এই কোয়ান্টাম জগৎ/গুরুতর রোগ/শ্রোডিঙার

শ্রোডিঙার

ইলেকট্রন যদি একটি স্থির তরঙ্গ হয়, তবে একে কেন একটি বৃত্তে আবদ্ধ থাকতে হবে? দ্য ব্রোয়ির এই গুরুত্বপূর্ণ অন্তর্দৃষ্টির পর যে কণাগুলো এক ধরনের তরঙ্গ, পরিণত কোয়ান্টাম তত্ত্বটি আবিষ্কৃত হতে তিন বছরেরও কম সময় লেগেছিল, এবং তা একবার নয়, বরং দুবার আবিষ্কৃত হয়েছিল। ১৯২৫ সালে ওয়ার্নার কার্ল হাইজেনবার্গ এবং ১৯২৬ সালে এর্ভিন শ্রোডিঙার এটি আবিষ্কার করেন। আমরা যদি ইলেকট্রনকে ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি স্থির তরঙ্গ হিসেবে বিবেচনা করি, তবে শ্রোডিঙার সমীকরণে পৌঁছানোর জন্য প্রয়োজনীয় সবকিছুই আমাদের হাতে থাকে, যা হলো পরিণত তত্ত্বটির মূল ভিত্তি।

ধরা যাক আমরা একটিমাত্র স্থানিক মাত্রাতেই সীমাবদ্ধ আছি। কৌণিক তরঙ্গসংখ্যা $k=2\pi /\lambda$ এবং কৌণিক কম্পাঙ্ক $\omega =2\pi /T=2\pi \nu$ বিশিষ্ট একটি তরঙ্গের সবচেয়ে সহজ গাণিতিক বর্ণনা (অন্তত, আপনি যদি জটিল সংখ্যার সাথে পরিচিত হন) হলো এই ফাংশনটি:

$\psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}.$

চলুন দশা $\varphi (x,t)=kx-\omega t$-কে ইলেকট্রনের শক্তি $E=h\nu =\hslash \omega$ এবং ভরবেগ $p=h/\lambda =\hslash k:$-এর সাপেক্ষে প্রকাশ করি:

$\psi (x,t)=e^{i(px-Et)/\hslash }.$

$x$ এবং $t$-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরকগুলো হলো

$\frac{\partial \psi }{\partial x}=\frac{i}{\hslash }p\psi \text{and}\frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{i}{\hslash }E\psi .$

আমাদের $x$-এর সাপেক্ষে $\psi$-এর দ্বিতীয় আংশিক অন্তরকটিও প্রয়োজন:

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}={\left(\frac{ip}{\hslash }\right)}^2\psi .$

সুতরাং আমরা পাই

$E\psi =i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t},p\psi =-i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial x},\text{and}{p}^2\psi =-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}.$

অ-আপেক্ষিক চিরায়ত পদার্থবিজ্ঞানে একটি মুক্ত কণার গতিশক্তি এবং গতিশীল (কাইনেটিক) ভরবেগ $p$ বিচ্ছুরণ সম্পর্কের মাধ্যমে সম্পর্কিত থাকে

$E=p^2/2m.$

এই সম্পর্কটি অ-আপেক্ষিক কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানেও প্রযোজ্য। পরে আপনি এর কারণ জানতে পারবেন।

ত্রিমাত্রিক স্থানে, $p$ হলো একটি ভেক্টর $\mathbf{\text{𝐩}}$-এর মান। যদি কণাটির একটি বিভব শক্তি $V(\mathbf{\text{𝐫}},t)$ এবং একটি বিভব ভরবেগ $\mathbf{\text{𝐀}}(\mathbf{\text{𝐫}},t)$ থাকে (যেক্ষেত্রে এটি মুক্ত নয়), এবং যদি $E$ ও $\mathbf{\text{𝐩}}$ যথাক্রমে কণাটির মোট শক্তি এবং মোট ভরবেগকে নির্দেশ করে, তবে বিচ্ছুরণ সম্পর্কটি হবে

$E-V=(\mathbf{\text{𝐩}}-\mathbf{\text{𝐀}}{)}^2/2m.$

একটি ভেক্টর $\mathbf{\text{𝐯}}$-এর বর্গ বলতে আমরা ডট (বা স্কেলার) গুণফল $\mathbf{\text{𝐯}}\cdot \mathbf{\text{𝐯}}$-কে বুঝি। একটি কণার গতির ওপর সম্ভাব্য প্রভাবগুলোকে কেন আমরা $V(\mathbf{\text{𝐫}},t)$ এবং $\mathbf{\text{𝐀}}(\mathbf{\text{𝐫}},t).$-এর মতো ক্ষেত্রগুলো দ্বারা উপস্থাপন করি, তা আপনি পরে জানতে পারবেন।

একমাত্রিক স্থানবিশিষ্ট আমাদের সেই কাল্পনিক জগতে ফিরে গিয়ে, একটি বিভব শক্তি $V(x,t)$ বিবেচনা করে, প্রাপ্ত বিচ্ছুরণ সম্পর্কে $E$ এবং $p^2$-এর পরিবর্তে অন্তরক অপারেটর $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$ এবং $-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ বসিয়ে, এবং প্রাপ্ত অপারেটর সমীকরণের উভয় পাশকে $\psi ,$-তে প্রয়োগ করে, আমরা একমাত্রিক (সময়-নির্ভর) শ্রোডিঙার সমীকরণে পৌঁছাই:

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+V\psi$

ত্রিমাত্রিক স্থানে এবং বিভব শক্তি $V(\mathbf{\text{𝐫}},t)$ ও বিভব ভরবেগ $\mathbf{\text{𝐀}}(\mathbf{\text{𝐫}},t)$ উভয়ের উপস্থিতিতে, আমরা $E-V=(\mathbf{\text{𝐩}}-\mathbf{\text{𝐀}}{)}^2/2m,$ সম্পর্কটি নিয়ে এগোই, যেখানে $E$-এর জন্য $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$ এবং $\mathbf{\text{𝐩}}.$-এর জন্য $-i\hslash \frac{\partial }{\partial \mathbf{\text{𝐫}}}$ বসানো হয়। অন্তরক অপারেটর $\frac{\partial }{\partial \mathbf{\text{𝐫}}}$ হলো একটি ভেক্টর যার উপাংশগুলো হলো অন্তরক অপারেটর $(\frac{\partial \psi }{\partial x},\frac{\partial \psi }{\partial y},\frac{\partial \psi }{\partial z}).$ ফলাফল:

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\frac{1}{2m}{(-i\hslash \frac{\partial }{\partial \mathbf{\text{𝐫}}}-\mathbf{\text{𝐀}})}^2\psi +V\psi ,$

যেখানে $\psi$ এখন $\mathbf{\text{𝐫}}=(x,y,z)$ এবং $t.$-এর একটি ফাংশন। এটি হলো ত্রিমাত্রিক শ্রোডিঙার সমীকরণ। অ-আপেক্ষিক গবেষণায় (যার মধ্যে শ্রোডিঙার সমীকরণ সীমাবদ্ধ) বিভব ভরবেগকে সাধারণভাবে উপেক্ষা করা যেতে পারে, যে কারণে শ্রোডিঙার সমীকরণকে প্রায়ই এই রূপটি দেওয়া হয়:

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2})+V\psi$

মুক্ত শ্রোডিঙার সমীকরণ (এমনকি বিভব শক্তি পদটি ছাড়াও) $\psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}$ (একমাত্রিক ক্ষেত্রে) বা $\psi (\mathbf{\text{𝐫}},t)=e^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}$ (ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে) দ্বারা সিদ্ধ হয় শর্ত থাকে যে $E=\hslash \omega$-এর মান $p^2/2m=(\hslash k{)}^2/2m,$-এর সমান হয়, অর্থাৎ: $\omega (k)=\hslash k^2/2m.$ তবে, যেহেতু আমরা একটি সমসত্ব রৈখিক অন্তরক সমীকরণ নিয়ে কাজ করছি — যা আমাদের জানায় যে সমাধানগুলোকে যোগ করা যেতে পারে এবং/অথবা একটি ইচ্ছামাফিক ধ্রুবক দ্বারা গুণ করে অতিরিক্ত সমাধান পাওয়া যেতে পারে — তাই নিচের মতো রূপবিশিষ্ট যেকোনো ফাংশন

$\psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int \bar{\psi }(k)e^{i[kx-\omega (k)t]}dk=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int \bar{\psi }(k,t)e^{ikx}dk$

যেখানে $\bar{\psi }(k,t)=\bar{\psi }(k)e^{-i\omega (k)t}$ থাকে, তা (একমাত্রিক) শ্রোডিঙার সমীকরণটির সমাধান করে। যদি কোনো যোগজীকরণ সীমানা নির্দিষ্ট করা না থাকে, তবে আমরা বাস্তব রেখার ওপর যোগজীকরণ করি, অর্থাৎ, যোগজটিকে সীমা $\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-L}^{+L}.$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এর বিপরীতটিও সত্য: প্রতিটি সমাধানই এই রূপের হয়। যোগজটির সামনের উৎপাদকটি কেবল আলংকারিক কারণে উপস্থিত থাকে, যা আপনি অচিরেই বুঝতে পারবেন। $\bar{\psi }(k,t)$ হলো $\psi (x,t),$-এর ফুরিয়ে রূপান্তর, যার অর্থ হলো

$\bar{\psi }(k,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int \psi (x,t)e^{-ikx}dx.$

$\psi (x,t)$-এর ফুরিয়ে রূপান্তরের অস্তিত্ব রয়েছে কারণ $\int |\psi (x,t)|dx$ যোগজটি সসীম। পরবর্তী পরিচ্ছেদে আমরা এই যোগজটি কেন সসীম তার ভৌত কারণ জানতে পারব।

কাজেই এখন আমাদের কাছে এমন একটি শর্ত আছে, যা উপযুক্ত বিচ্ছুরণ সম্পর্ককে সিদ্ধ করার জন্য প্রতিটি ইলেকট্রনের "তরঙ্গ ফাংশন" বা ওয়েভ ফাংশনকে অবশ্যই সিদ্ধ করতে হবে। যদি এতে (এবং ফলস্বরূপ শ্রোডিঙার সমীকরণে) $\mathbf{\text{𝐕}}$ এবং $\mathbf{\text{𝐀}}$ বিভবগুলোর যেকোনো একটি বা উভয়টিই থাকে, তবে সমাধান খুঁজে পাওয়া কঠিন হতে পারে। একজন উদীয়মান কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানী হিসেবে, আপনি বিভিন্ন বিভবসহ শ্রোডিঙার সমীকরণ সমাধান করা শিখতে প্রচুর সময় ব্যয় করবেন।