের সমান।

$\overline{x+y}=\overline{x}\cdot \overline{y}$

• দ্বিতীয় উপপাদ্য: যেকোনো সংখ্যক চলকের যৌক্তিক গুণের পরিপূরক, ঐ চলকগুলোর নিজ নিজ পরিপূরকের যৌক্তিক যোগের সমান।

$\overline{x\cdot y}=\overline{x}+\overline{y}$

১০. সহায়ক উপপাদ্য

• ক. $x+xy=x$
• খ. $x(x+y)=x$
• প্রমাণ (ক):

$x+xy=x\cdot 1+xy$

$=x(1+y)$

$=x\cdot 1$

$=x$

১১. ঐকমত্য উপপাদ্য

• $xy+\overline{x}z+yz=xy+\overline{x}z$
• প্রমাণ:

বামপক্ষ $=xy+\overline{x}z+yz$

$=xy+\overline{x}z+yz\cdot 1$

$=xy+\overline{x}z+yz(x+\overline{x})$

$=xy+\overline{x}z+xyz+\overline{x}yz$

$=xy(1+z)+\overline{x}z(1+y)$

$=xy\cdot 1+\overline{x}z\cdot 1$

$=xy+\overline{x}z$

লজিক গেট বা যৌক্তিক দ্বার

বুলিয়ান বীজগণিতের সমীকরণগুলোকে বাস্তবে রূপদান করার জন্য যে ইলেকট্রনিক সার্কিট ব্যবহার করা হয়, তাকে লজিক গেট বলে। লজিক গেট মূলত তিন প্রকার: মৌলিক গেট, সার্বজনীন গেট এবং বিশেষ গেট।

মৌলিক গেট

মৌলিক গেট তিনটি:

1. অ্যান্ড গেট: যৌক্তিক গুণের কাজ করে। সব ইনপুট ১ হলেই কেবল আউটপুট ১ হয়।
2. অর গেট: যৌক্তিক যোগের কাজ করে। যেকোনো একটি ইনপুট ১ হলেই আউটপুট ১ হয়।
3. নট গেট: যৌক্তিক পূরকের কাজ করে। ইনপুট ১ হলে আউটপুট ০ হয় এবং ইনপুট ০ হলে আউটপুট ১ হয়।

সার্বজনীন গেট

যে গেটগুলোর সাহায্যে মৌলিক গেটসহ যেকোনো লজিক সার্কিট তৈরি করা যায়, তাদেরকে সার্বজনীন গেট বলে।

1. ন্যান্ড গেট: অ্যান্ড গেটের আউটপুটের সাথে নট গেট যুক্ত করে এটি তৈরি করা হয়।
2. নর গেট: অর গেটের আউটপুটের সাথে নট গেট যুক্ত করে এটি তৈরি করা হয়।

বিশেষ গেট

1. এক্স-অর গেট: ইনপুটগুলো অসমান হলে আউটপুট ১ হয়।
2. এক্স-নর গেট: ইনপুটগুলো সমান হলে আউটপুট ১ হয়।

বুলিয়ান ফাংশন ও ক্যানোনিকাল রূপ

যেকোনো বুলিয়ান ফাংশনকে মূলত দুটি প্রমিত রূপে প্রকাশ করা যায়:

• সাম অফ প্রোডাক্টস: এখানে একাধিক গুণফলের পদের যোগফল থাকে।
• প্রোডাক্ট অফ সামস: এখানে একাধিক যোগফলের পদের গুণফল থাকে।

মিনটার্ম এবং ম্যাক্সটার্ম

• মিনটার্ম: একটি বুলিয়ান ফাংশনের প্রতিটি চলকের (পূরক বা স্বাভাবিক রূপে) গুণফলকে মিনটার্ম বলে।
• ম্যাক্সটার্ম: একটি বুলিয়ান ফাংশনের প্রতিটি চলকের (পূরক বা স্বাভাবিক রূপে) যোগফলকে ম্যাক্সটার্ম বলে।

কারনফ ম্যাপ বা কে-ম্যাপ

বুলিয়ান রাশি সরল করার একটি অন্যতম জনপ্রিয় এবং গ্রাফিকাল পদ্ধতি হলো কারনফ ম্যাপ। মরিস কারনফ ১৯৫৩ সালে এই পদ্ধতি আবিষ্কার করেন। উপপাদ্য ব্যবহার করে সরল করার ক্ষেত্রে অনেক সময় ভুল হওয়ার সম্ভাবনা থাকে, কিন্তু কে-ম্যাপ ব্যবহার করে অত্যন্ত সহজে এবং নির্ভুলভাবে বুলিয়ান সমীকরণ সরল করা যায়।

কে-ম্যাপে প্রতিটি ঘর একটি মিনটার্ম বা ম্যাক্সটার্ম নির্দেশ করে। চলক সংখ্যার উপর ভিত্তি করে কে-ম্যাপের ঘরের সংখ্যা নির্ধারিত হয়। যদি চলকের সংখ্যা $n$ হয়, তবে ঘরের সংখ্যা হবে $2^n$।

• ২ চলকের জন্য ঘর সংখ্যা: ৪
• ৩ চলকের জন্য ঘর সংখ্যা: ৮
• ৪ চলকের জন্য ঘর সংখ্যা: ১৬

কে-ম্যাপে ১ গুলোকে গ্রুপ বা দলবদ্ধ করার কিছু নিয়ম রয়েছে। যেমন, ১ গুলোকে জোড়া, কোয়াড (৪টির দল) বা অক্টেট (৮টির দল) হিসেবে গ্রুপ করা যায়। গ্রুপ যত বড় হবে, সরলীকৃত রাশিটি তত ছোট হবে।

অনুশীলনী

নিচের বুলিয়ান রাশিগুলো উপপাদ্য ব্যবহার করে সরল করো:

1. $A+AB+AB\overline{C}$
2. $(A+B)(\overline{A}+B)$
3. $AB+A\overline{B}C+A\overline{B}\overline{C}$
4. $\overline{(A+\overline{B})(B+C)}$
5. $AB\overline{C}+ABC+\overline{A}BC$
6. $X\overline{Y}Z+\overline{X}\overline{Y}Z+\overline{Y}Z$
7. $(P+Q)(P+\overline{Q})(\overline{P}+Q)$
8. $\overline{MN}+M\overline{N}+\overline{M}N$
9. $A\overline{B}+\overline{A}B+AB+\overline{A}\overline{B}$
10. $BC+\overline{B}C+B\overline{C}$

উত্তর:

1. $A$
2. $B$
3. $A$
4. $(\overline{A}\cdot B)+(\overline{B}\cdot \overline{C})$
5. $BC+AB\overline{C}$
6. $\overline{Y}Z$
7. $PQ$
8. $1$
9. $1$
10. $B+C$

[[টেমপ্লেট:BOOKCATEGORY]]

বুলিয়ান রাশি সরলীকরণের উদাহরণ

উপপাদ্যগুলো ব্যবহার করে জটিল বুলিয়ান রাশি সহজ করার কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হলো:

উদাহরণ ১

$AB+A\overline{B}$ সরল করো।

$AB+A\overline{B}=A(B+\overline{B})$ (বিভাজন উপপাদ্য)

$=A\cdot 1$ (পরিপূরক উপপাদ্য)

$=A$

উদাহরণ ২

$(A+B)(A+\overline{B})$ সরল করো।

$(A+B)(A+\overline{B})=A+B\overline{B}$ (বিভাজন উপপাদ্য)

$=A+0$ (পরিপূরক উপপাদ্য)

$=A$

উদাহরণ ৩

$ABC+\overline{A}BC$ সরল করো।

$ABC+\overline{A}BC=BC(A+\overline{A})$ (বিভাজন উপপাদ্য)

$=BC\cdot 1$ (পরিপূরক উপপাদ্য)

$=BC$

উদাহরণ ৪

$\overline{(\overline{A}+B)}$ সরল করো।

$\overline{(\stackrel{‾}{A}+B)}=\overline{\stackrel{‾}{A}}\cdot \bar{B}$ (ডি মরগান উপপাদ্য)

$=A\cdot \bar{B}$ (দ্বৈত পরিপূরক উপপাদ্য)

$=A\overline{B}$