এই কোয়ান্টাম জগৎ/তাৎপর্য ও প্রয়োগ/কেন শক্তি কোয়ান্টায়িত হয়

কেন শক্তি কোয়ান্টায়িত হয়

নিজেদেরকে আবার একমাত্রিক স্থানে সীমাবদ্ধ রেখে, আমরা সময় নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণটিকে এই রূপে লিখি:

$\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}=A(x)\psi (x),A(x)=\frac{2m}{{\hslash }^2}[V(x)-E].$

যেহেতু এই সমীকরণে সম্ভবত $\psi$ নিজেই ছাড়া অন্য কোনো জটিল সংখ্যা নেই, তাই এর বাস্তব সমাধান রয়েছে, এবং আমরা এগুলোর ব্যাপারেই আগ্রহী। আপনি লক্ষ করবেন যে যদি $V>E,$ হয়, তবে $A$ ধনাত্মক হয় এবং $\psi (x)$-এর চিহ্ন এর দ্বিতীয় অন্তরজের চিহ্নের মতোই হয়। এর মানে হলো $\psi (x)$-এর লেখচিত্রটি $x$ অক্ষের ওপরে থাকলে তা ওপরের দিকে বেঁকে যায় এবং নিচে থাকলে তা নিচের দিকে বেঁকে যায়। ফলে এটি অক্ষটিকে অতিক্রম করতে পারে না। অন্যদিকে, যদি $V<E,$ হয়, তবে $A$ ঋণাত্মক হয় এবং $\psi (x)$ ও এর দ্বিতীয় অন্তরজের বিপরীত চিহ্ন থাকে। এই ক্ষেত্রে $\psi (x)$-এর লেখচিত্রটি $x$ অক্ষের ওপরে থাকলে তা নিচের দিকে বেঁকে যায় এবং নিচে থাকলে তা ওপরের দিকে বেঁকে যায়। ফলস্বরূপ, $\psi (x)$-এর লেখচিত্রটি ক্রমাগত অক্ষটিকে অতিক্রম করতে থাকে — এটি একটি তরঙ্গ। অধিকন্তু, $E-V,$ পার্থক্যটি যত বেশি হয়, লেখচিত্রের বক্রতাও তত বেশি হয়; এবং বক্রতা যত বেশি হয়, তরঙ্গদৈর্ঘ্য তত কম হয়। কণার দৃষ্টিকোণ থেকে, গতিশক্তি যত বেশি হয়, ভরবেগও তত বেশি হয়।

চলুন এবার এমন সমাধানগুলো খুঁজে বের করি যা একটি বিভব কূপে "আটকা পড়া" কোনো কণাকে — অর্থাৎ একটি আবদ্ধ অবস্থাকে — বর্ণনা করে। নিচের বিভবটি বিবেচনা করুন:

শুরুতেই লক্ষ করুন যে, $x_1$ এবং $x_2,$ বিন্দুতে, যেখানে $E=V,$ সেখানে $\psi (x)$-এর ঢাল পরিবর্তিত হয় না কারণ এই বিন্দুগুলোতে $d^2\psi (x)/d{x}^2=0$ হয়। এটি আমাদের জানায় যে, এই বিন্দুগুলোতে কণাটিকে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা হঠাৎ করে শূন্যে নেমে যেতে পারে না। অতএব কণাটিকে $x_1$-এর বামে অথবা $x_2,$-এর ডানে খুঁজে পাওয়া সম্ভব হবে, যেখানে চিরায়ত বলবিজ্ঞান অনুযায়ী এর থাকার কথা নয়। (একটি চিরায়ত কণা কেবল এই বিন্দুগুলোর মধ্যে সামনে-পেছনে দুলতে থাকবে।)

এরপর, এই বিষয়টি বিবেচনায় নিন যে $\psi (x)$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত সম্ভাব্যতা বিন্যাসগুলো অবশ্যই স্বাভাবিকীকরণযোগ্য হতে হবে। $\psi (x)$-এর লেখচিত্রের জন্য এর অর্থ হলো, যখন $x\to \pm \mathrm{\infty }.$ হয় তখন এটি অনন্তস্পর্শকভাবে $x$ অক্ষের কাছাকাছি পৌঁছাবে।

ধরে নিন যে, একটি নির্দিষ্ট মান $E.$-এর জন্য আমাদের কাছে একটি স্বাভাবিকীকৃত সমাধান রয়েছে। আমরা যদি $E,$-এর মান বৃদ্ধি বা হ্রাস করি, তবে $x_1$ এবং $x_2$-এর মধ্যে $\psi (x)$-এর লেখচিত্রের বক্রতাও বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়। সামান্য বৃদ্ধি বা হ্রাস আমাদেরকে অন্য কোনো সমাধান দেবে না: ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় $x.$-এর জন্যই $\psi (x)$ অনন্তস্পর্শকভাবে শূন্য হয়ে যাবে না। আরেকটি সমাধান পাওয়ার জন্য, আমাদের অবশ্যই $E$-কে ঠিক সেই পরিমাণ বৃদ্ধি করতে হবে যা "চিরায়ত" টার্নিং বিন্দু $x_1$ এবং $x_2$-এর মধ্যে তরঙ্গের নিস্পন্দ বিন্দুর সংখ্যা এক পরিমাণ বৃদ্ধি বা হ্রাস করবে এবং $\psi (x)$-কে পুনরায় উভয় দিকে অনন্তস্পর্শকভাবে শূন্য করে তুলবে।

মূল কথা হলো একটি আবদ্ধ কণার — অর্থাৎ একটি বিভব কূপে "আটকা পড়া" কণার — শক্তি কোয়ান্টায়িত থাকে: কেবল নির্দিষ্ট কিছু মান $E_k$-ই সময়-নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণের সমাধান ${\psi }_k(x)$ প্রদান করে: