এই কোয়ান্টাম জগৎ/তাৎপর্য ও প্রয়োগ/একটি কোয়ান্টাম উৎক্ষিপ্ত বল

একটি কোয়ান্টাম উৎক্ষিপ্ত বল

একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ হিসেবে, নিচের বিভবটি বিবেচনা করুন:

$V(z)=mgz\text{যদি}z>0\text{এবং}V(z)=\mathrm{\infty }\text{যদি}z<0.$

$g$ হলো মেঝেতে অভিকর্ষজ ত্বরণ। $z<0,$-এর জন্য পূর্ববর্তী পরিচ্ছেদে প্রদত্ত শ্রোডিঙার সমীকরণ আমাদের জানায় যে, $\psi (z)=0.$ না হলে $d^2\psi (z)/d{z}^2=\mathrm{\infty }$ হবে। তাই ঋণাত্মক $z$-এর জন্য একমাত্র যুক্তিসঙ্গত সমাধান হলো $\psi (z)=0.$। $z<0$-এর জন্য $V(z)=\mathrm{\infty }$ হওয়ার শর্তটি নিশ্চিত করে যে, আমাদের সম্পূর্ণ স্থিতিস্থাপক, ঘর্ষণহীন কোয়ান্টাম বাউন্সারটিকে মেঝের নিচে পাওয়া যাবে না।

যেহেতু একটি ছবি হাজারটি শব্দের চেয়ে বেশি অর্থবহ, তাই আমরা এই নির্দিষ্ট বিভবের জন্য সময়-অনির্ভর শ্রোডিঙার সমীকরণটি সমাধান করব না, বরং কেবল এর প্রথম আটটি সমাধানের লেখচিত্র অঙ্কন করব:

একই বিভবের অধীন একটি চিরায়ত উৎক্ষিপ্ত বল কোথায় তার গতির দিক পরিবর্তন করবে? অবস্থান এবং ভরবেগের (তরঙ্গসংখ্যা) মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কটি লক্ষ করুন।

এই সবগুলো অবস্থাই স্থিতিশীল; $z$ অক্ষের নির্দিষ্ট কোনো ব্যবধিতে কোয়ান্টাম বাউন্সারটিকে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা সময়ের ওপর অনির্ভরশীল। তাহলে একে আমরা কীভাবে গতিশীল করব?

স্মরণ করুন যে, শ্রোডিঙার সমীকরণের সমাধানগুলোর যেকোনো রৈখিক সমাহারও এর আরেকটি সমাধান। দুটি স্থিতিশীল অবস্থার এই রৈখিক সমাহারটি বিবেচনা করুন:

$\psi (t,x)=A{\psi }_1(x)e^{-i{\omega }_{1}t}+B{\psi }_2(x)e^{-i{\omega }_{2}t}.$

সহগ $A,B$ এবং তরঙ্গ ফাংশন ${\psi }_1(x),{\psi }_2(x)$ বাস্তব বলে ধরে নিয়ে, আমরা $\psi (t,x)$-এর সাথে যুক্ত একটি কণার গড় অবস্থান গণনা করি:

$\int dx{\psi }^{\ast }x\psi =\int dx(A{\psi }_1{e}^{i{\omega }_{1}t}+B{\psi }_2{e}^{i{\omega }_{2}t})x(A{\psi }_1{e}^{-i{\omega }_{1}t}+B{\psi }_2{e}^{-i{\omega }_{2}t})$

$=A^2\int dx{\psi }_1^{2}x+B^2\int dx{\psi }_2^{2}x+AB(e^{i({\omega }_1-{\omega }_2)t}+e^{i({\omega }_2-{\omega }_1)t})\int dx{\psi }_{1}x{\psi }_2.$

প্রথম দুটি যোগজ হলো যথাক্রমে ${\psi }_1(x)e^{i{\omega }_{1}t}$ এবং ${\psi }_2(x)e^{i{\omega }_{2}t},$-এর সাথে যুক্ত একটি কণার (সময়-অনির্ভর) গড় অবস্থান। শেষ পদটি হলো

$2AB\cos (\mathrm{\Delta }\omega t)\int dx{\psi }_{1}x{\psi }_2,$

এবং এটি আমাদের জানায় যে, কণাটির গড় অবস্থান প্রথম দুটি পদের যোগফলের চারপাশে $\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_2-{\omega }_1$ কম্পাঙ্ক এবং $2AB\int dx{\psi }_{1}x{\psi }_2$ বিস্তারে স্পন্দিত হয়।

প্রাথমিকভাবে একটি গাউসীয় বিন্যাসের সাথে যুক্ত একটি কোয়ান্টাম বাউন্সারের সম্ভাব্যতা বিন্যাসের সময়-নির্ভরশীলতা দেখতে এই সাইটটিতে যান।