লজিক গেট/বুলিয়ান বীজগণিত

গণিতের ইতিহাসে এমন কিছু আবিষ্কার আছে যেগুলো প্রথমে নিছক তাত্ত্বিক কৌতূহল থেকে জন্ম নিলেও পরবর্তীতে মানব সভ্যতার গতিপথ পরিবর্তন করে দিয়েছে। বুলিয়ান বীজগণিত তেমনই একটি আবিষ্কার। উনিশ শতকের মাঝামাঝি সময়ে ইংরেজ গণিতবিদ জর্জ বুল (ইংরেজি:George Boole) যখন তাঁর যুক্তি-গণিতের তত্ত্ব প্রকাশ করেছিলেন, তখন হয়তো তিনি নিজেও ভাবেননি যে তাঁর এই কাজ একদিন আধুনিক কম্পিউটার ও ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের ভিত্তি হয়ে উঠবে।

জর্জ বুল ১৮১৫ সালে ইংল্যান্ডের লিংকনে জন্মগ্রহণ করেন। তিনি ছিলেন একজন স্বশিক্ষিত গণিতবিদ ও দার্শনিক। ১৮৪৭ সালে তিনি "The Mathematical Analysis of Logic" নামক একটি গুরুত্বপূর্ণ গ্রন্থ প্রকাশ করেন এবং পরে ১৮৫৪ সালে "An Investigation of the Laws of Thought" শিরোনামে আরও একটি বিস্তারিত গ্রন্থ রচনা করেন। এই গ্রন্থগুলোতে তিনি দেখালেন যে যুক্তিবিদ্যার সমস্ত নিয়মকে গাণিতিক ভাষায় প্রকাশ করা সম্ভব। তাঁর এই তত্ত্বেই কেবলমাত্র দুটি মান — সত্য এবং মিথ্যা — নিয়ে একটি সম্পূর্ণ বীজগাণিতিক কাঠামো গড়ে তোলা হয়।

বুলের এই কাজ তাঁর জীবদ্দশায় তেমন প্রায়োগিক গুরুত্ব পায়নি। কিন্তু প্রায় এক শতাব্দী পরে, ১৯৩৭ সালে, আমেরিকান গণিতবিদ ও প্রকৌশলী ক্লড শ্যানন (ইংরেজি:Claude Shannon) তাঁর মাস্টার্স থিসিসে দেখালেন যে বুলিয়ান বীজগণিতকে ব্যবহার করে বৈদ্যুতিক সুইচিং সার্কিট ডিজাইন করা সম্ভব। শ্যাননের এই অন্তর্দৃষ্টি একটি বিপ্লব ঘটিয়ে দিল। এরপর থেকে বুলিয়ান বীজগণিত আর শুধু গণিতের বইয়ে আবদ্ধ রইল না — এটি হয়ে উঠল আধুনিক ডিজিটাল কম্পিউটার, মোবাইল ফোন, ট্যাবলেট এবং যাবতীয় ইলেকট্রনিক যন্ত্রপাতির নকশার মূল হাতিয়ার।

আজকে যখন আমরা কম্পিউটারে কোনো কাজ করি, কিংবা স্মার্টফোনে বার্তা পাঠাই, কিংবা ডিজিটাল ক্যামেরায় ছবি তুলি — প্রতিটি ক্ষেত্রে হাজার হাজার কোটি বুলিয়ান অপারেশন প্রতি সেকেন্ডে সম্পন্ন হচ্ছে। এই অর্থে বুলিয়ান বীজগণিত হলো আধুনিক ডিজিটাল যুগের নীরব ভিত্তি।

বুলিয়ান বীজগণিত কী?

সাধারণ বীজগণিতে আমরা বাস্তব সংখ্যার সাথে কাজ করি। সেখানে একটি চলক বা ভেরিয়েবল $x$-এর মান হতে পারে ৩, -৭, ২.৫, √২ বা যেকোনো বাস্তব সংখ্যা। কিন্তু বুলিয়ান বীজগণিতে চলকের মান কেবল দুটি — ০ অথবা ১। এই দুটি মান নিয়ে যে সম্পূর্ণ বীজগাণিতিক তন্ত্র গড়ে তোলা হয়েছে তাকেই বুলিয়ান বীজগণিত বলা হয়।

তবে এখানে একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় স্পষ্ট করা দরকার। বুলিয়ান বীজগণিতে ০ এবং ১ কে সাধারণ অর্থে সংখ্যা হিসেবে ভাবা সঠিক নয়। এই দুটি প্রতীক মূলত দুটি ভিন্ন অবস্থা বা অবস্থানকে নির্দেশ করে। আমরা এগুলোকে বিভিন্নভাবে ব্যাখ্যা করতে পারি:

০ এবং ১-এর বিভিন্ন ব্যাখ্যা

প্রসঙ্গ	০-এর অর্থ	১-এর অর্থ
যুক্তিবিদ্যা	মিথ্যা (False)	সত্য (True)
বৈদ্যুতিক সার্কিট	বন্ধ (Off)	চালু (On)
ভোল্টেজ	নিম্ন ভোল্টেজ	উচ্চ ভোল্টেজ
সুইচ	খোলা	বন্ধ
বিট	শূন্য বিট	এক বিট

এই বহুমুখী ব্যাখ্যার কারণেই বুলিয়ান বীজগণিত এত শক্তিশালী। একই গাণিতিক তন্ত্র দিয়ে যুক্তিবিদ্যার সমস্যা সমাধান করা যায়, আবার সার্কিট ডিজাইনও করা যায়। মূলত যেকোনো পরিস্থিতি যেখানে কেবল দুটি অবস্থা সম্ভব, সেখানেই বুলিয়ান বীজগণিত প্রযোজ্য।

বুলিয়ান বীজগণিতকে আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় এভাবে: বুলিয়ান বীজগণিত হলো একটি বীজগাণিতিক তন্ত্র যেখানে চলকের মান $\{\text{০},\text{১}\}$ সেটের মধ্যে সীমাবদ্ধ এবং তিনটি মৌলিক অপারেশন — পূরক, গুণ ও যোগ — সংজ্ঞায়িত করা আছে।

কেন বুলিয়ান বীজগণিত শিখব?

বুলিয়ান বীজগণিত শেখার প্রয়োজনীয়তা বহুমুখী। নিচে এর কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগক্ষেত্র আলোচনা করা হলো:

ডিজিটাল সার্কিট ডিজাইন

আধুনিক ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের সমস্ত সার্কিট — প্রসেসর, মেমোরি, অ্যাডার, মাল্টিপ্লেক্সার ইত্যাদি — বুলিয়ান ফাংশনের ভিত্তিতে ডিজাইন করা হয়। একজন ইলেকট্রনিক্স প্রকৌশলী যখন কোনো লজিক সার্কিট ডিজাইন করেন, তখন তাঁকে বুলিয়ান রাশিগুলো সরল করতে হয় যাতে সার্কিট যতটা সম্ভব কম গেট ব্যবহার করে। এই সরলীকরণের জন্য বুলিয়ান বীজগণিতের গভীর জ্ঞান অপরিহার্য।

কম্পিউটার বিজ্ঞান

কম্পিউটার প্রোগ্রামিংয়ে বুলিয়ান লজিক সর্বত্র ব্যবহৃত হয়। শর্তমূলক বিবৃতি (if-else), লুপ নিয়ন্ত্রণ, ত্রুটি পরীক্ষা — এসব ক্ষেত্রে প্রোগ্রামারকে বুলিয়ান রাশির সাথে কাজ করতে হয়। ডেটাবেজ কোয়েরিতেও AND, OR, NOT অপারেটরের ব্যাপক ব্যবহার আছে।

যুক্তিবিদ্যা ও দর্শন

বুলিয়ান বীজগণিত যুক্তিবিদ্যাকে গাণিতিক রূপ দেয়। কোনো যুক্তিতর্কের বৈধতা পরীক্ষা করতে, সিদ্ধান্ত গ্রহণের প্রক্রিয়াকে আনুষ্ঠানিক করতে বুলিয়ান বীজগণিত ব্যবহার করা যায়।

কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা

মেশিন লার্নিং ও কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার অনেক পদ্ধতিতে লজিক্যাল অপারেশন মূল ভূমিকা পালন করে। বিশেষত এক্সপার্ট সিস্টেম ও নিয়মভিত্তিক সিস্টেমে বুলিয়ান যুক্তির ব্যাপক প্রয়োগ আছে।

মৌলিক অপারেশনসমূহ

বুলিয়ান বীজগণিতে মোট তিনটি মৌলিক অপারেশন আছে। এই তিনটি অপারেশন দিয়েই যেকোনো জটিল বুলিয়ান ফাংশন তৈরি করা সম্ভব। অপারেশন তিনটি হলো:

1. পূরক (Complement / NOT)
2. বুলিয়ান গুণ (Boolean Multiplication / AND)
3. বুলিয়ান যোগ (Boolean Addition / OR)

এই অপারেশনগুলো সম্পূর্ণরূপে বোঝার জন্য এগুলোকে একে একে বিস্তারিত আলোচনা করা হলো।

পূরক (Complement / NOT অপারেশন)

পূরক হলো বুলিয়ান বীজগণিতের সবচেয়ে সরল অপারেশন। এটি একটি একক অপারেশন (unary operation), অর্থাৎ এটি কেবল একটি মানের উপর কাজ করে এবং সেই মানের বিপরীত মান প্রদান করে।

পূরক অপারেশনের নিয়ম অত্যন্ত সহজ:

• ০-এর পূরক হলো ১
• ১-এর পূরক হলো ০

গাণিতিকভাবে এটি লেখা হয়:

$\overline{\text{০}}=\text{১}$

$\overline{\text{১}}=\text{০}$

যদি $x$ একটি বুলিয়ান চলক হয়, তাহলে তার পূরককে $\overline{x}$ বা $x^{\prime }$ বা $\mathrm{\neg }x$ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এই পাঠ্যপুস্তকে আমরা $\overline{x}$ বা $\bar{x}$ স্বরলিপি ব্যবহার করব।

পূরক অপারেশনকে বিভিন্নভাবে বোঝা যায়:

• যুক্তিবিদ্যার দৃষ্টিকোণ থেকে: কোনো বক্তব্য সত্য হলে তার পূরক মিথ্যা, এবং বক্তব্যটি মিথ্যা হলে তার পূরক সত্য। উদাহরণস্বরূপ, "আকাশ নীল" বক্তব্যটি সত্য হলে তার পূরক "আকাশ নীল নয়" বক্তব্যটি মিথ্যা।

• সার্কিটের দৃষ্টিকোণ থেকে: কোনো সুইচ বন্ধ থাকলে তার পূরক চালু, এবং চালু থাকলে পূরক বন্ধ। ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সে এই অপারেশন সম্পন্ন করে NOT গেট।

পূরক অপারেশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো দ্বৈত পূরক: কোনো মানের দুবার পূরক নিলে মূল মান ফিরে পাওয়া যায়। গাণিতিকভাবে: $\overline{\stackrel{‾}{x}}=x$

এর অর্থ হলো, যদি $x=\text{১}$ হয়, তাহলে $\overline{x}=\text{০}$ এবং $\overline{\stackrel{‾}{x}}=\overline{\text{০}}=\text{১}=x$। একইভাবে যদি $x=\text{০}$ হয়, তাহলে $\overline{x}=\text{১}$ এবং $\overline{\stackrel{‾}{x}}=\overline{\text{১}}=\text{০}=x$।

পূরকের সত্যক সারণি

পূরক অপারেশনের সত্যক সারণি

$x$	$\overline{x}$
$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{১}$	$\text{০}$

পূরক অপারেশনের বিস্তারিত উদাহরণ

উদাহরণ ১: যদি $x=\text{০}$ হয়, তাহলে $\overline{x}$-এর মান কত?

সমাধান: পূরকের সংজ্ঞা অনুযায়ী, $\overline{\text{০}}=\text{১}$। সুতরাং $\overline{x}=\text{১}$।

উদাহরণ ২: যদি $x=\text{১}$ হয়, তাহলে $\bar{\overline{x}}$-এর মান কত?

সমাধান: প্রথমে $\overline{x}$ নির্ণয় করি। $x=\text{১}$ হলে $\overline{x}=\text{০}$। এরপর $\bar{\overline{x}}=\overline{\text{০}}=\text{১}$। অর্থাৎ দ্বৈত পূরক মূল মান ফিরিয়ে দিয়েছে।

উদাহরণ ৩: যদি $A=\text{১}$ হয়, তাহলে $\bar{A}$, $\overline{\stackrel{‾}{A}}$ এবং $\overline{\stackrel{‾}{\stackrel{‾}{A}}}$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$\bar{A}=\overline{\text{১}}=\text{০}$

$\overline{\stackrel{‾}{A}}=\overline{\text{০}}=\text{১}$

$\overline{\stackrel{‾}{\stackrel{‾}{A}}}=\overline{\text{১}}=\text{০}$

লক্ষ করো, একটি মানের বিজোড় সংখ্যকবার পূরক নিলে মূল মানের পূরক পাওয়া যায়, এবং জোড় সংখ্যকবার পূরক নিলে মূল মান ফিরে আসে।

বুলিয়ান গুণ (AND অপারেশন)

বুলিয়ান গুণ একটি দ্বিমুখী অপারেশন (binary operation), যা দুটি মানের উপর একসাথে কাজ করে। এই অপারেশনকে AND অপারেশনও বলা হয়, কারণ এর ফলাফল কেবল তখনই ১ হয় যখন প্রথম চলক AND দ্বিতীয় চলক — উভয়ের মান ১।

বুলিয়ান গুণের সম্পূর্ণ নিয়মাবলি:

$\text{০}\cdot \text{০}=\text{০}$

$\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$

$\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

$\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

এই নিয়মগুলো সাধারণ গুণের মতোই দেখায়। তবে পার্থক্য হলো, বুলিয়ান গুণে কেবল ০ এবং ১ ব্যবহার করা হয় এবং ফলাফলও কেবল ০ বা ১ হয়।

বুলিয়ান গুণকে বিভিন্নভাবে বোঝা যায়:

• যুক্তিবিদ্যার দৃষ্টিকোণ থেকে: দুটি বক্তব্যের AND তখনই সত্য হয় যখন উভয় বক্তব্য সত্য। উদাহরণ: "বৃষ্টি হচ্ছে AND রাস্তা ভেজা" — এই যৌগিক বক্তব্যটি সত্য কেবল তখনই যখন বৃষ্টি হচ্ছে এবং রাস্তাও ভেজা, উভয়ই সত্য।

• সার্কিটের দৃষ্টিকোণ থেকে: দুটি সুইচ শ্রেণিবদ্ধভাবে (series) সংযুক্ত থাকলে বিদ্যুৎ প্রবাহিত হবে কেবল তখনই যখন উভয় সুইচ চালু থাকে। এটি AND গেট দিয়ে বাস্তবায়িত হয়।

AND অপারেশনের সত্যক সারণি

বুলিয়ান গুণ (AND) অপারেশনের সত্যক সারণি

$x$	$y$	$x\cdot y$
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$

সত্যক সারণি থেকে স্পষ্ট: চারটি সম্ভাব্য ইনপুট সংমিশ্রণের মধ্যে কেবল একটি ক্ষেত্রে ফলাফল ১ — সেটি হলো যখন $x=\text{১}$ এবং $y=\text{১}$।

AND অপারেশনের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

AND অপারেশনের কিছু বিশেষ বৈশিষ্ট্য আছে যেগুলো মনে রাখা দরকার:

• $x\cdot \text{০}=\text{০}$ — যেকোনো মানকে ০-এর সাথে গুণ করলে ফলাফল সর্বদা ০।
• $x\cdot \text{১}=x$ — যেকোনো মানকে ১-এর সাথে গুণ করলে মূল মান অপরিবর্তিত থাকে।
• $x\cdot x=x$ — কোনো মানকে নিজের সাথে গুণ করলে মূল মানই পাওয়া যায় (এটি সাধারণ বীজগণিত থেকে আলাদা, যেখানে $x^2\ne x$)।
• $x\cdot \overline{x}=\text{০}$ — কোনো মানকে তার পূরকের সাথে গুণ করলে ফলাফল সর্বদা ০ (এটি পরস্পরবিরোধী অবস্থার প্রতিনিধিত্ব করে)।

এই বৈশিষ্ট্যগুলো যাচাই করে দেখা যাক। যদি $x=\text{১}$ হয়:

$x\cdot \text{০}=\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

$x\cdot \text{১}=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}=x$

$x\cdot x=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}=x$

$x\cdot \overline{x}=\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

যদি $x=\text{০}$ হয়:

$x\cdot \text{০}=\text{০}\cdot \text{০}=\text{০}$

$x\cdot \text{১}=\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}=x$

$x\cdot x=\text{০}\cdot \text{০}=\text{০}=x$

$x\cdot \overline{x}=\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$

AND অপারেশনের বিস্তারিত উদাহরণ

উদাহরণ ১: $\text{১}\cdot \text{১}\cdot \text{০}$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: বাম থেকে ডানে গণনা করি।

$\text{১}\cdot \text{১}\cdot \text{০}=(\text{১}\cdot \text{১})\cdot \text{০}=\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

বিকল্পভাবে: একটি AND রাশিতে যেকোনো একটি উপাদান ০ হলে সমগ্র রাশির মান ০ হবে। এখানে শেষ উপাদান ০ তাই ফলাফল ০।

উদাহরণ ২: যদি $A=\text{১},B=\text{১},C=\text{১}$ হয়, তাহলে $A\cdot B\cdot C$-এর মান কত?

সমাধান: তিনটি AND অপারেশন।

$A\cdot B\cdot C=\text{১}\cdot \text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

কারণ প্রতিটি মান ১, তাই ফলাফলও ১।

উদাহরণ ৩: তিন-ইনপুট AND গেটের সত্যক সারণি তৈরি করো।

তিনটি ইনপুটের জন্য সম্ভাব্য সংমিশ্রণ $2^3=8$টি:

তিন-ইনপুট AND গেটের সত্যক সারণি

$A$	$B$	$C$	$A\cdot B\cdot C$
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$

লক্ষ করো, আটটি সংমিশ্রণের মধ্যে কেবল একটিতে (শেষেরটি) ফলাফল ১। এটি AND গেটের মূল বৈশিষ্ট্য — সবকটি ইনপুট ১ না হলে আউটপুট ১ হয় না।

বুলিয়ান যোগ (OR অপারেশন)

বুলিয়ান যোগ আরেকটি দ্বিমুখী অপারেশন। এটি OR অপারেশন নামেও পরিচিত, কারণ এর ফলাফল ১ হয় যখন প্রথম চলক OR দ্বিতীয় চলক — অর্থাৎ যেকোনো একটির মান ১।

বুলিয়ান যোগের সম্পূর্ণ নিয়মাবলি:

$\text{০}+\text{০}=\text{০}$

$\text{০}+\text{১}=\text{১}$

$\text{১}+\text{০}=\text{১}$

$\text{১}+\text{১}=\text{১}$

প্রথম তিনটি নিয়ম সাধারণ যোগের মতো। কিন্তু চতুর্থ নিয়মটি অস্বাভাবিক মনে হতে পারে — $\text{১}+\text{১}=\text{১}$। সাধারণ গণিতে $1+1=2$। তাহলে এখানে কেন $\text{১}+\text{১}=\text{১}$?

কারণটি সহজ: আমরা কেবল $\{\text{০},\text{১}\}$ সেটের মধ্যে কাজ করছি। এই সেটে ২ বলে কিছু নেই। OR অপারেশনে যদি যেকোনো একটি ইনপুট ১ হয়, তাহলে ফলাফল ১। দুটোই ১ হলেও ফলাফল ১ — কারণ আউটপুটের সর্বোচ্চ মান ১।

আরেকটি উপায়ে ভাবা যায়: OR অপারেশন সাধারণ যোগের মতোই কাজ করে, কিন্তু ফলাফল সর্বোচ্চ ১-এ সীমাবদ্ধ। গাণিতিকভাবে এটি maximum ফাংশনের মতো: $x+y=max(x,y)$। যদি উভয় মান ১ হয়, তাহলে $max(\text{১},\text{১})=\text{১}$।

OR অপারেশনের সত্যক সারণি

বুলিয়ান যোগ (OR) অপারেশনের সত্যক সারণি

$x$	$y$	$x+y$
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$

সত্যক সারণি থেকে স্পষ্ট: কেবল একটি ক্ষেত্রে ফলাফল ০ — যখন উভয় ইনপুট ০। বাকি তিনটি ক্ষেত্রে ফলাফল ১।

OR অপারেশনের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

• $x+\text{০}=x$ — যেকোনো মানের সাথে ০ যোগ করলে মূল মান অপরিবর্তিত থাকে।
• $x+\text{১}=\text{১}$ — যেকোনো মানের সাথে ১ যোগ করলে ফলাফল সর্বদা ১।
• $x+x=x$ — কোনো মানের সাথে নিজেকে যোগ করলে মূল মানই পাওয়া যায়।
• $x+\overline{x}=\text{১}$ — কোনো মানের সাথে তার পূরক যোগ করলে ফলাফল সর্বদা ১।

এই বৈশিষ্ট্যগুলো যাচাই করা যাক। যদি $x=\text{১}$ হয়:

$x+\text{০}=\text{১}+\text{০}=\text{১}=x$

$x+\text{১}=\text{১}+\text{১}=\text{১}$

$x+x=\text{১}+\text{১}=\text{১}=x$

$x+\overline{x}=\text{১}+\text{০}=\text{১}$

যদি $x=\text{০}$ হয়:

$x+\text{০}=\text{০}+\text{০}=\text{০}=x$

$x+\text{১}=\text{০}+\text{১}=\text{১}$

$x+x=\text{০}+\text{০}=\text{০}=x$

$x+\overline{x}=\text{০}+\text{১}=\text{১}$

OR অপারেশনের বিস্তারিত উদাহরণ

উদাহরণ ১: $\text{০}+\text{০}+\text{১}$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

$\text{০}+\text{০}+\text{১}=(\text{০}+\text{০})+\text{১}=\text{০}+\text{১}=\text{১}$

বিকল্পভাবে: একটি OR রাশিতে যেকোনো একটি উপাদান ১ হলে সমগ্র রাশির মান ১ হবে। এখানে তৃতীয় উপাদান ১ তাই ফলাফল ১।

উদাহরণ ২: তিন-ইনপুট OR গেটের সত্যক সারণি তৈরি করো।

তিন-ইনপুট OR গেটের সত্যক সারণি

$A$	$B$	$C$	$A+B+C$
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$

লক্ষ করো, আটটি সংমিশ্রণের মধ্যে কেবল একটিতে (প্রথমটি) ফলাফল ০। এটি OR গেটের মূল বৈশিষ্ট্য — সবকটি ইনপুট ০ না হলে আউটপুট ০ হয় না।

বিভিন্ন প্রকারের সূত্রাবলী

উপরে আমরা বুলিয়ান বীজগণিতের প্রাথমিক ধারণা, এর ঐতিহাসিক প্রেক্ষাপট, মৌলিক অপারেশন (AND, OR, NOT), সত্যক সারণি (Truth Table), এবং মৌলিক স্বতঃসিদ্ধসমূহ সম্পর্কে বিস্তারিত জেনেছি। এই দ্বিতীয় পর্বে আমরা বুলিয়ান বীজগণিতের আরও গভীরে প্রবেশ করব। আধুনিক ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্স, লজিক সার্কিট ডিজাইন এবং কম্পিউটার আর্কিটেকচারের জন্য বুলিয়ান ফাংশন বা রাশিগুলোকে সরলীকরণ করা অত্যন্ত জরুরি। একটি জটিল বুলিয়ান রাশিকে সরল করার অর্থ হলো কম লজিক গেট ব্যবহার করে সার্কিট তৈরি করা, যা ডিভাইসের আকার, খরচ এবং বিদ্যুতের ব্যবহার কমায়।

এখন আমরা ডি মরগানের যুগান্তকারী উপপাদ্য, শোষণ সূত্র (Absorption Law), ঐকমত্য উপপাদ্য (Consensus Theorem), বুলিয়ান রাশির সরলীকরণের বিস্তারিত ধাপ, এবং স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম (SOP ও POS) সম্পর্কে পুঙ্খানুপুঙ্খ আলোচনা করব।

বুলিয়ান উপপাদ্য ও সূত্রাবলি

বুলিয়ান বীজগণিতে রাশি সরলীকরণের জন্য কিছু বিশেষ উপপাদ্য এবং সূত্র ব্যবহৃত হয়। প্রথম পর্বে আমরা বিনিময় সূত্র, সংযোগ সূত্র এবং বিতরণ সূত্র দেখেছি। এখানে আমরা আরও কিছু গুরুত্বপূর্ণ সূত্র নিয়ে আলোচনা করব যা সরলীকরণে ব্যাপক ভূমিকা রাখে।

শোষণ সূত্র (Absorption Law)

শোষণ সূত্রের মাধ্যমে একটি বুলিয়ান রাশির অতিরিক্ত বা অপ্রয়োজনীয় চলকগুলোকে 'শোষণ' বা বাদ দেওয়া যায়। এর দুটি মূল রূপ রয়েছে:

১. $A+A\cdot B=A$ ২. $A\cdot (A+B)=A$

প্রথম সূত্রের প্রমাণ: বামপক্ষ = $A+AB$ $A$ কমন নিলে পাওয়া যায়: $A(1+B)$ আমরা জানি, $1+B=1$ (কারণ যেকোনো কিছুর সাথে ১ যোগ করলে বা OR করলে ফলাফল ১ হয়)। সুতরাং, $A\cdot 1=A$ (প্রমাণিত)।

দ্বিতীয় সূত্রের প্রমাণ: বামপক্ষ = $A\cdot (A+B)$ গুণ করলে পাওয়া যায়: $AA+AB$ আমরা জানি, $AA=A$। সুতরাং, $A+AB=A(1+B)=A\cdot 1=A$ (প্রমাণিত)।

শোষণ সূত্রের অনুসিদ্ধান্ত (Redundancy Law): আরও দুটি গুরুত্বপূর্ণ শোষণ রূপ রয়েছে যা প্রায়শই ব্যবহৃত হয়: ৩. $A+\overline{A}B=A+B$ ৪. $\overline{A}+AB=\overline{A}+B$

৩ নং এর প্রমাণ: $A+\overline{A}B=(A+\overline{A})(A+B)$ (বিতরণ সূত্র অনুযায়ী)। যেহেতু $A+\overline{A}=1$, তাই ফলাফল $1\cdot (A+B)=A+B$।

ঐকমত্য উপপাদ্য (Consensus Theorem)

ঐকমত্য উপপাদ্য বুলিয়ান সরলীকরণের একটি অত্যন্ত শক্তিশালী হাতিয়ার। এটি বলে যে, যদি তিনটি চলকের মধ্যে দুটি পদ এমন হয় যেখানে একটি চলক স্বাভাবিক (Uncomplemented) এবং অন্য পদে তার পূরক (Complemented) অবস্থায় থাকে এবং তৃতীয় পদটি প্রথম দুটি পদের অপর চলকগুলোর গুণফল হয়, তবে তৃতীয় পদটি অপ্রয়োজনীয় এবং তা বাদ দেওয়া যায়।

সূত্র: $AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C$

এখানে $BC$ পদটিকে 'ঐকমত্য পদ' (Consensus term) বলা হয়।

প্রমাণ: বামপক্ষ = $AB+\overline{A}C+BC$ $BC$ এর সাথে $(A+\overline{A})$ গুণ করা যায়, কারণ $A+\overline{A}=1$। = $AB+\overline{A}C+BC(A+\overline{A})$ = $AB+\overline{A}C+ABC+\overline{A}BC$ এখন পদগুলোকে সাজিয়ে লিখি: = $AB+ABC+\overline{A}C+\overline{A}BC$ প্রথম দুটি থেকে $AB$ এবং শেষের দুটি থেকে $\overline{A}C$ কমন নিই: = $AB(1+C)+\overline{A}C(1+B)$ যেহেতু $1+C=1$ এবং $1+B=1$, তাই: = $AB(1)+\overline{A}C(1)$ = $AB+\overline{A}C$ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

ডি মরগানের উপপাদ্য

ঊনবিংশ শতাব্দীর প্রখ্যাত ব্রিটিশ গণিতবিদ অগাস্টাস ডি মরগান (ইংরেজি:Augustus De Morgan) বুলিয়ান বীজগণিতের দুটি মৌলিক উপপাদ্য আবিষ্কার করেন। এই উপপাদ্যগুলো বুলিয়ান গুণ (AND) এবং বুলিয়ান যোগ (OR) এর মধ্যে পূরক (NOT) এর মাধ্যমে সম্পর্ক স্থাপন করে। লজিক সার্কিটে NAND এবং NOR গেট দিয়ে যেকোনো লজিক বাস্তবায়নের পেছনে এই উপপাদ্যগুলোর সরাসরি অবদান রয়েছে।

প্রথম উপপাদ্য

যেকোনো সংখ্যক চলকের যৌক্তিক যোগফলের (OR) পূরক, ওই চলকগুলোর নিজস্ব পূরকের যৌক্তিক গুণফলের (AND) সমান। দুটি চলক $A$ এবং $B$ এর জন্য: $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$

দ্বিতীয় উপপাদ্য

যেকোনো সংখ্যক চলকের যৌক্তিক গুণফলের (AND) পূরক, ওই চলকগুলোর নিজস্ব পূরকের যৌক্তিক যোগফলের (OR) সমান। দুটি চলক $A$ এবং $B$ এর জন্য: $\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$

সত্যক সারণির মাধ্যমে ডি মরগানের উপপাদ্যের প্রমাণ

আমরা একটি সম্পূর্ণ সত্যক সারণি তৈরি করে দুটি উপপাদ্যই প্রমাণ করতে পারি।

ডি মরগানের উপপাদ্য প্রমাণের সত্যক সারণি

$A$	$B$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$A+B$	$\overline{A+B}$	$\overline{A}\cdot \overline{B}$	$A\cdot B$	$\overline{A\cdot B}$	$\overline{A}+\overline{B}$
০	০	১	১	০	১	১	০	১	১
০	১	১	০	১	০	০	০	১	১
১	০	০	১	১	০	০	০	১	১
১	১	০	০	১	০	০	১	০	০

সারণি থেকে স্পষ্টভাবে দেখা যাচ্ছে যে:

• ৬ষ্ঠ এবং ৭ম কলামের মান প্রতিটি সারির জন্য হুবহু এক। অর্থাৎ, $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$ (প্রথম উপপাদ্য প্রমাণিত)।
• ৯ম এবং ১০ম কলামের মান প্রতিটি সারির জন্য হুবহু এক। অর্থাৎ, $\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$ (দ্বিতীয় উপপাদ্য প্রমাণিত)।

তিন বা ততোধিক চলকের জন্য ডি মরগানের উপপাদ্য

এই উপপাদ্যগুলো শুধুমাত্র দুটি চলকের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়। $n$ সংখ্যক চলকের জন্যও এগুলো একইভাবে কাজ করে:

• $\overline{A+B+C+\dots +N}=\overline{A}\cdot \overline{B}\cdot \overline{C}\cdot \dots \cdot \overline{N}$
• $\overline{A\cdot B\cdot C\cdot \dots \cdot N}=\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}+\dots +\overline{N}$

বুলিয়ান রাশি সরলীকরণ

বুলিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে লজিক সমীকরণকে তার সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত রূপে নিয়ে আসাকে সরলীকরণ বলে। এর জন্য নির্দিষ্ট কোনো বাধা-ধরা নিয়ম নেই, তবে সাধারণত কমন নেওয়া, ডি মরগানের সূত্র প্রয়োগ, এবং শোষণ সূত্র ব্যবহারের মাধ্যমে এটি করা হয়। নিচে ৮টি বিস্তারিত উদাহরণ ধাপে ধাপে সমাধান করে দেখানো হলো:

উদাহরণ ১

সরল করো: $Y=AB+A(B+C)+B(B+C)$

সমাধান: ধাপ ১: গুণফলগুলো ভেঙে লিখি (বিতরণ সূত্র)। $Y=AB+AB+AC+BB+BC$ ধাপ ২: আমরা জানি, $AB+AB=AB$ এবং $B\cdot B=B$। $Y=AB+AC+B+BC$ ধাপ ৩: শেষ দুটি পদ থেকে $B$ কমন নিই। $Y=AB+AC+B(1+C)$ ধাপ ৪: যেহেতু $1+C=1$। $Y=AB+AC+B(1)=AB+AC+B$ ধাপ ৫: প্রথম এবং তৃতীয় পদ ($AB$ ও $B$) থেকে $B$ কমন নিই। $Y=B(A+1)+AC$ ধাপ ৬: যেহেতু $A+1=1$। $Y=B(1)+AC=B+AC$

চূড়ান্ত উত্তর: $Y=B+AC$

উদাহরণ ২

সরল করো: $F=\overline{A}BC+A\overline{B}C+ABC$

সমাধান: ধাপ ১: আমরা যেকোনো পদের সাথে ঐ একই পদ যোগ করতে পারি (কারণ $X+X=X$)। সুবিধার জন্য আমরা $ABC$ পদটি দু'বার লিখব। $F=\overline{A}BC+ABC+A\overline{B}C+ABC$ ধাপ ২: প্রথম দুটি পদ থেকে $BC$ এবং শেষের দুটি পদ থেকে $AC$ কমন নিই। $F=BC(\overline{A}+A)+AC(\overline{B}+B)$ ধাপ ৩: পরিপূরক সূত্র অনুযায়ী $\overline{A}+A=1$ এবং $\overline{B}+B=1$। $F=BC(1)+AC(1)$ $F=BC+AC$ ধাপ ৪: $C$ কমন নিই। $F=C(A+B)$

চূড়ান্ত উত্তর: $F=C(A+B)$

উদাহরণ ৩

সরল করো: $Z=(A+B)(A+\overline{B})$

সমাধান: ধাপ ১: সাধারণ বীজগণিতের মতো গুণ করি। $Z=A\cdot A+A\overline{B}+AB+B\overline{B}$ ধাপ ২: আমরা জানি $A\cdot A=A$ এবং $B\overline{B}=0$। $Z=A+A\overline{B}+AB+0$ ধাপ ৩: প্রথম তিনটি পদ থেকে $A$ কমন নিই। $Z=A(1+\overline{B}+B)$ ধাপ ৪: যেহেতু একের সাথে যা কিছুই যোগ করা হোক না কেন ফলাফল ১ হয় ($1+\text{যেকোনো কিছু}=1$)। $Z=A(1)$ $Z=A$

চূড়ান্ত উত্তর: $Z=A$

উদাহরণ ৪

সরল করো: $X=A\overline{B}C+\overline{A}BC+ABC+A\overline{B}\overline{C}$

সমাধান: ধাপ ১: পদগুলোকে সুবিধামতো সাজিয়ে লিখি যাতে কমন নেওয়া সহজ হয়। $X=(A\overline{B}C+A\overline{B}\overline{C})+(\overline{A}BC+ABC)$ ধাপ ২: প্রথম ব্র্যাকেট থেকে $A\overline{B}$ এবং দ্বিতীয় ব্র্যাকেট থেকে $BC$ কমন নিই। $X=A\overline{B}(C+\overline{C})+BC(\overline{A}+A)$ ধাপ ৩: সূত্র প্রয়োগ করি ($C+\overline{C}=1$ এবং $\overline{A}+A=1$)। $X=A\overline{B}(1)+BC(1)$ $X=A\overline{B}+BC$

চূড়ান্ত উত্তর: $X=A\overline{B}+BC$

উদাহরণ ৫ (ডি মরগান প্রয়োগ)

সরল করো: $Y=\overline{\stackrel{‾}{AB}+\stackrel{‾}{A+B}}$

সমাধান: ধাপ ১: পুরো রাশিটির উপর একটি বড় বার (NOT) আছে। এখানে ডি মরগানের প্রথম সূত্র ($\overline{X+Y}=\overline{X}\cdot \overline{Y}$) প্রয়োগ করব। ধরি $X=\overline{AB}$ এবং $Y=\overline{A+B}$। $Y=\overline{\stackrel{‾}{AB}}\cdot \overline{\stackrel{‾}{A+B}}$ ধাপ ২: দ্বৈত পূরক সূত্র ($\overline{\stackrel{‾}{A}}=A$) অনুযায়ী ডাবল বার উঠে যাবে। $Y=(AB)\cdot (A+B)$ ধাপ ৩: গুণ করে দিই। $Y=ABA+ABB$ ধাপ ৪: যেহেতু $AA=A$ এবং $BB=B$। $Y=AB+AB$ ধাপ ৫: যেহেতু $X+X=X$। $Y=AB$

চূড়ান্ত উত্তর: $Y=AB$

উদাহরণ ৬

সরল করো: $F=AB+\overline{AC}+A\overline{B}C(AB+C)$

সমাধান: ধাপ ১: প্রথমে $\overline{AC}$ এর উপর ডি মরগান সূত্র প্রয়োগ করি এবং ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশ গুণ করি। $F=AB+\overline{A}+\overline{C}+(A\overline{B}CAB+A\overline{B}CC)$ ধাপ ২: গুণফলগুলো সরল করি। $A\overline{B}CAB=AA\overline{B}BC=A(0)C=0$ (কারণ $B\overline{B}=0$)। এবং $A\overline{B}CC=A\overline{B}C$ (কারণ $CC=C$) $F=AB+\overline{A}+\overline{C}+0+A\overline{B}C$ $F=\overline{A}+AB+\overline{C}+A\overline{B}C$ ধাপ ৩: প্রথম দুটি পদে শোষণ সূত্রের অনুসিদ্ধান্ত ($\overline{A}+AB=\overline{A}+B$) প্রয়োগ করি। $F=(\overline{A}+B)+\overline{C}+A\overline{B}C$ ধাপ ৪: পদগুলো সাজিয়ে লিখি: $F=\overline{A}+A\overline{B}C+B+\overline{C}$ আবার শোষণ অনুসিদ্ধান্ত প্রয়োগ করি: $\overline{A}+A(\overline{B}C)=\overline{A}+\overline{B}C$ $F=\overline{A}+\overline{B}C+B+\overline{C}$ ধাপ ৫: সাজিয়ে লিখি: $F=\overline{A}+(B+\overline{B}C)+\overline{C}$ আবার শোষণ: $B+\overline{B}C=B+C$ $F=\overline{A}+B+C+\overline{C}$ ধাপ ৬: $C+\overline{C}=1$। $F=\overline{A}+B+1$ ধাপ ৭: যেকোনো কিছুর সাথে ১ যোগ করলে ১ হয়। $F=1$

চূড়ান্ত উত্তর: $F=1$

উদাহরণ ৭

সরল করো: $E=(A+B)(\overline{A}+C)+BC$

সমাধান: ধাপ ১: গুণ করি। $E=A\overline{A}+AC+\overline{A}B+BC+BC$ ধাপ ২: $A\overline{A}=0$ এবং $BC+BC=BC$। $E=0+AC+\overline{A}B+BC$ $E=AC+\overline{A}B+BC$ ধাপ ৩: এটি সরাসরি ঐকমত্য উপপাদ্যের (Consensus Theorem) রূপ। এখানে $A$ এবং $\overline{A}$ আছে, এবং অপর চলকগুলো হলো $C$ ও $B$। তাই ঐকমত্য পদ হলো $BC$। সূত্র অনুযায়ী $BC$ বাদ দেওয়া যায়। $E=\overline{A}B+AC$ (সাজিয়ে লেখা হলো)

চূড়ান্ত উত্তর: $E=\overline{A}B+AC$

উদাহরণ ৮

সরল করো: $W=\overline{(A+B)(\overline{C}+D)}$

সমাধান: ধাপ ১: ডি মরগানের দ্বিতীয় সূত্র ($\overline{X\cdot Y}=\overline{X}+\overline{Y}$) প্রয়োগ করি, যেখানে $X=A+B$ এবং $Y=\overline{C}+D$। $W=\overline{(A+B)}+\overline{(\overline{C}+D)}$ ধাপ ২: প্রতিটি অংশের উপর ডি মরগানের প্রথম সূত্র প্রয়োগ করি। $W=(\overline{A}\cdot \overline{B})+(\overline{\stackrel{‾}{C}}\cdot \overline{D})$ ধাপ ৩: দ্বৈত পূরক সূত্র ($\overline{\stackrel{‾}{C}}=C$) প্রয়োগ করি। $W=\overline{A}\overline{B}+C\overline{D}$

চূড়ান্ত উত্তর: $W=\overline{A}\overline{B}+C\overline{D}$

মিনটার্ম এবং ম্যাক্সটার্ম

বুলিয়ান ফাংশনকে একটি আদর্শ (Standard) আকারে প্রকাশ করার জন্য মিনটার্ম ও ম্যাক্সটার্ম ধারণা দুটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

মিনটার্ম

মিনটার্ম হলো উপস্থিত সকল চলকের একটি বুলিয়ান গুণফল (AND Operation), যেখানে প্রতিটি চলক স্বাভাবিক বা পূরক যেকোনো এক অবস্থায় অবশ্যই উপস্থিত থাকে। $n$ সংখ্যক চলকের জন্য $2^n$ টি মিনটার্ম সম্ভব। মিনটার্মকে ছোট হাতের $m$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় (যেমন: $m_0,m_1,m_2$ ইত্যাদি)। মিনটার্ম লেখার নিয়ম: চলকের মান ০ হলে তার পূরক (Complement) বসবে এবং ১ হলে স্বাভাবিক চলক বসবে।

ম্যাক্সটার্ম

ম্যাক্সটার্ম হলো উপস্থিত সকল চলকের একটি বুলিয়ান যোগফল (OR Operation), যেখানে প্রতিটি চলক স্বাভাবিক বা পূরক যেকোনো এক অবস্থায় অবশ্যই উপস্থিত থাকে। ম্যাক্সটার্মকে বড় হাতের $M$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় (যেমন: $M_0,M_1,M_2$ ইত্যাদি)। ম্যাক্সটার্ম লেখার নিয়ম: চলকের মান ১ হলে তার পূরক (Complement) বসবে এবং ০ হলে স্বাভাবিক চলক বসবে (মিনটার্মের ঠিক উল্টো)।

তিন চলকের মিনটার্ম ও ম্যাক্সটার্ম সারণি

ধরি তিনটি চলক $x,y,z$। মোট সম্ভাব্য অবস্থা $2^3=8$ টি।

৩-চলকের মিনটার্ম এবং ম্যাক্সটার্ম সারণি

চলকের মান ($xyz$)	ডেসিমাল সমতুল্য	মিনটার্ম (AND পদ)	মিনটার্ম প্রতীক	ম্যাক্সটার্ম (OR পদ)	ম্যাক্সটার্ম প্রতীক
০ ০ ০	০	$\overline{x}\overline{y}\overline{z}$	$m_0$	$x+y+z$	$M_0$
০ ০ ১	১	$\overline{x}\overline{y}z$	$m_1$	$x+y+\overline{z}$	$M_1$
০ ১ ০	২	$\overline{x}y\overline{z}$	$m_2$	$x+\overline{y}+z$	$M_2$
০ ১ ১	৩	$\overline{x}yz$	$m_3$	$x+\overline{y}+\overline{z}$	$M_3$
১ ০ ০	৪	$x\overline{y}\overline{z}$	$m_4$	$\overline{x}+y+z$	$M_4$
১ ০ ১	৫	$x\overline{y}z$	$m_5$	$\overline{x}+y+\overline{z}$	$M_5$
১ ১ ০	৬	$xy\overline{z}$	$m_6$	$\overline{x}+\overline{y}+z$	$M_6$
১ ১ ১	৭	$xyz$	$m_7$	$\overline{x}+\overline{y}+\overline{z}$	$M_7$

একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক: যেকোনো $i$ এর জন্য, $m_i=\overline{M_i}$ এবং $M_i=\overline{m_i}$। অর্থাৎ মিনটার্ম এবং ম্যাক্সটার্ম একে অপরের পূরক।

স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম

যেকোনো বুলিয়ান সমীকরণকে প্রধানত দুটি স্ট্যান্ডার্ড ফর্মে প্রকাশ করা যায়। লজিক সার্কিট ডিজাইনে এই দুটি ফর্মের ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে।

১. গুণফলের যোগফল বা Sum of Products (SOP)

যখন কতগুলো প্রোডাক্ট টার্ম বা গুণফলের পদ (AND terms) একে অপরের সাথে যোগ (OR) আকারে থাকে, তখন তাকে Sum of Products বা SOP বলে। উদাহরণ: $F=AB+\overline{A}BC+A\overline{C}$ এখানে $AB$, $\overline{A}BC$ ইত্যাদি হলো গুণফলের পদ, যা যোগ দিয়ে যুক্ত।

ক্যানোনিক্যাল বা স্ট্যান্ডার্ড SOP (Canonical SOP): যদি একটি SOP সমীকরণের প্রতিটি পদে ফাংশনটির সবগুলো চলক উপস্থিত থাকে, তবে তাকে ক্যানোনিক্যাল SOP বলে। এটি মূলত মিনটার্মগুলোর যোগফল। একে $\mathrm{\Sigma }m$ (Sigma m) দ্বারাও প্রকাশ করা হয়।

সাধারণ SOP থেকে ক্যানোনিক্যাল SOP তে রূপান্তর: ধরি একটি ফাংশন $F(A,B,C)=AB+\overline{A}C$। এটি একটি SOP, কিন্তু ক্যানোনিক্যাল নয় কারণ প্রথম পদে $C$ এবং দ্বিতীয় পদে $B$ অনুপস্থিত। রূপান্তরের নিয়ম: কোনো পদে যে চলকটি অনুপস্থিত, সেই চলক এবং তার পূরকের যোগফল (যা সর্বদা ১) দিয়ে ওই পদটিকে গুণ করতে হবে।

• প্রথম পদ $AB$: এখানে $C$ নেই। তাই $AB\cdot (C+\overline{C})=ABC+AB\overline{C}$
• দ্বিতীয় পদ $\overline{A}C$: এখানে $B$ নেই। তাই $\overline{A}C\cdot (B+\overline{B})=\overline{A}BC+\overline{A}\overline{B}C$

সুতরাং, ক্যানোনিক্যাল SOP: $F=ABC+AB\overline{C}+\overline{A}BC+\overline{A}\overline{B}C$ মিনটার্ম হিসেবে লিখলে: $F=m_7+m_6+m_3+m_1=\mathrm{\Sigma }m(1,3,6,7)$

২. যোগফলের গুণফল বা Product of Sums (POS)

যখন কতগুলো সাম টার্ম বা যোগফলের পদ (OR terms) একে অপরের সাথে গুণ (AND) আকারে থাকে, তখন তাকে Product of Sums বা POS বলে। উদাহরণ: $F=(A+B)\cdot (\overline{A}+B+C)\cdot (A+\overline{C})$

ক্যানোনিক্যাল বা স্ট্যান্ডার্ড POS (Canonical POS): যদি একটি POS সমীকরণের প্রতিটি পদে ফাংশনটির সবগুলো চলক উপস্থিত থাকে, তবে তাকে ক্যানোনিক্যাল POS বলে। এটি মূলত ম্যাক্সটার্মগুলোর গুণফল। একে $\mathrm{\Pi }M$ (Pi M) দ্বারাও প্রকাশ করা হয়।

সাধারণ POS থেকে ক্যানোনিক্যাল POS তে রূপান্তর: ধরি একটি ফাংশন $F(A,B,C)=(A+B)\cdot (\overline{A}+C)$। রূপান্তরের নিয়ম: কোনো পদে যে চলকটি অনুপস্থিত, সেই চলক এবং তার পূরকের গুণফল (যা সর্বদা ০) ওই পদের সাথে যোগ করতে হবে। এরপর বিতরণ সূত্র $X+YZ=(X+Y)(X+Z)$ প্রয়োগ করতে হবে।

• প্রথম পদ $(A+B)$: $C$ নেই। তাই $(A+B)+C\overline{C}=(A+B+C)(A+B+\overline{C})$
• দ্বিতীয় পদ $(\overline{A}+C)$: $B$ নেই। তাই $(\overline{A}+C)+B\overline{B}=(\overline{A}+C+B)(\overline{A}+C+\overline{B})$ বা সাজিয়ে লিখলে $(\overline{A}+B+C)(\overline{A}+\overline{B}+C)$

সুতরাং, ক্যানোনিক্যাল POS: $F=(A+B+C)(A+B+\overline{C})(\overline{A}+B+C)(\overline{A}+\overline{B}+C)$ ম্যাক্সটার্ম হিসেবে লিখলে: $F=M_0\cdot M_1\cdot M_4\cdot M_6=\mathrm{\Pi }M(0,1,4,6)$

সত্যক সারণি থেকে SOP এবং POS নির্ণয়

ধরা যাক একটি অজানা সার্কিটের সত্যক সারণি নিচে দেওয়া হলো। এখান থেকে সমীকরণ বের করতে হবে।

ফাংশন $F$ এর সত্যক সারণি

$A$	$B$	$C$	আউটপুট $F$
০	০	০	০
০	০	১	১ (SOP এর জন্য)
০	১	০	০
০	১	১	১ (SOP এর জন্য)
১	০	০	০
১	০	১	০
১	১	০	১ (SOP এর জন্য)
১	১	১	০

SOP সমীকরণ তৈরি: SOP বের করার জন্য আউটপুট কলামে যেখানে ১ আছে, কেবল সেই সারিগুলো বিবেচনা করব। এখানে ২য়, ৪র্থ এবং ৭ম সারিতে আউটপুট ১। এই সারিগুলোর মিনটার্ম যোগ করলেই SOP সমীকরণ পাওয়া যাবে।

• ২য় সারি (০০১): মিনটার্ম = $\overline{A}\overline{B}C$
• ৪র্থ সারি (০১১): মিনটার্ম = $\overline{A}BC$
• ৭ম সারি (১১০): মিনটার্ম = $AB\overline{C}$

অতএব, SOP সমীকরণ: $F=\overline{A}\overline{B}C+\overline{A}BC+AB\overline{C}$ (এটি $\mathrm{\Sigma }m(1,3,6)$)

POS সমীকরণ তৈরি: POS বের করার জন্য আউটপুট কলামে যেখানে ০ আছে, সেই সারিগুলো বিবেচনা করব। এখানে ১ম, ৩য়, ৫ম, ৬ষ্ঠ এবং ৮ম সারিতে আউটপুট ০। এই সারিগুলোর ম্যাক্সটার্ম গুণ করলেই POS সমীকরণ পাওয়া যাবে।

• ১ম সারি (০০০): ম্যাক্সটার্ম = $A+B+C$
• ৩য় সারি (০১০): ম্যাক্সটার্ম = $A+\overline{B}+C$
• ৫ম সারি (১০০): ম্যাক্সটার্ম = $\overline{A}+B+C$
• ৬ষ্ঠ সারি (১০১): ম্যাক্সটার্ম = $\overline{A}+B+\overline{C}$
• ৮ম সারি (১১১): ম্যাক্সটার্ম = $\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}$

অতএব, POS সমীকরণ: $F=(A+B+C)(A+\overline{B}+C)(\overline{A}+B+C)(\overline{A}+B+\overline{C})(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C})$ (এটি $\mathrm{\Pi }M(0,2,4,5,7)$)

লক্ষণীয় যে, একটি সত্যক সারণি থেকে প্রাপ্ত SOP এবং POS সমীকরণ গাণিতিকভাবে সমতুল্য, যদিও দেখতে ভিন্ন। এগুলোকে সরলীকরণ করলে একই লজিক সার্কিট তৈরি হবে।

উপসংহার

বুলিয়ান বীজগণিতের এই দ্বিতীয় পর্বে আমরা দেখলাম কীভাবে বিভিন্ন উপপাদ্য বিশেষ করে ডি মরগানের সূত্র ব্যবহার করে জটিল লজিক সমীকরণকে সরল করা যায়। মিনটার্ম, ম্যাক্সটার্ম এবং স্ট্যান্ডার্ড ফর্মগুলো (SOP ও POS) ডিজিটাল লজিক ডিজাইনের ভিত্তি। পরবর্তীতে কার্নো ম্যাপ (ইংরেজি:Karnaugh Map) ব্যবহার করে এই সরলীকরণ প্রক্রিয়াকে আরও সহজ ও দৃশ্যমান করা সম্ভব, যা পরবর্তী পর্বের আলোচ্য বিষয়।

অপারেশনের অগ্রাধিকার

সাধারণ বীজগণিতে আমরা জানি যে গুণ যোগের আগে করতে হয়। বুলিয়ান বীজগণিতেও অনুরূপ নিয়ম আছে, তবে পূরকও যুক্ত হওয়ায় ক্রমবিন্যাসটা একটু ভিন্ন।

বুলিয়ান বীজগণিতে অপারেশনের অগ্রাধিকার ক্রম নিচে দেওয়া হলো, সর্বোচ্চ অগ্রাধিকার থেকে সর্বনিম্ন:

1. বন্ধনি — বন্ধনির ভেতরের অংশ সর্বদা আগে মূল্যায়ন করতে হয়।
2. পূরক (NOT) — পূরক অপারেশন গুণ ও যোগের আগে করতে হয়।
3. গুণ (AND) — গুণ যোগের আগে করতে হয়।
4. যোগ (OR) — যোগ সবার শেষে করতে হয়।

এই অগ্রাধিকার ক্রম অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। ভুল ক্রমে অপারেশন করলে ভুল ফলাফল আসবে। কয়েকটি উদাহরণ দিয়ে এটি বোঝা যাক।

উদাহরণ: $x+y\cdot z$ রাশিটি মূল্যায়ন করো যেখানে $x=\text{০},y=\text{১},z=\text{১}$।

ভুল পদ্ধতি (বাম থেকে ডানে করলে):

$x+y\cdot z=(\text{০}+\text{১})\cdot \text{১}=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

সঠিক পদ্ধতি (গুণ আগে):

$x+y\cdot z=\text{০}+(\text{১}\cdot \text{১})=\text{০}+\text{১}=\text{১}$

এখানে দুটো পদ্ধতিতে একই ফলাফল এলেও সবসময় তা হয় না। আরেকটি উদাহরণ দেখা যাক:

উদাহরণ: $x+y\cdot z$ রাশিটি মূল্যায়ন করো যেখানে $x=\text{১},y=\text{০},z=\text{০}$।

বাম থেকে ডানে (ভুল):

$(x+y)\cdot z=(\text{১}+\text{০})\cdot \text{০}=\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

সঠিক পদ্ধতি (গুণ আগে):

$x+(y\cdot z)=\text{১}+(\text{০}\cdot \text{০})=\text{১}+\text{০}=\text{১}$

এখানে দুটো পদ্ধতিতে ভিন্ন ফলাফল আসে। সঠিক ফলাফল হলো ১।

বন্ধনির ব্যবহার

বন্ধনি ব্যবহার করে স্বাভাবিক অগ্রাধিকার ক্রম পরিবর্তন করা যায়। যদি আমরা চাই যোগ আগে হোক, তাহলে যোগের অংশটি বন্ধনিতে রাখতে হবে।

উদাহরণ: $(x+y)\cdot z$ এবং $x+y\cdot z$ দুটি ভিন্ন রাশি।

• $(x+y)\cdot z$: প্রথমে $x+y$ হিসাব করো, তারপর ফলাফলকে $z$ দিয়ে গুণ করো।
• $x+y\cdot z$: প্রথমে $y\cdot z$ হিসাব করো, তারপর $x$-এর সাথে যোগ করো।

বিভ্রান্তি এড়ানোর জন্য জটিল রাশিতে বন্ধনি ব্যবহার করা সর্বদা ভালো অভ্যাস, এমনকি যদি অগ্রাধিকার ক্রম স্বয়ংক্রিয়ভাবে সঠিক ক্রম নিশ্চিত করেও।

সংক্ষিপ্ত লেখার পদ্ধতি

বিভ্রান্তির কোনো সুযোগ না থাকলে গুণের চিহ্ন (·) বাদ দেওয়া যায়। যেমন:

• $x\cdot y$ কে $xy$ লেখা যায়।
• $x\cdot y\cdot z$ কে $xyz$ লেখা যায়।
• $\overline{x}\cdot y$ কে $\overline{x}y$ লেখা যায়।

এই সংক্ষিপ্ত লেখার পদ্ধতি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

বুলিয়ান ও সাধারণ বীজগণিতের তুলনামূলক আলোচনা

বুলিয়ান বীজগণিত ও সাধারণ বীজগণিতের মধ্যে কিছু মিল আছে এবং বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্যও আছে। এই পার্থক্যগুলো ভালোভাবে বোঝা না গেলে প্রায়ই ভুল হয়।

মিলসমূহ

• উভয় ক্ষেত্রে চলক (variable) ব্যবহার করা হয়।
• উভয় ক্ষেত্রে গুণ ও যোগ অপারেশন আছে।
• উভয় ক্ষেত্রে বিনিময় সূত্র (commutative law), সংযোগ সূত্র (associative law) এবং বিতরণ সূত্র (distributive law) প্রযোজ্য।
• উভয় ক্ষেত্রে বন্ধনি ব্যবহার করে অগ্রাধিকার পরিবর্তন করা যায়।

পার্থক্যসমূহ

বুলিয়ান বনাম সাধারণ বীজগণিত: বিস্তারিত তুলনা

বৈশিষ্ট্য	সাধারণ বীজগণিত	বুলিয়ান বীজগণিত
চলকের মান	যেকোনো বাস্তব সংখ্যা	কেবল $\text{০}$ বা $\text{১}$
যোগ: $\text{১}+\text{১}$	$\text{২}$	$\text{১}$
যোগ ফলাফলের সীমা	যেকোনো সংখ্যা	কেবল $\text{০}$ বা $\text{১}$
গুণ: $x^2$	$x\times x$ (সাধারণত $x$-এর চেয়ে ভিন্ন)	$x\cdot x=x$
পূরক অপারেশন	নেই (ঋণাত্মক সংখ্যা আলাদা ধারণা)	$\overline{\text{০}}=\text{১},\overline{\text{১}}=\text{০}$
$x+\overline{x}$	$x+(1-x)=1$ (বিশেষ ক্ষেত্রে)	সর্বদা $\text{১}$
$x\cdot \overline{x}$	$x(1-x)$ (সাধারণত শূন্য নয়)	সর্বদা $\text{০}$
$x+x$	$2x$	$x$
প্রক্রিয়ার অগ্রাধিকার	বন্ধনি → গুণ → যোগ	বন্ধনি → পূরক → গুণ → যোগ
বিতরণ সূত্র	$a(b+c)=ab+ac$ (একদিকে)	$a(b+c)=ab+ac$ এবং $a+bc=(a+b)(a+c)$ (উভয়দিকে)

বিশেষভাবে উল্লেখযোগ্য পার্থক্য

বুলিয়ান বীজগণিতে একটি বিতরণ সূত্র আছে যেটি সাধারণ বীজগণিতে সত্য নয়:

$a+bc=(a+b)(a+c)$

সাধারণ বীজগণিতে কিন্তু এটি সত্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি $a=2,b=3,c=4$ হয়:

• বাম পক্ষ: $2+3\times 4=2+12=14$
• ডান পক্ষ: $(2+3)(2+4)=5\times 6=30$

স্পষ্টতই $14\ne 30$, তাই সাধারণ বীজগণিতে এটি সত্য নয়।

কিন্তু বুলিয়ান বীজগণিতে এটি সত্য। যাচাই করা যাক, $a=\text{০},b=\text{১},c=\text{১}$ হলে:

• বাম পক্ষ: $\text{০}+\text{১}\cdot \text{১}=\text{০}+\text{১}=\text{১}$
• ডান পক্ষ: $(\text{০}+\text{১})(\text{০}+\text{১})=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

উভয় পক্ষ সমান। এই বিতরণ সূত্রটি বুলিয়ান বীজগণিতের একটি বিশেষত্ব।

সম্পূর্ণ তিন-চলক সত্যক সারণি

তিনটি চলক $x,y,z$ থাকলে সম্ভাব্য ইনপুট সংমিশ্রণের সংখ্যা $2^3=8$। এই সংমিশ্রণগুলো নিয়মিতভাবে তালিকাভুক্ত করার একটি পদ্ধতি হলো বাইনারি সংখ্যার ক্রমানুসারে লেখা:

তিন-চলকের সম্পূর্ণ সংমিশ্রণ

ক্রম	$x$	$y$	$z$
০	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$
১	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$
২	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$
৩	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$
৪	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$
৫	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$
৬	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$
৭	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$

এই ক্রমিক তালিকা ব্যবহার করে যেকোনো বুলিয়ান রাশির জন্য সত্যক সারণি তৈরি করা সহজ হয়। সাধারণত $n$টি চলকের জন্য $2^n$টি সারি থাকে।

মিশ্র অপারেশনের বিস্তারিত উদাহরণ

এখন আমরা দেখব কীভাবে তিনটি মৌলিক অপারেশনকে একত্রে ব্যবহার করে জটিল বুলিয়ান রাশির মান নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ১ (সহজ)

$\text{১}\cdot \text{০}+\overline{(\text{০}+\text{১})}$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: অগ্রাধিকার ক্রম অনুযায়ী —

ধাপ ১: বন্ধনির ভেতরের অংশ আগে: $\text{০}+\text{১}=\text{১}$

ধাপ ২: পূরক: $\overline{\text{১}}=\text{০}$

ধাপ ৩: গুণ: $\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

ধাপ ৪: যোগ: $\text{০}+\text{০}=\text{০}$

সুতরাং রাশিটির মান ০।

উদাহরণ ২ (মাঝারি)

$\overline{\text{০}}\cdot \overline{\text{১}}+\text{১}$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধাপ ১: পূরক: $\overline{\text{০}}=\text{১}$ এবং $\overline{\text{১}}=\text{০}$

ধাপ ২: গুণ: $\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

ধাপ ৩: যোগ: $\text{০}+\text{১}=\text{১}$

সুতরাং রাশিটির মান ১।

উদাহরণ ৩ (চলক সহ)

$x=\text{১},y=\text{০}$ হলে $\overline{x\cdot y}+x$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: প্রথমে মান প্রতিস্থাপন করি:

$\overline{\text{১}\cdot \text{০}}+\text{১}$

ধাপ ১: বন্ধনির ভেতর (গুণ): $\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

ধাপ ২: পূরক: $\overline{\text{০}}=\text{১}$

ধাপ ৩: যোগ: $\text{১}+\text{১}=\text{১}$

সুতরাং রাশিটির মান ১।

উদাহরণ ৪ (তিন চলক)

$x=\text{০},y=\text{১},z=\text{১}$ হলে $x+y\overline{z}+\overline{x}z$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: প্রথমে মান প্রতিস্থাপন করি:

$\text{০}+\text{১}\cdot \overline{\text{১}}+\overline{\text{০}}\cdot \text{১}$

ধাপ ১: পূরক: $\overline{\text{১}}=\text{০}$ এবং $\overline{\text{০}}=\text{১}$

রাশিটি হয়: $\text{০}+\text{১}\cdot \text{০}+\text{১}\cdot \text{১}$

ধাপ ২: গুণ:

• $\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$
• $\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

রাশিটি হয়: $\text{০}+\text{০}+\text{১}$

ধাপ ৩: যোগ: $\text{০}+\text{০}+\text{১}=\text{১}$

সুতরাং রাশিটির মান ১।

উদাহরণ ৫ (জটিল বন্ধনি)

$x=\text{১},y=\text{১},z=\text{০}$ হলে $\overline{(x+\overline{y})\cdot z}$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধাপ ১: পূরক: $\overline{y}=\overline{\text{১}}=\text{০}$

ধাপ ২: ভেতরের বন্ধনি (যোগ): $x+\overline{y}=\text{১}+\text{০}=\text{১}$

ধাপ ৩: বাইরের বন্ধনি (গুণ): $(\text{১})\cdot z=\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

ধাপ ৪: পূরক: $\overline{\text{০}}=\text{১}$

সুতরাং রাশিটির মান ১।

উদাহরণ ৬ (সবচেয়ে জটিল)

$A=\text{১},B=\text{০},C=\text{১},D=\text{০}$ হলে $(A\cdot \overline{B})+(\overline{C}+D)\cdot (A+B)$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধাপ ১: পূরক নির্ণয়:

• $\overline{B}=\overline{\text{০}}=\text{১}$
• $\overline{C}=\overline{\text{১}}=\text{০}$

ধাপ ২: প্রথম বন্ধনি (গুণ): $A\cdot \overline{B}=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

ধাপ ৩: দ্বিতীয় বন্ধনির ভেতর (যোগ): $\overline{C}+D=\text{০}+\text{০}=\text{০}$

ধাপ ৪: তৃতীয় বন্ধনি (যোগ): $A+B=\text{১}+\text{০}=\text{১}$

ধাপ ৫: মাঝের গুণ: $(\overline{C}+D)\cdot (A+B)=\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$

ধাপ ৬: চূড়ান্ত যোগ: $\text{১}+\text{০}=\text{১}$

সুতরাং রাশিটির মান ১।

বুলিয়ান চলক ও রাশি

বুলিয়ান চলক

বুলিয়ান বীজগণিতে চলক বা ভেরিয়েবল সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার অক্ষর দিয়ে প্রকাশ করা হয়, যেমন $x,y,z,A,B,C$ ইত্যাদি। প্রতিটি চলকের মান কেবল ০ অথবা ১ হতে পারে।

একটি বুলিয়ান চলকের দুটি রূপ থাকে:

• সরল রূপ: $x$ (যখন মান ১)
• পূরক রূপ: $\overline{x}$ (যখন মান ০)

এই দুটি রূপকে একসাথে লিটারেল (literal) বলা হয়। তাই $n$টি চলক থাকলে মোট $2n$টি লিটারেল থাকে।

বুলিয়ান রাশি

বুলিয়ান চলকগুলোকে পূরক, গুণ ও যোগ দিয়ে সংযুক্ত করে যে গাণিতিক প্রকাশ তৈরি হয় তাকে বুলিয়ান রাশি বলা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, নিচের সবগুলো বুলিয়ান রাশি:

• $f_1=x+y$
• $f_2=x\cdot y$
• $f_3=\overline{x}$
• $f_4=xy+\overline{z}$
• $f_5=(x+\overline{y})(y+z)$
• $f_6=\overline{x+y}+xyz$

প্রতিটি বুলিয়ান রাশি একটি বুলিয়ান ফাংশন নির্ধারণ করে যা ইনপুট চলকগুলোর মানের উপর ভিত্তি করে ০ বা ১ আউটপুট দেয়।

বুলিয়ান রাশির মান নির্ণয়

বুলিয়ান রাশির মান নির্ণয় করতে:

1. চলকগুলোর নির্দিষ্ট মান প্রতিস্থাপন করো।
2. অগ্রাধিকার ক্রম অনুযায়ী অপারেশন সম্পন্ন করো।

বিস্তারিত উদাহরণ: $f=x\cdot y+\overline{z}$

যদি $x=\text{১},y=\text{০},z=\text{১}$ হয়:

$f=\text{১}\cdot \text{০}+\overline{\text{১}}=\text{০}+\text{০}=\text{০}$

যদি $x=\text{১},y=\text{১},z=\text{০}$ হয়:

$f=\text{১}\cdot \text{১}+\overline{\text{০}}=\text{১}+\text{১}=\text{১}$

যদি $x=\text{০},y=\text{১},z=\text{০}$ হয়:

$f=\text{০}\cdot \text{১}+\overline{\text{০}}=\text{০}+\text{১}=\text{১}$

একটি রাশির সম্পূর্ণ সত্যক সারণি

$f=xy+\overline{z}$ রাশির জন্য সম্পূর্ণ সত্যক সারণি:

$f=xy+\overline{z}$-এর সত্যক সারণি

$x$	$y$	$z$	$xy$	$\overline{z}$	$f=xy+\overline{z}$
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$

মৌলিক স্বতঃসিদ্ধ ও উপপাদ্য

বুলিয়ান বীজগণিতের ভিত্তি হলো কিছু মৌলিক স্বতঃসিদ্ধ এবং সেগুলো থেকে প্রমাণিত উপপাদ্য

মৌলিক স্বতঃসিদ্ধ

নিচের সম্পর্কগুলো বুলিয়ান বীজগণিতের স্বতঃসিদ্ধ হিসেবে গ্রহণ করা হয়:

বুলিয়ান বীজগণিতের মৌলিক স্বতঃসিদ্ধ

নিয়ম	AND রূপ	OR রূপ
শূন্য উপাদান	$x\cdot \text{০}=\text{০}$	$x+\text{১}=\text{১}$
একক উপাদান	$x\cdot \text{১}=x$	$x+\text{০}=x$
ব্যাপ্তি সূত্র	$x\cdot x=x$	$x+x=x$
পরিপূরক সূত্র	$x\cdot \overline{x}=\text{০}$	$x+\overline{x}=\text{১}$
দ্বৈত পূরক	$\overline{\stackrel{‾}{x}}=x$	(একই)

বিনিময় সূত্র

বুলিয়ান গুণ ও যোগ উভয় ক্ষেত্রেই বিনিময় সূত্র প্রযোজ্য:

$x\cdot y=y\cdot x$

$x+y=y+x$

এর অর্থ হলো অপারেশনে চলকগুলোর ক্রম পরিবর্তন করলে ফলাফল বদলায় না। যাচাই করা যাক:

$x=\text{১},y=\text{০}$ হলে:

$x\cdot y=\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

$y\cdot x=\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$

উভয় ক্ষেত্রে ফলাফল সমান।

সংযোগ সূত্র

তিন বা ততোধিক চলকের AND বা OR অপারেশনে গ্রুপিং পরিবর্তন করলে ফলাফল বদলায় না:

$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$

$(x+y)+z=x+(y+z)$

বিতরণ সূত্র

বুলিয়ান বীজগণিতে দুটি বিতরণ সূত্র আছে:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

$x+(y\cdot z)=(x+y)\cdot (x+z)$

প্রথমটি সাধারণ বীজগণিতের মতো, কিন্তু দ্বিতীয়টি বুলিয়ান বীজগণিতের বিশেষত্ব। দ্বিতীয়টি যাচাই করা যাক সব সম্ভাব্য মানের জন্য:

যখন $x=\text{০},y=\text{১},z=\text{০}$:

• বাম পক্ষ: $\text{০}+(\text{১}\cdot \text{০})=\text{০}+\text{০}=\text{০}$
• ডান পক্ষ: $(\text{০}+\text{১})\cdot (\text{০}+\text{০})=\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$

যখন $x=\text{১},y=\text{০},z=\text{০}$:

• বাম পক্ষ: $\text{১}+(\text{০}\cdot \text{০})=\text{১}+\text{০}=\text{১}$
• ডান পক্ষ: $(\text{১}+\text{০})\cdot (\text{১}+\text{০})=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

সারসংক্ষেপ

এই পর্বে আমরা বুলিয়ান বীজগণিতের মৌলিক ধারণাগুলো শিখেছি:

• বুলিয়ান বীজগণিত কেবল দুটি মান ০ এবং ১ নিয়ে কাজ করে, যেখানে ০ = মিথ্যা/বন্ধ এবং ১ = সত্য/চালু।
• তিনটি মৌলিক অপারেশন: পূরক (NOT), গুণ (AND), যোগ (OR)।
• পূরক অপারেশন মানকে বিপরীত করে: $\overline{\text{০}}=\text{১}$, $\overline{\text{১}}=\text{০}$।
• AND অপারেশনের ফলাফল কেবল তখনই ১ যখন উভয় ইনপুট ১।
• OR অপারেশনের ফলাফল কেবল তখনই ০ যখন উভয় ইনপুট ০।
• অপারেশনের অগ্রাধিকার: বন্ধনি > পূরক > গুণ > যোগ।
• বুলিয়ান বীজগণিত সাধারণ বীজগণিত থেকে বেশ কিছু দিক থেকে আলাদা।

অনুশীলনী

নিচের অনুশীলনীগুলো সমাধান করো:

অংশ ক: মৌলিক অপারেশন

নিচের মানগুলোর মান নির্ণয় করো:

1. $\overline{\text{১}}$
2. $\text{১}\cdot \text{১}$
3. $\text{০}+\text{১}$
4. $\overline{\text{০}}\cdot \text{১}$
5. $\text{১}+\overline{\text{১}}$
6. $\text{০}\cdot \overline{\text{০}}$
7. $\overline{\stackrel{‾}{\text{১}}}$
8. $\text{১}\cdot \text{০}+\text{১}$
9. $(\text{১}+\text{০})\cdot (\text{০}+\text{১})$
10. $\overline{\text{১}+\text{০}}$

উত্তর:

1. $\text{০}$
2. $\text{১}$
3. $\text{১}$
4. $\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$
5. $\text{১}+\text{০}=\text{১}$
6. $\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$
7. $\overline{\text{১}}=\text{০};\overline{\text{০}}=\text{১}$
8. $\text{০}+\text{১}=\text{১}$
9. $\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$
10. $\overline{\text{১}}=\text{০}$

অংশ খ: চলকসহ অপারেশন

$x=\text{১},y=\text{০},z=\text{১}$ হলে নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় করো:

1. $\overline{x}+y$
2. $x\cdot \overline{y}\cdot z$
3. $\overline{x+y}\cdot z$
4. $x\overline{y}+\overline{x}z$
5. $\overline{(x\cdot y)+z}$
6. $(x+y)(y+z)$
7. $\overline{x}+\overline{y}+\overline{z}$
8. $xyz+\overline{x}\overline{y}\overline{z}$

উত্তর:

1. $\text{০}+\text{০}=\text{০}$
2. $\text{১}\cdot \text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$
3. $\overline{\text{১}}\cdot \text{১}=\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$
4. $\text{১}\cdot \text{১}+\text{০}\cdot \text{১}=\text{১}+\text{০}=\text{১}$
5. $\overline{\text{০}+\text{১}}=\overline{\text{১}}=\text{০}$
6. $(\text{১}+\text{০})(\text{০}+\text{১})=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$
7. $\text{০}+\text{১}+\text{০}=\text{১}$
8. $\text{১}\cdot \text{০}\cdot \text{১}+\text{০}\cdot \text{১}\cdot \text{০}=\text{০}+\text{০}=\text{০}$

[[টেমপ্লেট:BOOKCATEGORY]]