এই কোয়ান্টাম জগৎ/গুরুতর রোগ/বর্ন

বর্ন

যে বছর এর্ভিন শ্রোডিঙার তাঁর শ্রোডিঙার সমীকরণটি প্রকাশ করেন, সেই একই বছরে ম্যাক্স বর্নের একটি অন্তর্দৃষ্টির মাধ্যমে অ-আপেক্ষিক তত্ত্বটি পূর্ণতা লাভ করেছিল। তাঁর অন্তর্দৃষ্টিটি ছিল এই যে, শ্রোডিঙারের তরঙ্গ ফাংশন $\psi (𝐫,t)$ আসলে সম্ভাব্যতা গণনার একটি হাতিয়ার ছাড়া আর কিছুই নয়, এবং $R$ নামক স্থানের একটি অঞ্চলে $\psi (𝐫,t)$ দ্বারা "বর্ণিত" একটি কণাকে শনাক্ত করার সম্ভাব্যতা নিচের আয়তন যোগজ দ্বারা প্রদান করা হয়

${\int }_R|\psi (t,𝐫){|}^2{d}^{3}r={\int }_R{\psi }^{\ast }\psi d^{3}r$

— তবে এখানে শর্ত থাকে যে, উপযুক্ত পরিমাপ করা হয়েছে, যা এই ক্ষেত্রে $R$-এ কণাটির উপস্থিতির জন্য একটি পরীক্ষা। যেহেতু কণাটিকে কোথাও না কোথাও (যেখানেই হোক না কেন) খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা ১ হতেই হবে, তাই কেবল একটি বর্গ-যোগজীকরণযোগ্য ফাংশনই একটি কণাকে "বর্ণনা" করতে পারে। এটি $\psi (𝐫)=e^{i𝐤\cdot 𝐫},$-কে বাতিল করে দেয়, যা বর্গ-যোগজীকরণযোগ্য নয়। অন্য কথায়, কোনো কণার ভরবেগ এতটাই সুনির্দিষ্ট হতে পারে না যা কেবল একটি তরঙ্গ ভেক্টর $𝐤$-এর সাথে $\hslash$ গুণ করে পাওয়া যায়, বরং এটি বিভিন্ন ভরবেগের ওপর একটি প্রকৃত সম্ভাব্যতা বিন্যাস দ্বারা প্রদান করা হয়।

একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন $|\psi (x){|}^2$ দেওয়া থাকলে, আমরা এর প্রত্যাশিত মান সংজ্ঞায়িত করতে পারি

$⟨x⟩=\int |\psi (x){|}^{2}xdx=\int {\psi }^{\ast }x\psi dx$

এবং পরিমিত ব্যবধান $\mathrm{\Delta }x=\sqrt{\int |\psi {|}^2(x-⟨x⟩{)}^2}$

পাশাপাশি $|\psi (x){|}^2$এর উচ্চতর মোমেন্টগুলোও সংজ্ঞায়িত করা যায়। একইভাবে,

$⟨k⟩=\int \bar{\psi }{}^{\ast }k\bar{\psi }dk$ এবং $\mathrm{\Delta }k=\sqrt{\int |\bar{\psi }{|}^2(k-⟨k⟩{)}^2}.$

এখানে $⟨k⟩:$ এর আরেকটি সমীকরণ দেওয়া হলো:

$⟨k⟩=\int {\psi }^{\ast }(x)(-i\frac{d}{dx})\psi (x)dx.$

দুটি সমীকরণ যে বাস্তবে সমান, তা যাচাই করার জন্য আমরা দ্বিতীয় সমীকরণটিতে $\psi (x)=(2\pi {)}^{-1/2}\int \bar{\psi }(k)e^{ikx}dk$ বসিয়ে দিই:

$⟨k⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int {\psi }^{\ast }(x)(-i\frac{d}{dx})\int \bar{\psi }(k)e^{ikx}dkdx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int {\psi }^{\ast }(x)\int \bar{\psi }(k)k{e}^{ikx}dkdx.$

এরপর আমরা ${\psi }^{\ast }(x)$-এর পরিবর্তে $(2\pi {)}^{-1/2}\int \bar{\psi }{}^{\ast }(k^{\prime })e^{-i{k}^{\prime }x}d{k}^{\prime }$ বসিয়ে দিই এবং পদার্থবিজ্ঞানে সচরাচর যেমনটা করা হয়, সেই গাণিতিক সাবলীলতার সাথে যোগজগুলোকে পুনর্বিন্যস্ত করি:

$⟨k⟩=\int \int \bar{\psi }{}^{\ast }(k^{\prime })k\bar{\psi }(k)[\frac{1}{2\pi }\int e^{i(k-k^{\prime })x}dx]dkd{k}^{\prime }.$

বর্গাকার বন্ধনীর ভেতরের রাশিটি হলো ডিরাকের ডেল্টা ডিস্ট্রিবিউশনের $\delta (k-k^{\prime }),$ একটি রূপ, যার সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য হলো যেকোনো অবিচ্ছিন্ন ফাংশন $f(x)$ এর জন্য ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\delta (x)dx=f(0)$। (আপনি যদি খেয়াল না করে থাকেন, এটি সেটাই প্রমাণ করে যা প্রমাণ করার কথা ছিল।)

হাইজেনবার্গ

১৯২৬ সালে, কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের সেই একই অ্যানাস মিরাবিলিস বা বিস্ময়কর বছরে, ওয়ার্নার কার্ল হাইজেনবার্গ তথাকথিত "অনিশ্চয়তা" সম্পর্কটি প্রমাণ করেছিলেন

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \hslash /2$

হাইজেনবার্গ Unschärfe শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন, যার আক্ষরিক অনুবাদ "অনিশ্চয়তা" নয়, বরং "অস্পষ্টতা"। যেহেতু $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }k\ge 1/2$ সম্পর্কটি এই সত্যের একটি পরিণতি যে $\psi (x)$ এবং $\bar{\psi }(k)$ একটি ফুরিয়ে রূপান্তরের মাধ্যমে একে অপরের সাথে সম্পর্কিত, তাই আমরা এর প্রমাণের ভার গণিতবিদদের ওপর ছেড়ে দিচ্ছি। অবস্থান এবং ভরবেগের অস্পষ্টতার সম্পর্কটি $p=\hslash k$ থেকে অনুসরণ করা যায়। এটি নির্দেশ করে যে, একটি অবস্থানের অস্পষ্টতা ($\mathrm{\Delta }x$ দ্বারা পরিমাপকৃত) এবং এর সাথে সম্পর্কিত ভরবেগের অস্পষ্টতা ($\mathrm{\Delta }p=\hslash \mathrm{\Delta }k$ দ্বারা পরিমাপকৃত) এমন হতে হবে যেন এদের গুণফল অন্ততপক্ষে $\hslash /2$ এর সমান হয়।